1. |跨学科融合 (2025·保定模拟)如图,这是物理学中的小孔成像,AB是物体,遮挡板MN上的小孔抽象成点O,AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD,△ABO和△DCO成位似图形,位似中心为点O,遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8 cm,AB=6 cm,像CD的长为12 cm,为了使像CD的长度变成AB的3倍,在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下,可以将遮挡板MN ()

A.水平向右移动1 cm
B.水平向左移动1 cm
C.水平向右移动1.5 cm
D.水平向左移动1.5 cm

(第1题) (第2题)

1. B

【分析】
解题时先利用位似图形的性质：位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先根据当前物高、像高的比例，结合已知的遮挡板到光屏的距离，算出物体到光屏的总水平距离；再根据新的像高要求，设移动后位似中心到物体的距离为未知数，利用位似比列方程求解，对比移动前后位似中心到物体的距离，即可得到遮挡板的移动方向和距离。
【解析】
∵△ABO与△DCO是位似图形，位似中心为点O，
∴位似比等于对应边的比，也等于两组对应点到位似中心的水平距离之比。
①计算物体AB与光屏PQ的总水平距离：
当前AB=6cm，CD=12cm，位似比$k_1=\frac{AB}{CD}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
设此时小孔O到AB的水平距离为$d_1$，已知O到PQ的水平距离为8cm，
则$\frac{d_1}{8}=\frac{1}{2}$，解得$d_1=4\mathrm{cm}$。
因此AB和PQ的总水平距离为$4+8=12\mathrm{cm}$。
②计算像长为AB3倍时，小孔O到AB的距离：
要求CD=3AB，新的位似比$k_2=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$。
设此时O到AB的水平距离为$d_2$，则O到PQ的水平距离为$12-d_2$，
则$\frac{d_2}{12-d_2}=\frac{1}{3}$，
交叉相乘得：$3d_2=12-d_2$，
解得$d_2=3\mathrm{cm}$。
③判断移动情况：
原来O到AB的距离为4cm，移动后变为3cm，说明小孔O向AB方向移动了$4-3=1\mathrm{cm}$，即遮挡板MN水平向左移动1cm。
【答案】
B
【知识点】
位似图形性质、一元一次方程应用
【点评】
本题结合物理小孔成像的场景考查位似知识的应用，解题关键是抓住位似比和对应点到位似中心距离的关系，利用物和光屏位置不变即总距离为定值列方程求解，体现了跨学科知识融合的考查趋势。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在平面直角坐标系中,阴影所示的两个正方形是位似图形,若位似中心在两个正方形之间,则位似中心的坐标为.

2. (2,1)

【分析】
要确定位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形所有对应顶点的连线都经过位似中心，即位似中心是两组对应顶点连线的交点。解题步骤如下：第一步先写出两个正方形的所有顶点坐标；第二步根据位似中心在两个正方形之间的条件，确定交叉对应的两组对应顶点；第三步分别求出两组对应顶点所在直线的解析式，联立解析式求解交点，该交点就是位似中心。
【解析】
首先写出两个正方形的顶点坐标：
左侧小正方形的顶点为：$(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$；
右侧大正方形的顶点为：$(4,1)$、$(6,1)$、$(6,3)$、$(4,3)$。
因为位似中心在两个正方形之间，选取两组交叉对应顶点：第一组为小正方形的左下顶点$(0,0)$和大正方形的右上顶点$(6,3)$，第二组为小正方形的左上顶点$(0,1)$和大正方形的右下顶点$(6,1)$。
1. 求过$(0,0)$和$(6,3)$的直线解析式：
设直线解析式为$y=kx$，将$(6,3)$代入得：$3=6k$，解得$k=\frac{1}{2}$，故解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求过$(0,1)$和$(6,1)$的直线解析式：
两点纵坐标均为1，故直线为平行于x轴的直线，解析式为$y=1$。
联立两个解析式：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
即位似中心的坐标为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
位似图形的性质；一次函数解析式求解；两直线交点计算
【点评】
本题核心考查位似中心的确定方法，解题的关键是结合位似中心的位置找准对应顶点，再通过一次函数的相关计算求解交点，是对位似性质和一次函数知识的综合考查。
【难度系数】
0.6

3. |教材变式 如图, 在平面直角坐标系中, $△ ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-2,2),B(-4,0),C(-4,-4)$, 在 $y$ 轴右侧, 以原点 $O$ 为位似中心画一个 $△ A'B'C'$, 使它与 $△ ABC$ 位似, 且位似图形与原图形的位似比是 $1:2$.
(1) 请画出 $△ A'B'C'$;
(2) 请直接写出 $△ A'B'C'$ 各顶点的坐标: .

3. (1)如图,△A'B'C'即为所求.

