7.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点D是BC边上一动点(与点B,C不重合),点E与点D关于直线AC对称,连接AE,过点B作BF⊥ED,交ED的延长线于点F.
(1)依题意补全图形；
(2)当AE=BD时,试证明ED=2BF.

解：
(1) 补全图形：作点D关于直线AC的对称点E，连接AE、DE，延长ED，过点B作BF⊥ED的延长线，垂足为F，得到符合题意的完整图形。
(2) 证明：
∵ 点E与点D关于直线AC对称，
∴ AE=AD，且AC垂直平分ED，设AC交ED于点G，则AG⊥ED，ED=2DG。
∵ AE=BD，
∴ AD=BD。
∵ ∠ABC=45°，
∴ ∠DAB=∠ABC=45°，
∴ ∠ADB=180°-45°-45°=90°，即AD⊥BC。
∵ BF⊥ED，
∴ ∠F=90°，
∴ ∠FDB + ∠FBD = 90°。
又∵ ∠ADG + ∠FDB = 180° - ∠ADB = 90°，
∴ ∠ADG = ∠FBD。
在△AGD和△DFB中，
$\{\begin{array}{l}∠AGD = ∠F = 90° \\∠ADG = ∠DBF \\AD = BD\end{array} $
∴ △AGD ≌ △DFB（AAS），
∴ DG = BF。
又∵ ED=2DG，
∴ ED=2BF。

【分析】
(1) 补全图形思路：根据轴对称作图规则，先找到点D关于直线AC的对称点E，再依次连接AE、DE，最后延长ED，过点B作ED延长线的垂线，垂足为F即可完成作图。
(2) 证明思路：要证ED=2BF，首先利用轴对称性质可知E、D关于AC对称可得AE=AD，且AC垂直平分ED，即ED=2DG（G为AC与ED的交点），此时问题转化为证明DG=BF，只需证DG和BF所在的△AGD与△DFB全等即可。结合已知AE=BD可推得AD=BD，再由∠ABC=45°可证△ADB为等腰直角三角形，得到AD⊥BC，通过同角的余角相等推导对应角相等，结合AD=BD的条件，即可用AAS证明两三角形全等，得到DG=BF，最终代换得到结论。
【解析】
(1) 补全图形：①作点D关于直线AC的对称点E；②连接AE、DE；③延长ED，过点B作BF⊥ED的延长线，垂足为F，即可得到完整图形。
(2) 证明：
设AC交ED于点G。
∵ 点E与点D关于直线AC对称，
∴ AE=AD，AC垂直平分ED，即AG⊥ED，ED=2DG。
∵ AE=BD，
∴ AD=BD。
∵ ∠ABC=45°，
∴ ∠DAB=∠ABC=45°，
∴ ∠ADB=180°-45°-45°=90°，即AD⊥BC。
∵ BF⊥ED，
∴ ∠F=90°=∠AGD，
∴ ∠FDB + ∠FBD = 90°。
又
∵ ∠ADG + ∠FDB = 180° - ∠ADB = 90°，
∴ ∠ADG = ∠FBD。
在△AGD和△DFB中：
$\{\begin{array}{l}∠AGD = ∠F \\∠ADG = ∠DBF \\AD = BD\end{array} $
∴ △AGD ≌ △DFB（AAS），
∴ DG = BF。
又
∵ ED=2DG，
∴ ED=2BF。
【答案】
(1) 按上述作法补全图形即可；
(2) ED=2BF成立，证明如上。
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将轴对称性质与全等三角形知识相结合，解题时需先从轴对称性质入手得到相等的线段和垂直关系，再结合已知角度推导角的等量关系，构造全等三角形解决线段倍分问题，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65