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1.计算：$( \dfrac{m^2}{m-1} + \dfrac{1}{1-m} ) · \dfrac{1}{m+1} =$
答案
解：
原式$=( \dfrac{m^2}{m-1} - \dfrac{1}{m-1} ) · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{m^2 - 1}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{(m+1)(m-1)}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=1$
原式$=( \dfrac{m^2}{m-1} - \dfrac{1}{m-1} ) · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{m^2 - 1}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{(m+1)(m-1)}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=1$
解析
【分析】
解题时先观察括号内两个分式的分母，发现m-1和1-m互为相反数，首先对第二个分式进行变形，将分母统一为m-1，此时原式括号内转化为同分母分式的减法运算；再根据同分母分式加减法则计算，得到的分子m²-1可利用平方差公式因式分解；最后将因式分解后的结果与括号外的分式相乘，通过约分就能得到最终结果。
【解析】
原式$=( \dfrac{m^2}{m-1} - \dfrac{1}{m-1} ) · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{m^2 - 1}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{(m+1)(m-1)}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
约分后得到结果为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式的约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题，解题关键是正确处理互为相反数的分母，统一分母后结合因式分解进行约分，计算时要特别注意符号的变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察括号内两个分式的分母，发现m-1和1-m互为相反数，首先对第二个分式进行变形，将分母统一为m-1，此时原式括号内转化为同分母分式的减法运算；再根据同分母分式加减法则计算，得到的分子m²-1可利用平方差公式因式分解；最后将因式分解后的结果与括号外的分式相乘，通过约分就能得到最终结果。
【解析】
原式$=( \dfrac{m^2}{m-1} - \dfrac{1}{m-1} ) · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{m^2 - 1}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
$=\dfrac{(m+1)(m-1)}{m-1} · \dfrac{1}{m+1}$
约分后得到结果为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式的约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题，解题关键是正确处理互为相反数的分母，统一分母后结合因式分解进行约分，计算时要特别注意符号的变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
2.若$a,b$互为倒数，则代数式$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} ÷ ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} )$的值为。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时遵循分式化简求值的常规思路：先化简代数式，再代入已知条件计算。第一步先观察代数式结构，第一个分式的分子是完全平方形式，可先因式分解约分；第二步计算括号内的分式加法，通过通分化简；第三步将分式除法转化为乘法，约分后得到最简结果，最后利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质代入即可求出值。
【解析】
先化简代数式：
1. 对第一个分式因式分解约分：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b$（$a+b≠0$，否则原式无意义）
2. 计算括号内的分式加法：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$= (a + b) ÷ \frac{a + b}{ab} = (a + b) × \frac{ab}{a + b} = ab$
已知$a,b$互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，即$ab=1$，因此原式的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式；倒数的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题关键是先化简再代值，避免直接代入计算的繁琐，计算过程中要注意因式分解、通分、约分的正确运用，结合倒数的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时遵循分式化简求值的常规思路：先化简代数式，再代入已知条件计算。第一步先观察代数式结构，第一个分式的分子是完全平方形式，可先因式分解约分；第二步计算括号内的分式加法，通过通分化简；第三步将分式除法转化为乘法，约分后得到最简结果，最后利用“互为倒数的两个数乘积为1”的性质代入即可求出值。
【解析】
先化简代数式：
1. 对第一个分式因式分解约分：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b$（$a+b≠0$，否则原式无意义）
2. 计算括号内的分式加法：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$= (a + b) ÷ \frac{a + b}{ab} = (a + b) × \frac{ab}{a + b} = ab$
