6.一个数的平方等于它本身，这个数是.一个数的立方等于它本身，这个数是.

0和1；-1、0、1

解：
因为$0^2=0$，$1^2=1$，其余有理数的平方均不等于自身，所以平方等于它本身的数是0和1。
因为$(-1)^3=-1$，$0^3=0$，$1^3=1$，其余有理数的立方均不等于自身，所以立方等于它本身的数是-1、0、1。

7.有一张厚度是0.1 mm的纸，将它对折1次后，厚度为$2×0.1$ mm.
(1)对折2次后，厚度为多少？3次、4次、5次、10次呢？
(2)对折20次后，厚度为多少？大概有多少层楼高？（设每层楼的高为3 m）

解：
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^2 × 0.1 = 4 × 0.1 = 0.4\ \mathrm{mm}$
对折3次后，厚度为：
$2^3 × 0.1 = 8 × 0.1 = 0.8\ \mathrm{mm}$
对折4次后，厚度为：
$2^4 × 0.1 = 16 × 0.1 = 1.6\ \mathrm{mm}$
对折5次后，厚度为：
$2^5 × 0.1 = 32 × 0.1 = 3.2\ \mathrm{mm}$
对折10次后，厚度为：
$2^{10} × 0.1 = 1024 × 0.1 = 102.4\ \mathrm{mm}$
(2) 对折20次后，厚度为：
$2^{20} × 0.1 = 1048576 × 0.1 = 104857.6\ \mathrm{mm}$
单位换算：$104857.6\ \mathrm{mm} = 104.8576\ \mathrm{m}$
计算楼层数：$104.8576 ÷ 3 \approx 35$
答：(1) 对折2次后厚度为0.4 mm，对折3次后厚度为0.8 mm，对折4次后厚度为1.6 mm，对折5次后厚度为3.2 mm，对折10次后厚度为102.4 mm；(2) 对折20次后厚度为104857.6 mm（合104.8576 m），大概有35层楼高。

8.阅读材料:求 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2018}$的值.
解:设 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2017}+2^{2018}$,①
将等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{2018}+2^{2019}$.②
②式减去①式,得 $2S-S=2^{2019}-1$,
即 $S=2^{2019}-1$.
故 $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2018}=2^{2019}-1$.
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$.
(2)$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$(其中$n$为正整数).

解：
(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$，①
将等式两边同时乘2，得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{10}+2^{11}$。②
②式减去①式，得$2S-S=2^{11}-1$，
即$S=2^{11}-1$。
故$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$，①
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^n+3^{n+1}$。②
②式减去①式，得$3S-S=3^{n+1}-1$，
即$2S=3^{n+1}-1$，
$S=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。
故$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。