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1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是()
A.∠1=∠2
B.AB=BC
C.AO=BO
D.AC⊥BD
A.∠1=∠2
B.AB=BC
C.AO=BO
D.AC⊥BD
答案
C
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，结合选项逐一分析：平行四边形本身具有对边平行、对角线互相平分等性质，矩形的判定核心是“有一个内角为直角”或“对角线相等”，菱形的判定核心是“邻边相等”或“对角线垂直”，据此逐一判断选项是否符合矩形判定要求。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，对各选项逐一分析：
A. 平行四边形中AD//BC，∠1=∠2是平行四边形本身就具备的性质，无法判定其为矩形，排除A；
B. 若AB=BC，即平行四边形邻边相等，可判定该平行四边形是菱形，不是矩形，排除B；
C. 平行四边形对角线互相平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$，若AO=BO，则AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，C符合要求；
D. 若AC⊥BD，即平行四边形对角线互相垂直，可判定该平行四边形是菱形，不是矩形，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定定理
【点评】
本题属于基础几何判断题，核心考查矩形与菱形判定条件的区分，只要熟练掌握平行四边形的性质以及特殊平行四边形的判定规则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
首先回忆平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，结合选项逐一分析：平行四边形本身具有对边平行、对角线互相平分等性质，矩形的判定核心是“有一个内角为直角”或“对角线相等”，菱形的判定核心是“邻边相等”或“对角线垂直”，据此逐一判断选项是否符合矩形判定要求。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，对各选项逐一分析：
A. 平行四边形中AD//BC，∠1=∠2是平行四边形本身就具备的性质，无法判定其为矩形，排除A；
B. 若AB=BC，即平行四边形邻边相等，可判定该平行四边形是菱形，不是矩形，排除B；
C. 平行四边形对角线互相平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$，若AO=BO，则AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，C符合要求；
D. 若AC⊥BD，即平行四边形对角线互相垂直，可判定该平行四边形是菱形，不是矩形，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定定理
【点评】
本题属于基础几何判断题，核心考查矩形与菱形判定条件的区分，只要熟练掌握平行四边形的性质以及特殊平行四边形的判定规则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD相交于点O。若OA=OD=5,AB=6,则四边形ABCD的面积为。
答案
$\boldsymbol{48}$
解析
【分析】
首先根据两组对边分别相等的判定定理，可确定四边形ABCD是平行四边形；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知OA=OD，可推出对角线AC=BD，进而判定该平行四边形是矩形；最后在直角三角形中用勾股定理求出矩形的另一条边长，代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
2. 推导对角线相等：
∵平行四边形对角线互相平分，
∴AC=2OA，BD=2OD。已知OA=OD=5，
∴AC=BD=10。
3. 判定矩形：
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°。
4. 求矩形的边长：在Rt△ABD中，BD=10，AB=6，由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
5. 计算面积：矩形ABCD的面积$=AB× AD=6×8=48$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先通过已知条件逐步推导出四边形是矩形，再结合勾股定理计算边长求解面积，能够很好地考查学生对特殊四边形相关性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先根据两组对边分别相等的判定定理，可确定四边形ABCD是平行四边形；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知OA=OD，可推出对角线AC=BD，进而判定该平行四边形是矩形；最后在直角三角形中用勾股定理求出矩形的另一条边长，代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
2. 推导对角线相等：
∵平行四边形对角线互相平分，
∴AC=2OA，BD=2OD。已知OA=OD=5，
∴AC=BD=10。
3. 判定矩形：
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°。
4. 求矩形的边长：在Rt△ABD中，BD=10，AB=6，由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
5. 计算面积：矩形ABCD的面积$=AB× AD=6×8=48$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先通过已知条件逐步推导出四边形是矩形，再结合勾股定理计算边长求解面积，能够很好地考查学生对特殊四边形相关性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$, $AB=3$,$AC=4$。$P$为斜边$BC$上的一个动点,过点$P$分别作$PE ⊥ AB$,$PF ⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$,连接$EF$,则线段$EF$的最小值为。
答案
解：连接AP。
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
当AP⊥BC时，线段AP取得最小值，此时由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · AB · AC = \frac{1}{2} · BC · AP$，
代入数值解得：$AP=\frac{AB · AC}{BC}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
$\boxed{\dfrac{12}{5}}$