已知$a,b$互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，即$ab=1$，因此原式的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式；倒数的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题关键是先化简再代值，避免直接代入计算的繁琐，计算过程中要注意因式分解、通分、约分的正确运用，结合倒数的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 当$x=6,y=3$时，$( \dfrac{x}{x+y} + \dfrac{2y}{x+y} ) · \dfrac{3xy}{x+2y}$的值是（）
A.2
B.3
C.6
D.9
A.2
B.3
C.6
D.9
答案
C
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题时优先先化简代数式，再代入数值计算，可避免直接代入的复杂运算。第一步先计算括号内的运算：括号内是同分母分式相加，按照法则分母不变、分子相加即可；第二步将合并后的分式与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式进行约分，得到最简代数式；最后将x、y的数值代入最简式计算出结果即可。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&( \dfrac{x}{x+y} + \dfrac{2y}{x+y} ) · \dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{x+2y}{x+y} · \dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{3xy}{x+y}\end{aligned}$
将$x=6$，$y=3$代入化简后的式子，得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{3×6×3}{6+3}=\dfrac{54}{9}=6$
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加法，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的运算，先化简再代入的解题思路能有效降低计算量，解题时要注意观察式子结构，优先约分再计算，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题时优先先化简代数式，再代入数值计算，可避免直接代入的复杂运算。第一步先计算括号内的运算：括号内是同分母分式相加，按照法则分母不变、分子相加即可；第二步将合并后的分式与括号外的分式相乘，观察分子分母的公因式进行约分，得到最简代数式；最后将x、y的数值代入最简式计算出结果即可。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&( \dfrac{x}{x+y} + \dfrac{2y}{x+y} ) · \dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{x+2y}{x+y} · \dfrac{3xy}{x+2y}\\=&\dfrac{3xy}{x+y}\end{aligned}$
将$x=6$，$y=3$代入化简后的式子，得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{3×6×3}{6+3}=\dfrac{54}{9}=6$
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加法，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的运算，先化简再代入的解题思路能有效降低计算量，解题时要注意观察式子结构，优先约分再计算，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
4. 化简$(1-\dfrac{2x-1}{x^2})÷(1-\dfrac{1}{x^2})$的结果为（）
A.$\dfrac{x-1}{x+1}$
B.$\dfrac{x+1}{x-1}$
C.$\dfrac{x+1}{x}$
D.$\dfrac{x-1}{x}$
A.$\dfrac{x-1}{x+1}$
B.$\dfrac{x+1}{x-1}$
C.$\dfrac{x+1}{x}$
D.$\dfrac{x-1}{x}$
答案
A
解析
【分析】
这是分式混合运算的化简题，按照分式运算的优先级思考：第一步先计算两个括号内的分式减法，将整数1转化为与括号内分式同分母的分式进行通分计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；第三步对分子、分母中的多项式进行因式分解，约去公因式后即可得到最简结果。
【解析】
解：原式先分别计算括号内的减法：
第一个括号：$1-\dfrac{2x-1}{x^2}=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x-1}{x^2}=\dfrac{x^2-(2x-1)}{x^2}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}$
第二个括号：$1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}÷\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}×\dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
约去公因式$x^2$和$x-1$（$x≠0$且$x≠\pm1$），得：
原式$=\dfrac{x-1}{x+1}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的化简计算，核心是遵循分式运算顺序，先算括号内再算乘除，通分时注意符号处理，正确对多项式因式分解是准确约分、得到正确结果的关键，计算时要注意避免去括号时的符号错误。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算的化简题，按照分式运算的优先级思考：第一步先计算两个括号内的分式减法，将整数1转化为与括号内分式同分母的分式进行通分计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；第三步对分子、分母中的多项式进行因式分解，约去公因式后即可得到最简结果。
【解析】
解：原式先分别计算括号内的减法：
第一个括号：$1-\dfrac{2x-1}{x^2}=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x-1}{x^2}=\dfrac{x^2-(2x-1)}{x^2}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}$
第二个括号：$1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}÷\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2}×\dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
