一、填空题(完成下列证明,并在后面的括号中填理由)
1. 如图1,已知AB⊥EF,CD⊥EF,求证:AB//CD.
证明:∵AB⊥EF,CD⊥EF
∴∠1=∠=°()
∴AB//CD()

证明: $\because AB⊥ EF, CD⊥ EF$
$\therefore ∠ 1=∠ \boldsymbol{2}=\boldsymbol{90}°$(垂直的定义)
$\therefore AB// CD$(同位角相等，两直线平行)

【分析】
这是一道基础的平行线证明填空题，解题思路如下：首先从已知条件AB⊥EF、CD⊥EF出发，根据垂直的定义，可得出两条直线与EF的夹角都为90°，即∠1和∠2都是直角，二者相等；再观察角的位置，∠1和∠2是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，根据平行线的判定定理，同位角相等即可推出两直线平行，完成证明。
【解析】
证明过程：
∵AB⊥EF，CD⊥EF
∴∠1=∠2=90°（垂直的定义）
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
【答案】
依次填入：2；90；垂直的定义；同位角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是几何证明的基础题型，主要考察对基础几何定义、判定定理的掌握，以及对角的位置关系的识别能力，难度较低，熟练掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 如图2,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2. 求证:CD//EF.
证明:∵∠AGD=∠ACB()
∴DG//()
∴∠3=∠()
∵∠1=∠2()
∴∠3=∠(等量代换)
∴//()

证明:∵∠AGD=∠ACB(已知)
∴DG//BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠3=∠1(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠3=∠2(等量代换)
∴CD//EF(同位角相等，两直线平行)

【分析】
本题是平行线证明的基础题，解题思路如下：首先观察已知条件∠AGD=∠ACB，这两个角是DG、BC被AC所截形成的同位角，根据同位角相等可判定两直线平行，得到DG//BC；其次，DG平行BC时，它们被CD所截形成的内错角∠1和∠3相等，这是平行线的性质；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠3=∠2，而∠3和∠2是CD、EF被CB所截的同位角，再次根据同位角相等判定两直线平行，即可得到CD//EF的结论。解题时要注意区分平行线的判定（由角的关系推平行）和平行线的性质（由平行推角的关系），不要混淆依据。
【解析】
我们按照证明的逻辑一步步推导：
1. 已知条件给出∠AGD=∠ACB，第一个括号填“已知”；∠AGD和∠ACB是同位角，同位角相等可推出两直线平行，因此DG平行于BC，依据为“同位角相等，两直线平行”；
2. DG//BC后，CD为截线，∠1和∠3是内错角，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，因此∠3=∠1，依据为“两直线平行，内错角相等”；
3. 已知条件给出∠1=∠2，此处括号填“已知”；
4. 结合∠3=∠1和∠1=∠2，通过等量代换可得∠3=∠2；
5. ∠3和∠2是同位角，同位角相等可推出两直线平行，因此CD//EF，依据为“同位角相等，两直线平行”。
【答案】
证明:
∵∠AGD=∠ACB(已知)
∴DG//BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠3=∠1(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠3=∠2(等量代换)
∴CD//EF(同位角相等，两直线平行)
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质综合应用的基础题型，解题的关键是准确识别同位角、内错角，明确平行线判定和性质的使用场景：由角的数量关系推导直线平行用判定定理，由直线平行推导角的数量关系用性质定理，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

二、解答题
1. 如图3,已知∠1=∠C,∠2=∠3.求证:BE平分∠ABC.

证明：
∵ ∠1=∠C（已知）
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2=∠EBC（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠EBC=∠3（等量代换）
∴ BE平分∠ABC（角平分线的定义）

【分析】
要证明BE平分∠ABC，根据角平分线的定义，只需证明∠EBC=∠3即可。已知∠2=∠3，因此只需推出∠2=∠EBC就能完成证明。观察已知条件∠1=∠C，根据同位角相等可判定DE//BC，再利用平行线的性质即可得到∠2=∠EBC，后续通过等量代换就能得到需要的角相等关系。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠C（已知）
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2=∠EBC（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠EBC=∠3（等量代换）
∴ BE平分∠ABC（角平分线的定义）
【答案】
证明：
∵ ∠1=∠C（已知）
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2=∠EBC（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠EBC=∠3（等量代换）
∴ BE平分∠ABC（角平分线的定义）
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，可通过逆向推导的思路从结论出发寻找所需条件，再结合已知条件正向推导即可完成证明，熟练掌握相关基础定理是解题的核心。
【难度系数】
0.85

2. 如图4,在三角形ABC中,点D在边BC的延长线上,射线CE在∠DCA的内部.给出下列信息:
①AB//CE;②CE平分∠DCA;③∠A=∠B.请选择其中的两条信息作为条件,剩下的一条信息作为结论组成一个命题.
(1)在所组成的命题中,真命题有个;
(2)选择一个真命题进行证明.

解：
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 选择以①②为条件，③为结论的真命题证明如下：
已知：$AB// CE$，$CE$平分$∠ DCA$。
求证：$∠ A=∠ B$。
证明：
$\because AB// CE$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACE$（两直线平行，内错角相等），
$∠ B = ∠ ECD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE$平分$∠ DCA$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ ECD$，
$\therefore ∠ A = ∠ B$。

【分析】
(1) 首先明确三个信息可组合出3种命题：①②为条件、③为结论；①③为条件、②为结论；②③为条件、①为结论。逐一验证这3个命题，可发现均为真命题，因此真命题个数为3。
(2) 若选择①②为条件、③为结论的命题证明，解题思路为：先利用平行线的性质得到∠A与∠ACE、∠B与∠ECD的等量关系，再结合角平分线的定义得到∠ACE=∠ECD，最后通过等量代换即可推出∠A=∠B。
【解析】
(1) 所有可组成的命题如下：
命题1：若$AB// CE$，$CE$平分$∠ DCA$，则$∠ A=∠ B$，是真命题；
命题2：若$AB// CE$，$∠ A=∠ B$，则$CE$平分$∠ DCA$，是真命题；
命题3：若$CE$平分$∠ DCA$，$∠ A=∠ B$，则$AB// CE$，是真命题；
因此真命题共有3个。
(2) 选择命题“若$AB// CE$，$CE$平分$∠ DCA$，则$∠ A=∠ B$”证明如下：
已知：$AB// CE$，$CE$平分$∠ DCA$。
求证：$∠ A=∠ B$。
证明：
$\because AB// CE$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACE$（两直线平行，内错角相等），
$∠ B = ∠ ECD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE$平分$∠ DCA$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ ECD$，
$\therefore ∠ A = ∠ B$。
（也可选择其余两个真命题进行证明，过程合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 示例：已知$AB// CE$，$CE$平分$∠ DCA$，可证得$∠ A=∠ B$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，命题与证明
【点评】
本题结合平行线和角平分线的基础知识点，考查命题的组成与真假判断、几何证明的规范书写，是对学生逻辑推理能力的基础考查，属于常考题型。
【难度系数】
0.7