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
当AP⊥BC时，线段AP取得最小值，此时由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · AB · AC = \frac{1}{2} · BC · AP$，
代入数值解得：$AP=\frac{AB · AC}{BC}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
$\boxed{\dfrac{12}{5}}$
解析
【分析】
要解决EF的最小值问题，首先观察到图中∠BAC为直角，且PE⊥AB、PF⊥AC，可先判断四边形AEPF的形状；根据矩形的性质可将EF转化为与其相等的线段AP，此时问题转化为求点A到BC上动点P的最短距离；根据“垂线段最短”可知，当AP⊥BC时AP长度最小，最后通过勾股定理求BC长，再用三角形面积法计算出AP的长度，即可得到EF的最小值。
【解析】
解：连接AP。
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据垂线段最短，当AP⊥BC时，线段AP取得最小值，
此时由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} · AB · AC = \frac{1}{2} · BC · AP$，
代入数值解得：$AP=\frac{AB · AC}{BC}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用矩形的性质将待求线段EF转化为更易求解的线段AP，再结合垂线段最短确定最值位置，最后通过面积法计算结果，体现了转化的数学思想，能很好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决EF的最小值问题，首先观察到图中∠BAC为直角，且PE⊥AB、PF⊥AC，可先判断四边形AEPF的形状；根据矩形的性质可将EF转化为与其相等的线段AP，此时问题转化为求点A到BC上动点P的最短距离；根据“垂线段最短”可知，当AP⊥BC时AP长度最小，最后通过勾股定理求BC长，再用三角形面积法计算出AP的长度，即可得到EF的最小值。
【解析】
解：连接AP。
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据垂线段最短，当AP⊥BC时，线段AP取得最小值，
此时由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} · AB · AC = \frac{1}{2} · BC · AP$，
代入数值解得：$AP=\frac{AB · AC}{BC}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{12}{5}}$
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用矩形的性质将待求线段EF转化为更易求解的线段AP，再结合垂线段最短确定最值位置，最后通过面积法计算结果，体现了转化的数学思想，能很好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4.如图，在$□ ABCD$中，$DE⊥ AB$，$BF⊥ CD$，垂足分别为E，F。求证：四边形DEBF是矩形。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
解析
【分析】
要证明四边形DEBF是矩形，可优先使用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，因此分两步推导：第一步先证四边形DEBF是平行四边形，第二步证该平行四边形有一个内角为直角。首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质得到EB//DF，再结合垂直的性质推导DE//BF，由两组对边分别平行即可判定DEBF是平行四边形，最后结合已知的垂直条件得到直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又
∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又
∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又
∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又
∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是灵活运用平行四边形和矩形的相关判定定理，解题时结合已知的垂直条件选择合适的判定方法即可快速求解，能够帮助学生巩固特殊四边形的性质与判定相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明四边形DEBF是矩形，可优先使用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理，因此分两步推导：第一步先证四边形DEBF是平行四边形，第二步证该平行四边形有一个内角为直角。首先利用平行四边形ABCD对边平行的性质得到EB//DF，再结合垂直的性质推导DE//BF，由两组对边分别平行即可判定DEBF是平行四边形，最后结合已知的垂直条件得到直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又
∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又
∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，即 EB // DF。
∵ DE ⊥ AB，AB // CD，
∴ DE ⊥ CD，
又
∵ BF ⊥ CD，
∴ DE // BF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
又
∵ ∠DEB = 90°，
∴ 平行四边形DEBF是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是灵活运用平行四边形和矩形的相关判定定理，解题时结合已知的垂直条件选择合适的判定方法即可快速求解，能够帮助学生巩固特殊四边形的性质与判定相关知识。
【难度系数】
0.8
5. 提升题＞如图，在$□ ABCD$中，过点D作$DE ⊥ AB$于点E，点F在CD边上，$CF=AE$，连接AF，BF。
(1)求证:四边形BFDE是矩形。
(2)若AF平分$∠ DAB$，$CF=3$，$DF=5$，求四边形BFDE的面积。
(1)求证:四边形BFDE是矩形。
(2)若AF平分$∠ DAB$，$CF=3$，$DF=5$，求四边形BFDE的面积。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $DE ⊥ AB$，
∴ $∠ DEB = 90°$。
∵ $CF = AE$，
∴ $CD - CF = AB - AE$，即 $DF = EB$。
又∵ $DF // EB$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