约去公因式$x^2$和$x-1$（$x≠0$且$x≠\pm1$），得：
原式$=\dfrac{x-1}{x+1}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的化简计算，核心是遵循分式运算顺序，先算括号内再算乘除，通分时注意符号处理，正确对多项式因式分解是准确约分、得到正确结果的关键，计算时要注意避免去括号时的符号错误。
【难度系数】
0.7
5. 如果$a^2 + 2a - 1 = 0$，那么代数式$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}$的值是（）
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
C
解析
【分析】
这道题是已知关于$a$的方程，求分式代数式的值。解题时优先化简所求代数式，再结合已知条件整体代入计算，无需直接求解$a$的值，可简化运算。第一步先处理括号内的分式减法，通分后分解因式，再进行分式乘法运算，约分化简到最简形式，最后把已知方程变形得到的$a^2+2a$的值整体代入即可。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}&=(\frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{a^2 - 4}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=a(a + 2)\\&=a^2 + 2a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，变形可得$a^2 + 2a = 1$，代入化简后的式子得原式的值为1。
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算，化简求值，因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先利用分式运算法则和因式分解将代数式化简为最简形式，再用整体代入的方法代入已知条件计算，简化了计算过程，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
这道题是已知关于$a$的方程，求分式代数式的值。解题时优先化简所求代数式，再结合已知条件整体代入计算，无需直接求解$a$的值，可简化运算。第一步先处理括号内的分式减法，通分后分解因式，再进行分式乘法运算，约分化简到最简形式，最后把已知方程变形得到的$a^2+2a$的值整体代入即可。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}&=(\frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{a^2 - 4}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=a(a + 2)\\&=a^2 + 2a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，变形可得$a^2 + 2a = 1$，代入化简后的式子得原式的值为1。
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算，化简求值，因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是先利用分式运算法则和因式分解将代数式化简为最简形式，再用整体代入的方法代入已知条件计算，简化了计算过程，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图,老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果.随后用手遮住了原代数式的一部分,则被遮住的部分是()
A.$\dfrac{x-1}{2x+1}$
B.$\dfrac{2x-1}{x-1}$
C.$\dfrac{x-1}{2x-1}$
D.$\dfrac{2x+1}{x-1}$
A.$\dfrac{x-1}{2x+1}$
B.$\dfrac{2x-1}{x-1}$
C.$\dfrac{x-1}{2x-1}$
D.$\dfrac{2x+1}{x-1}$
答案
D
解析
【分析】
我们可以设被遮住的部分为M，将问题转化为解关于M的分式等式。解题时先利用等式的性质逆推：先将等式两边同时乘以除数$\dfrac{x}{x+1}$，得到括号内的式子，再将已知的分式移到等式右侧，通过因式分解化简分式、同分母分式加法计算，即可求出M的值。
【解析】
设被遮住的代数式为$M$，根据题意可列等式：
$(M - \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) ÷ \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x+1}{x-1}$
1. 先对已知分式因式分解化简：
$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x+1}{x-1}$（$x≠1$）
2. 根据“被除数=商×除数”，求括号内的整体：
$M - \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{x+1}{x-1} × \dfrac{x}{x+1}$
化简右侧得：$\dfrac{x+1}{x-1} × \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x}{x-1}$
3. 移项计算$M$：
$M = \dfrac{x}{x-1} + \dfrac{x+1}{x-1}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$M = \dfrac{x + (x+1)}{x-1} = \dfrac{2x+1}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；等式的性质
【点评】
本题考查分式运算的逆用，解题核心是熟练掌握分式的加减、乘除运算法则，先对分式因式分解化简可大幅降低计算量，同时要注意分式运算中分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
我们可以设被遮住的部分为M，将问题转化为解关于M的分式等式。解题时先利用等式的性质逆推：先将等式两边同时乘以除数$\dfrac{x}{x+1}$，得到括号内的式子，再将已知的分式移到等式右侧，通过因式分解化简分式、同分母分式加法计算，即可求出M的值。
【解析】
设被遮住的代数式为$M$，根据题意可列等式：
$(M - \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) ÷ \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x+1}{x-1}$
1. 先对已知分式因式分解化简：
