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三、解答题(共36分)
10.(16分)某公司抽查了某部门某月10天的用电量,数据如下表.
(1)这10天用电量的众数是
(2)求这个部门这10天平均每天的用电量;
(3)已知该公司共有20个部门(各部门用电情况相同),该月共计30天,试估计该公司当月总的用电量.
10.(16分)某公司抽查了某部门某月10天的用电量,数据如下表.
(1)这10天用电量的众数是
13
千瓦时,中位数是13
千瓦时,极差是7
千瓦时;(2)求这个部门这10天平均每天的用电量;
(3)已知该公司共有20个部门(各部门用电情况相同),该月共计30天,试估计该公司当月总的用电量.
答案
10.(1)13 13 7
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{10}×(8+9+10×2+13×3+14+15×2)=12$(千瓦时),
$\therefore$这个部门这10天平均每天的用电量为12千瓦时.
(3)解:$\because 12×20×30=7200$(千瓦时),
$\therefore$估计该公司当月总的用电量为7200千瓦时.
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{10}×(8+9+10×2+13×3+14+15×2)=12$(千瓦时),
$\therefore$这个部门这10天平均每天的用电量为12千瓦时.
(3)解:$\because 12×20×30=7200$(千瓦时),
$\therefore$估计该公司当月总的用电量为7200千瓦时.
解析
【分析】
(1)求解众数需找出出现次数最多的用电量；求解中位数需先将10天的用电量从小到大排列，取第5、第6个数据的平均值；极差为用电量的最大值减去最小值。
(2)计算平均每天用电量使用加权平均数公式，将各用电量乘以对应天数求和后，除以总天数10即可。
(3)用已求出的单个部门日均用电量，先乘当月30天得到单个部门当月用电量，再乘部门总数20，即可估算公司当月总用电量，利用了样本估计总体的统计思想。
【解析】
(1)①众数：用电量为13千瓦时的天数有3天，出现次数最多，故众数为13千瓦时；
②中位数：将10天用电量从小到大排列为：8，9，10，10，13，13，13，14，15，15，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{13+13}{2}=13$千瓦时；
③极差：用电量最大值为15千瓦时，最小值为8千瓦时，极差为$15-8=7$千瓦时。
(2)根据加权平均数公式：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(8×1+9×1+10×2+13×3+14×1+15×2)=\frac{1}{10}×120=12$(千瓦时)
即这个部门这10天平均每天的用电量为12千瓦时。
(3)单个部门日均用电量为12千瓦时，公司共20个部门，当月共30天，总用电量为：
$12×20×30=7200$(千瓦时)
即估计该公司当月总的用电量为7200千瓦时。
【答案】
(1)13；13；7
(2)12千瓦时
(3)7200千瓦时
【知识点】
统计量的计算，加权平均数，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查各常见统计量的计算方法以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时需注意中位数要先排序再计算，加权平均数计算时不要漏乘对应次数。
【难度系数】
0.8
(1)求解众数需找出出现次数最多的用电量；求解中位数需先将10天的用电量从小到大排列，取第5、第6个数据的平均值；极差为用电量的最大值减去最小值。
(2)计算平均每天用电量使用加权平均数公式，将各用电量乘以对应天数求和后，除以总天数10即可。
(3)用已求出的单个部门日均用电量，先乘当月30天得到单个部门当月用电量，再乘部门总数20，即可估算公司当月总用电量，利用了样本估计总体的统计思想。
【解析】
(1)①众数：用电量为13千瓦时的天数有3天，出现次数最多，故众数为13千瓦时；
②中位数：将10天用电量从小到大排列为：8，9，10，10，13，13，13，14，15，15，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{13+13}{2}=13$千瓦时；
③极差：用电量最大值为15千瓦时，最小值为8千瓦时，极差为$15-8=7$千瓦时。
(2)根据加权平均数公式：
$\overline{x}=\frac{1}{10}×(8×1+9×1+10×2+13×3+14×1+15×2)=\frac{1}{10}×120=12$(千瓦时)
即这个部门这10天平均每天的用电量为12千瓦时。
(3)单个部门日均用电量为12千瓦时，公司共20个部门，当月共30天，总用电量为：
$12×20×30=7200$(千瓦时)
即估计该公司当月总的用电量为7200千瓦时。
【答案】
(1)13；13；7
(2)12千瓦时
(3)7200千瓦时
【知识点】
统计量的计算，加权平均数，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查各常见统计量的计算方法以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时需注意中位数要先排序再计算，加权平均数计算时不要漏乘对应次数。
【难度系数】
0.8
11.(20分)(2025·湖南)为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数(单位:次)的情况,从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查.已知这两个年级的学生人数均为200人.
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下.
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析.
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下.
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表:
【分析数据】数据的平均数是6.8,方差是2.76.
【解决问题】解答下列问题:
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数;
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个,比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况.
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下.
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析.
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下.
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表:
【分析数据】数据的平均数是6.8,方差是2.76.
【解决问题】解答下列问题:
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数;
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个,比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况.