又∵ $∠ DEB = 90°$，
∴ 平行四边形$BFDE$是矩形。
---
(2) 解：
∵ $AF$平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAF = ∠ FAB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AB // CD$，
∴ $∠ FAB = ∠ DFA$，
∴ $∠ DAF = ∠ DFA$，
∴ $AD = DF = 5$。
∵ $AE = CF = 3$，$DE ⊥ AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由(1)知四边形$BFDE$是矩形，$EB = DF = 5$，
∴ 四边形$BFDE$的面积$= EB · DE = 5 × 4 = 20$。
答：四边形$BFDE$的面积为$\boldsymbol{20}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $DE ⊥ AB$，
∴ $∠ DEB = 90°$。
∵ $CF = AE$，
∴ $CD - CF = AB - AE$，即 $DF = EB$。
又∵ $DF // EB$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
又∵ $∠ DEB = 90°$，
∴ 平行四边形$BFDE$是矩形。
---
(2) 解：
∵ $AF$平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAF = ∠ FAB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AB // CD$，
∴ $∠ FAB = ∠ DFA$，
∴ $∠ DAF = ∠ DFA$，
∴ $AD = DF = 5$。
∵ $AE = CF = 3$，$DE ⊥ AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由(1)知四边形$BFDE$是矩形，$EB = DF = 5$，
∴ 四边形$BFDE$的面积$= EB · DE = 5 × 4 = 20$。
答：四边形$BFDE$的面积为$\boldsymbol{20}$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BFDE是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合已知CF=AE，可推出DF和EB平行且相等，先判定四边形BFDE是平行四边形，再结合DE⊥AB得到的90°角，即可证得它是矩形。
(2) 求矩形BFDE的面积，需先得到矩形的邻边长度：根据AF平分∠DAB，结合平行四边形对边平行的性质，可推出△ADF是等腰三角形，得到AD=DF=5；再在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，结合已知EB=DF=5，代入矩形面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $DE ⊥ AB$，
∴ $∠ DEB = 90°$。
∵ $CF = AE$，
∴ $CD - CF = AB - AE$，即 $DF = EB$。
又
∵ $DF // EB$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
又
∵ $∠ DEB = 90°$，
∴ 平行四边形$BFDE$是矩形。
(2) 解：
∵ $AF$平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAF = ∠ FAB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AB // CD$，
∴ $∠ FAB = ∠ DFA$，
∴ $∠ DAF = ∠ DFA$，
∴ $AD = DF = 5$。
∵ $AE = CF = 3$，$DE ⊥ AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由(1)知四边形$BFDE$是矩形，$EB = DF = 5$，
∴ 四边形$BFDE$的面积$= EB · DE = 5 × 4 = 20$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BFDE是矩形；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，综合考查了特殊四边形的判定、性质，以及角平分线、勾股定理的应用，解题核心是熟练掌握特殊四边形的相关定理，准确完成边角关系的转化。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形BFDE是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合已知CF=AE，可推出DF和EB平行且相等，先判定四边形BFDE是平行四边形，再结合DE⊥AB得到的90°角，即可证得它是矩形。
(2) 求矩形BFDE的面积，需先得到矩形的邻边长度：根据AF平分∠DAB，结合平行四边形对边平行的性质，可推出△ADF是等腰三角形，得到AD=DF=5；再在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长度，结合已知EB=DF=5，代入矩形面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AB = CD$。
∵ $DE ⊥ AB$，
∴ $∠ DEB = 90°$。
∵ $CF = AE$，
∴ $CD - CF = AB - AE$，即 $DF = EB$。
又
∵ $DF // EB$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
又
∵ $∠ DEB = 90°$，
∴ 平行四边形$BFDE$是矩形。
(2) 解：
∵ $AF$平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAF = ∠ FAB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AB // CD$，
∴ $∠ FAB = ∠ DFA$，
∴ $∠ DAF = ∠ DFA$，
∴ $AD = DF = 5$。
∵ $AE = CF = 3$，$DE ⊥ AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由(1)知四边形$BFDE$是矩形，$EB = DF = 5$，
∴ 四边形$BFDE$的面积$= EB · DE = 5 × 4 = 20$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BFDE是矩形；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，综合考查了特殊四边形的判定、性质，以及角平分线、勾股定理的应用，解题核心是熟练掌握特殊四边形的相关定理，准确完成边角关系的转化。
【难度系数】
0.7