$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x+1}{x-1}$（$x≠1$）
2. 根据“被除数=商×除数”，求括号内的整体：
$M - \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{x+1}{x-1} × \dfrac{x}{x+1}$
化简右侧得：$\dfrac{x+1}{x-1} × \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x}{x-1}$
3. 移项计算$M$：
$M = \dfrac{x}{x-1} + \dfrac{x+1}{x-1}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$M = \dfrac{x + (x+1)}{x-1} = \dfrac{2x+1}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；等式的性质
【点评】
本题考查分式运算的逆用，解题核心是熟练掌握分式的加减、乘除运算法则，先对分式因式分解化简可大幅降低计算量，同时要注意分式运算中分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
7.若$(\frac{4}{a^2 - 4} + \frac{1}{2 - a}) · w = 1$，则$w = (\quad)$
A.$a+2(a≠-2)$
B.$-a+2(a≠2)$
C.$a-2(a≠2)$
D.$-a-2(a≠±2)$
A.$a+2(a≠-2)$
B.$-a+2(a≠2)$
C.$a-2(a≠2)$
D.$-a-2(a≠±2)$
答案
D
解析
【分析】
要解此题，首先根据乘除互逆关系，可得w等于1除以括号内的分式和，解题步骤分为三步：第一步先对括号内的分式进行化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再将第二个分式变形为同分母分式进行加减运算；第二步约分化简后，计算除法得到w的表达式；第三步结合分式有意义的条件，确定a的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
首先化简括号内的分式：
1. 因式分解分母：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，同时将$\frac{1}{2-a}$变形为$-\frac{1}{a-2}$，则括号内的式子为：
$\frac{4}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2}$
2. 通分，公分母为$(a+2)(a-2)$：
$=\frac{4}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
3. 分子相减：
$=\frac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-(a-2)}{(a+2)(a-2)}$
4. 当$a≠2$时，约去$(a-2)$，得括号内化简结果为：$-\frac{1}{a+2}$
5. 由题意$w=1÷(-\frac{1}{a+2})=-(a+2)=-a-2$
6. 结合原分式有意义的条件：分母$a^2-4≠0$且$2-a≠0$，即$a≠±2$
综上，$w=-a-2(a≠±2)$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、分式有意义的条件、分式的除法运算
【点评】
本题核心是分式的混合运算，解题时要注意处理异分母分式加减时先通分，约分时要保证约去的因式不为0，同时不能忽略原分式隐含的分母不为0的取值限制，避免因漏考虑取值范围选错答案。
【难度系数】
0.6
要解此题，首先根据乘除互逆关系，可得w等于1除以括号内的分式和，解题步骤分为三步：第一步先对括号内的分式进行化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再将第二个分式变形为同分母分式进行加减运算；第二步约分化简后，计算除法得到w的表达式；第三步结合分式有意义的条件，确定a的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
首先化简括号内的分式：
1. 因式分解分母：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，同时将$\frac{1}{2-a}$变形为$-\frac{1}{a-2}$，则括号内的式子为：
$\frac{4}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2}$
2. 通分，公分母为$(a+2)(a-2)$：
$=\frac{4}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
3. 分子相减：
$=\frac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-(a-2)}{(a+2)(a-2)}$
4. 当$a≠2$时，约去$(a-2)$，得括号内化简结果为：$-\frac{1}{a+2}$
5. 由题意$w=1÷(-\frac{1}{a+2})=-(a+2)=-a-2$
6. 结合原分式有意义的条件：分母$a^2-4≠0$且$2-a≠0$，即$a≠±2$
综上，$w=-a-2(a≠±2)$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、分式有意义的条件、分式的除法运算
【点评】
本题核心是分式的混合运算，解题时要注意处理异分母分式加减时先通分，约分时要保证约去的因式不为0，同时不能忽略原分式隐含的分母不为0的取值限制，避免因漏考虑取值范围选错答案。
【难度系数】
0.6
8.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{b+c}{b+c-a}$，则$△ ABC$一定是()
A.等边三角形
B.腰长为$a$的等腰三角形
C.底边长为$a$的等腰三角形
D.等腰直角三角形
A.等边三角形
B.腰长为$a$的等腰三角形
C.底边长为$a$的等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案
B
解析
【分析】要判断△ABC的形状，需先化简给出的分式等式，得到三边a,b,c的等量关系。首先对等式左边的分式通分化简，再利用三角形边长均为正数的隐含条件约去非零项，交叉相乘去分母后整理等式，通过因式分解得到边的相等关系，进而判断三角形形状。
【解析】
解：首先对等式左边通分：
左边$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a(b+c)}{bc}$
∴原等式可化为$\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b+c}{b+c-a}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$b+c＞0$，$b+c-a＞0$（三角形两边之和大于第三边），