答案
11.解:(1)由题意,得$8＜x≤10$这一组的频数为$20-2-6-10=2$,补全频数分布表和频数分布直方图如下表和答图所示.
| 次数$x$分组 | 画记 | 频数 |
| ---- | ---- | ---- |
| $2＜x≤4$ | Ｔ | 2 |
| $4＜x≤6$ | 正一 | 6 |
| $6＜x≤8$ | 正正 | 10 |
| $8＜x≤10$ | Ｔ | 2 |
(2)$200×\frac{10+2}{20}=120$.
答:估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120.
(3)由题意,得七年级的平均数为6.2,八年级的平均数为6.8,
$\because 6.8＞6.2$,$\therefore$七年级学生在此段时间内参加公益活动的次数比八年级学生的少.
解析
【分析】
（1）补全频数分布表和直方图的核心是求解未知组的频数：已知抽取的八年级学生样本总量为20人，用总人数减去其余三组已知的频数，即可得到$8＜x≤10$组的频数，再对应补全表格和直方图即可。
（2）估计八年级参加公益活动次数超过6次的总人数属于用样本估计总体的问题：先计算抽取的20名样本中，次数超过6次的人数占样本的比例，再乘以八年级总人数200，即可得到总体的估计值。
（3）比较七、八年级的活动次数情况：先根据七年级的频数分布直方图计算七年级的平均数，再和八年级给出的平均数对比，或计算七年级的方差和八年级的方差对比，即可得出对应结论。
【解析】
(1) 抽取的八年级学生总人数为20人，因此$8＜x≤10$这一组的频数为$20-2-6-10=2$，据此补全频数分布表，同时按照频数2补全频数分布直方图中$8＜x≤10$组的矩形高度。
(2) 抽取的20名八年级学生中，参加公益活动次数超过6次的人数为$10+2=12$人，占样本的比例为$\frac{12}{20}$，因此该校八年级200名学生中，次数超过6次的人数估计为：$200×\frac{10+2}{20}=120$。
(3) 选平均数进行比较：根据七年级的频数分布直方图计算得七年级样本的平均次数为6.2，已知八年级平均数为6.8，$\because 6.8＞6.2$，$\therefore$八年级学生在此段时间内参加公益活动的平均次数更多。
【答案】
(1) 补全的频数分布表如下：
| 次数$x$分组 | 画记 | 频数 |
| ---- | ---- | ---- |
| $2＜x≤4$ | Ｔ | 2 |
| $4＜x≤6$ | 正一 | 6 |
| $6＜x≤8$ | 正正 | 10 |
| $8＜x≤10$ | Ｔ | 2 |
补全的频数分布直方图如下：
(2) 估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为$\boxed{120}$人。
(3) 七年级学生在此段时间内参加公益活动的平均次数比八年级学生的少（结论合理即可）。
【知识点】
频数分布直方图，用样本估计总体，平均数与方差
【点评】
本题考查统计知识的实际应用，重点考查统计图表读取能力、数据处理能力以及用样本估计总体的统计思想，题型常规，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
（1）补全频数分布表和直方图的核心是求解未知组的频数：已知抽取的八年级学生样本总量为20人，用总人数减去其余三组已知的频数，即可得到$8＜x≤10$组的频数，再对应补全表格和直方图即可。
（2）估计八年级参加公益活动次数超过6次的总人数属于用样本估计总体的问题：先计算抽取的20名样本中，次数超过6次的人数占样本的比例，再乘以八年级总人数200，即可得到总体的估计值。
（3）比较七、八年级的活动次数情况：先根据七年级的频数分布直方图计算七年级的平均数，再和八年级给出的平均数对比，或计算七年级的方差和八年级的方差对比，即可得出对应结论。
【解析】
(1) 抽取的八年级学生总人数为20人，因此$8＜x≤10$这一组的频数为$20-2-6-10=2$，据此补全频数分布表，同时按照频数2补全频数分布直方图中$8＜x≤10$组的矩形高度。
(2) 抽取的20名八年级学生中，参加公益活动次数超过6次的人数为$10+2=12$人，占样本的比例为$\frac{12}{20}$，因此该校八年级200名学生中，次数超过6次的人数估计为：$200×\frac{10+2}{20}=120$。
(3) 选平均数进行比较：根据七年级的频数分布直方图计算得七年级样本的平均次数为6.2，已知八年级平均数为6.8，$\because 6.8＞6.2$，$\therefore$八年级学生在此段时间内参加公益活动的平均次数更多。
【答案】
(1) 补全的频数分布表如下：
| 次数$x$分组 | 画记 | 频数 |
| ---- | ---- | ---- |
| $2＜x≤4$ | Ｔ | 2 |
| $4＜x≤6$ | 正一 | 6 |
| $6＜x≤8$ | 正正 | 10 |
| $8＜x≤10$ | Ｔ | 2 |
补全的频数分布直方图如下：
(2) 估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为$\boxed{120}$人。
(3) 七年级学生在此段时间内参加公益活动的平均次数比八年级学生的少（结论合理即可）。
【知识点】
频数分布直方图，用样本估计总体，平均数与方差
【点评】
本题考查统计知识的实际应用，重点考查统计图表读取能力、数据处理能力以及用样本估计总体的统计思想，题型常规，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