(2)A'(1,-1),B'(2,0),C'(2,2)

【分析】
解决本题需结合位似图形的性质思考：①以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标比等于位似比$k$或$-k$；②题目要求位似图形在$y$轴右侧，因此对应点横坐标为正，结合原图形顶点横坐标均为负，可知坐标变换时需乘$k=-\frac{1}{2}$。解题时先计算三个顶点的对应点坐标，再描点连线完成作图，直接写出坐标即可。
【解析】
(1) 已知位似中心为原点$O$，位似比为$1:2$，且$△ A'B'C'$在$y$轴右侧，因此$△ ABC$上任意一点$(x,y)$的对应点坐标为$(-\frac{1}{2}x, -\frac{1}{2}y)$。
分别计算三个顶点的对应点：
点$A(-2,2)$的对应点$A'(-2×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(1,-1)$，
点$B(-4,0)$的对应点$B'(-4×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(2,0)$，
点$C(-4,-4)$的对应点$C'(-4×(-\frac{1}{2}),-4×(-\frac{1}{2}))=(2,2)$。
在平面直角坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，顺次连接即可得到$△ A'B'C'$。
(2) 由上述计算可得$△ A'B'C'$各顶点坐标。
【答案】
(1)如图,△A'B'C'即为所求.

(2)$A'(1,-1),B'(2,0),C'(2,2)$
【知识点】
位似图形的性质，位似作图，平面直角坐标系坐标变化
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，核心是掌握以原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，解题时需注意题目对位似图形位置的限定，避免坐标符号错误。
【难度系数】
0.7

4. ★★ | 新定义 如果两个一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 和 $ y = k_2x + b_2 $ 满足 $ k_1 = k_2, b_1 ≠ b_2 $，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”. 如图，已知函数 $ y = -2x + 4 $ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点，一次函数 $ y = kx + b $ 与 $ y = -2x + 4 $ 是“平行一次函数”.
(1) 若函数 $ y = kx + b $ 的图象过点 (3,1)，求 b 的值；
(2) 若函数 $ y = kx + b $ 的图象与两坐标轴围成的三角形和 $ △ AOB $ 构成位似图形，位似中心为原点，位似比为 $ 1:2 $，求函数 $ y = kx + b $ 的表达式.

4. (1)由已知得 k=-2.把点(3,1)和 k=-2 代入 y=kx+b 中,得1=-2×3+b,
∴ b=7.
(2)如图,根据位似比为 1:2 得函数 y=kx+b 的图象有两种情况:
①不经过第三象限时,过点(1,0)和(0,2),这时函数 y=kx+b 的表达式为 y=-2x+2;②不经过第一象限时,过点(-1,0)和(0,-2),这时函数 y=kx+b 的表达式为 y=-2x-2.
综上,函数 y=kx+b 的表达式为 y=-2x+2 或 y=-2x-2.

【分析】
本题是新定义结合一次函数、位似的综合题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先根据“平行一次函数”的定义，可知两个函数k值相等，先确定k=-2；再将已知点的坐标代入y=kx+b，即可解出b的值。
2. 解决第(2)问：先求出原函数与坐标轴的交点A、B的坐标；再根据位似中心为原点、位似比为1:2的性质，可知所求函数与坐标轴的交点为A、B两点坐标分别乘位似比±1/2（位似图形可在位似中心的同侧或异侧，因此分两种情况讨论）；最后将交点坐标代入函数解析式，求出b的值即可得到函数表达式。
【解析】
(1) 根据“平行一次函数”的定义，可得$k = k_1 = -2$。
将点$(3,1)$、$k=-2$代入$y=kx+b$，得：
$1 = -2 × 3 + b$
解得：$b = 7$。
(2) 先求点A、B的坐标：
对于$y=-2x+4$，令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，故$A(2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
∵ 位似中心为原点，位似比为$1:2$，
∴ 所求一次函数与坐标轴的交点坐标有两种情况：
① 位似图形与$△ AOB$在原点同侧：交点坐标为$A'(2×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1,0)$，$B'(0×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(0,2)$，
将$(1,0)$代入$y=-2x+b$，得$0=-2×1 + b$，解得$b=2$，此时函数表达式为$y=-2x+2$；
② 位似图形与$△ AOB$在原点异侧：交点坐标为$A''(2×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1,0)$，$B''(0×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(0,-2)$，
将$(-1,0)$代入$y=-2x+b$，得$0=-2×(-1) + b$，解得$b=-2$，此时函数表达式为$y=-2x-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=7}$；
(2) 函数$y=kx+b$的表达式为$\boldsymbol{y=-2x+2}$或$\boldsymbol{y=-2x-2}$。

【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 位似图形的性质
3. 新定义理解
【点评】
本题综合考查新定义、一次函数与位似的相关知识，解题的关键是先根据平行一次函数的定义确定k值，再结合位似的性质分两种情况讨论求解，注意不要漏掉位似图形在原点异侧的情况。
【难度系数】
0.6