∴两边同时除以$(b+c)$，得$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$
交叉相乘去分母得：$a(b+c-a)=bc$
展开左边：$ab+ac-a^2=bc$
移项整理得：$a^2 -ab -ac +bc=0$
分组因式分解：
$a(a-b)-c(a-b)=0$
提取公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a-c)=0$
∴$a-b=0$或$a-c=0$，即$a=b$或$a=c$
∴△ABC一定是腰长为a的等腰三角形。
【答案】B
【知识点】分式的加减运算；因式分解的应用；等腰三角形判定
【点评】本题综合考查分式运算、因式分解和三角形形状的判定，解题的关键是合理化简分式等式，利用三角形边长为正的隐含条件简化运算，通过因式分解快速得到三边的等量关系。
【难度系数】0.7
【解析】
解：首先对等式左边通分：
左边$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a(b+c)}{bc}$
∴原等式可化为$\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b+c}{b+c-a}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$b+c＞0$，$b+c-a＞0$（三角形两边之和大于第三边），
∴两边同时除以$(b+c)$，得$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$
交叉相乘去分母得：$a(b+c-a)=bc$
展开左边：$ab+ac-a^2=bc$
移项整理得：$a^2 -ab -ac +bc=0$
分组因式分解：
$a(a-b)-c(a-b)=0$
提取公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a-c)=0$
∴$a-b=0$或$a-c=0$，即$a=b$或$a=c$
∴△ABC一定是腰长为a的等腰三角形。
【答案】B
【知识点】分式的加减运算；因式分解的应用；等腰三角形判定
【点评】本题综合考查分式运算、因式分解和三角形形状的判定，解题的关键是合理化简分式等式，利用三角形边长为正的隐含条件简化运算，通过因式分解快速得到三边的等量关系。
【难度系数】0.7
9.计算：
(1)$1-\dfrac{a-1}{a}÷(\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{1}{a^2+2a});$
(2)
(3)$(\dfrac{b}{ab-b^2}+\dfrac{a+b}{ab-a^2})÷(-\dfrac{b}{a})^2;$
(4)$(\dfrac{x^2-1}{x-3}-x-1)÷\dfrac{x+1}{x^2-6x+9}.$
(1)$1-\dfrac{a-1}{a}÷(\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{1}{a^2+2a});$
(2)
(3)$(\dfrac{b}{ab-b^2}+\dfrac{a+b}{ab-a^2})÷(-\dfrac{b}{a})^2;$
(4)$(\dfrac{x^2-1}{x-3}-x-1)÷\dfrac{x+1}{x^2-6x+9}.$
答案
解：
(1) 先计算括号内的减法：
$\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{1}{a^2+2a} = \dfrac{a^2}{a(a+2)} - \dfrac{1}{a(a+2)} = \dfrac{a^2 - 1}{a(a+2)} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
再计算除法：
$\dfrac{a-1}{a} ÷ \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)} = \dfrac{a-1}{a} · \dfrac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{a+2}{a+1}$
最后计算减法：
$1 - \dfrac{a+2}{a+1} = \dfrac{a+1 - a - 2}{a+1} = -\dfrac{1}{a+1}$
(2) 先化简括号内的分式：
$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} = \dfrac{x+2}{x-2}$
计算括号内的加法：
$\dfrac{x+2}{x-2} + \dfrac{2-x}{x+2} = \dfrac{(x+2)^2 + (2-x)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{x^2+4x+4 -x^2 +4x -4}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}$
计算除法：
$\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)} ÷ \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{8x}{(x+2)(x-2)} · \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{8}{x+2}$
(3) 先化简括号内的分式：
$\dfrac{b}{ab-b^2} = \dfrac{b}{b(a-b)} = \dfrac{1}{a-b}$
$\dfrac{a+b}{ab-a^2} = \dfrac{a+b}{a(b-a)} = -\dfrac{a+b}{a(a-b)}$
计算括号内的加法：
$\dfrac{1}{a-b} - \dfrac{a+b}{a(a-b)} = \dfrac{a - (a+b)}{a(a-b)} = \dfrac{-b}{a(a-b)}$
计算乘方：
$(-\dfrac{b}{a})^2 = \dfrac{b^2}{a^2}$
计算除法：
$\dfrac{-b}{a(a-b)} ÷ \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{-b}{a(a-b)} · \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{b^2 - ab}$
(4) 计算括号内的部分：
$\dfrac{x^2-1}{x-3} - x - 1 = \dfrac{x^2-1}{x-3} - \dfrac{(x+1)(x-3)}{x-3} = \dfrac{x^2-1 - (x^2 - 2x -3)}{x-3} = \dfrac{2x+2}{x-3} = \dfrac{2(x+1)}{x-3}$
计算除法：
$\dfrac{2(x+1)}{x-3} ÷ \dfrac{x+1}{x^2-6x+9} = \dfrac{2(x+1)}{x-3} · \dfrac{(x-3)^2}{x+1} = 2(x-3) = 2x - 6$
(1) 先计算括号内的减法：
$\dfrac{a}{a+2} - \dfrac{1}{a^2+2a} = \dfrac{a^2}{a(a+2)} - \dfrac{1}{a(a+2)} = \dfrac{a^2 - 1}{a(a+2)} = \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
再计算除法：
$\dfrac{a-1}{a} ÷ \dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)} = \dfrac{a-1}{a} · \dfrac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{a+2}{a+1}$
最后计算减法：
$1 - \dfrac{a+2}{a+1} = \dfrac{a+1 - a - 2}{a+1} = -\dfrac{1}{a+1}$
(2) 先化简括号内的分式：
$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} = \dfrac{x+2}{x-2}$
计算括号内的加法：
$\dfrac{x+2}{x-2} + \dfrac{2-x}{x+2} = \dfrac{(x+2)^2 + (2-x)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{x^2+4x+4 -x^2 +4x -4}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}$
计算除法：
$\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)} ÷ \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{8x}{(x+2)(x-2)} · \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{8}{x+2}$
(3) 先化简括号内的分式：
$\dfrac{b}{ab-b^2} = \dfrac{b}{b(a-b)} = \dfrac{1}{a-b}$
$\dfrac{a+b}{ab-a^2} = \dfrac{a+b}{a(b-a)} = -\dfrac{a+b}{a(a-b)}$
计算括号内的加法：
$\dfrac{1}{a-b} - \dfrac{a+b}{a(a-b)} = \dfrac{a - (a+b)}{a(a-b)} = \dfrac{-b}{a(a-b)}$
计算乘方：
$(-\dfrac{b}{a})^2 = \dfrac{b^2}{a^2}$
计算除法：
$\dfrac{-b}{a(a-b)} ÷ \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{-b}{a(a-b)} · \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a}{b^2 - ab}$
(4) 计算括号内的部分：
$\dfrac{x^2-1}{x-3} - x - 1 = \dfrac{x^2-1}{x-3} - \dfrac{(x+1)(x-3)}{x-3} = \dfrac{x^2-1 - (x^2 - 2x -3)}{x-3} = \dfrac{2x+2}{x-3} = \dfrac{2(x+1)}{x-3}$
计算除法：
$\dfrac{2(x+1)}{x-3} ÷ \dfrac{x+1}{x^2-6x+9} = \dfrac{2(x+1)}{x-3} · \dfrac{(x-3)^2}{x+1} = 2(x-3) = 2x - 6$
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：①遇到分式先对分子分母因式分解，能约分的先约分简化计算；②计算括号内的加减运算时，先通分转化为同分母分式再加减，注意符号处理；③除法运算要转化为乘法运算，再约分化简，最后结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 第一步计算括号内的减法：
对$\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{1}{a^2+2a}$通分，公分母为$a(a+2)$，
得$\dfrac{a^2}{a(a+2)}-\dfrac{1}{a(a+2)}=\dfrac{a^2-1}{a(a+2)}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
第二步计算除法：
$\dfrac{a-1}{a}÷\dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}=\dfrac{a-1}{a}·\dfrac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{a+2}{a+1}$
第三步计算减法：
$1-\dfrac{a+2}{a+1}=\dfrac{a+1-(a+2)}{a+1}=-\dfrac{1}{a+1}$
(2) 第一步化简括号内的第一个分式：
对$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}$因式分解得$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x+2}{x-2}$
第二步计算括号内的加法，公分母为$(x+2)(x-2)$：
$\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{2-x}{x+2}=\dfrac{(x+2)^2+(2-x)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x^2+4x+4-x^2+4x-4}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}$
第三步计算除法，转化为乘法约分：
$\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}÷\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{8}{x+2}$
(3) 第一步化简括号内的两个分式：
$\dfrac{b}{ab-b^2}=\dfrac{b}{b(a-b)}=\dfrac{1}{a-b}$；$\dfrac{a+b}{ab-a^2}=\dfrac{a+b}{a(b-a)}=-\dfrac{a+b}{a(a-b)}$
第二步计算括号内的加法，公分母为$a(a-b)$：
$\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{a+b}{a(a-b)}=\dfrac{a-(a+b)}{a(a-b)}=\dfrac{-b}{a(a-b)}$
第三步计算乘方：$(-\dfrac{b}{a})^2=\dfrac{b^2}{a^2}$
第四步计算除法，转化为乘法约分：
$\dfrac{-b}{a(a-b)}÷\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{-b}{a(a-b)}·\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a}{b^2-ab}$
(4) 第一步计算括号内的减法，通分公分母为$x-3$：
$\dfrac{x^2-1}{x-3}-x-1=\dfrac{x^2-1}{x-3}-\dfrac{(x+1)(x-3)}{x-3}=\dfrac{x^2-1-(x^2-2x-3)}{x-3}=\dfrac{2x+2}{x-3}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}$
第二步计算除法，先对$x^2-6x+9$因式分解为$(x-3)^2$，再转化为乘法约分：
$\dfrac{2(x+1)}{x-3}÷\dfrac{x+1}{x^2-6x+9}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}·\dfrac{(x-3)^2}{x+1}=2(x-3)=2x-6$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{a+1}$
(2) $\dfrac{8}{x+2}$
(3) $\dfrac{a}{b^2-ab}$
(4) $2x-6$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算规则，计算时要注意先对分子分母因式分解简化计算，通分、约分时要留意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：①遇到分式先对分子分母因式分解，能约分的先约分简化计算；②计算括号内的加减运算时，先通分转化为同分母分式再加减，注意符号处理；③除法运算要转化为乘法运算，再约分化简，最后结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 第一步计算括号内的减法：
对$\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{1}{a^2+2a}$通分，公分母为$a(a+2)$，
得$\dfrac{a^2}{a(a+2)}-\dfrac{1}{a(a+2)}=\dfrac{a^2-1}{a(a+2)}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}$
第二步计算除法：
$\dfrac{a-1}{a}÷\dfrac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}=\dfrac{a-1}{a}·\dfrac{a(a+2)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{a+2}{a+1}$
第三步计算减法：
$1-\dfrac{a+2}{a+1}=\dfrac{a+1-(a+2)}{a+1}=-\dfrac{1}{a+1}$
(2) 第一步化简括号内的第一个分式：
对$\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}$因式分解得$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x+2}{x-2}$
第二步计算括号内的加法，公分母为$(x+2)(x-2)$：
$\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{2-x}{x+2}=\dfrac{(x+2)^2+(2-x)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x^2+4x+4-x^2+4x-4}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}$
第三步计算除法，转化为乘法约分：
$\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}÷\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}·\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{8}{x+2}$
(3) 第一步化简括号内的两个分式：
$\dfrac{b}{ab-b^2}=\dfrac{b}{b(a-b)}=\dfrac{1}{a-b}$；$\dfrac{a+b}{ab-a^2}=\dfrac{a+b}{a(b-a)}=-\dfrac{a+b}{a(a-b)}$
第二步计算括号内的加法，公分母为$a(a-b)$：
$\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{a+b}{a(a-b)}=\dfrac{a-(a+b)}{a(a-b)}=\dfrac{-b}{a(a-b)}$
第三步计算乘方：$(-\dfrac{b}{a})^2=\dfrac{b^2}{a^2}$
第四步计算除法，转化为乘法约分：
$\dfrac{-b}{a(a-b)}÷\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{-b}{a(a-b)}·\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a}{b^2-ab}$
(4) 第一步计算括号内的减法，通分公分母为$x-3$：
$\dfrac{x^2-1}{x-3}-x-1=\dfrac{x^2-1}{x-3}-\dfrac{(x+1)(x-3)}{x-3}=\dfrac{x^2-1-(x^2-2x-3)}{x-3}=\dfrac{2x+2}{x-3}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}$
第二步计算除法，先对$x^2-6x+9$因式分解为$(x-3)^2$，再转化为乘法约分：
$\dfrac{2(x+1)}{x-3}÷\dfrac{x+1}{x^2-6x+9}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}·\dfrac{(x-3)^2}{x+1}=2(x-3)=2x-6$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{a+1}$
(2) $\dfrac{8}{x+2}$
(3) $\dfrac{a}{b^2-ab}$
(4) $2x-6$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的通分与约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算规则，计算时要注意先对分子分母因式分解简化计算，通分、约分时要留意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
