1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。下列结论不一定成立的是()


A.$AC=BD$
B.$OA=OC,OB=OD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB=CD,AD=BC$

C

【分析】
解决本题首先需要回忆矩形的性质，矩形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，又有自身特有的性质。我们可以逐一对应每个选项，判断其是否一定符合矩形的性质：平行四边形的性质有对边相等、对角线互相平分；矩形特有的性质为对角线相等、四个内角均为直角。而对角线互相垂直是菱形的性质，仅当矩形为正方形（特殊的矩形）时才满足，因此可以据此判断出不一定成立的结论。
【解析】
结合矩形的性质逐一分析选项：
A. 矩形的对角线相等，因此$AC=BD$，该结论一定成立；
B. 矩形属于平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此$OA=OC$、$OB=OD$，该结论一定成立；
C. 矩形的对角线仅满足相等且互相平分，不具备垂直的性质，只有当矩形是正方形时对角线才互相垂直，因此该结论不一定成立；
D. 矩形属于平行四边形，平行四边形的对边相等，因此$AB=CD$、$AD=BC$，该结论一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对矩形性质的掌握情况，解题时要注意区分不同特殊四边形的性质，避免混淆矩形和菱形的特有性质。
【难度系数】
0.9

2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O。若$∠ AOB = 60°$,$AB=3$,则AD的长为。

$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$

【分析】
解题时先回忆矩形的相关性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分。首先根据对角线的性质可推出OA=OB，结合已知∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，由此求出对角线BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理就能求出AD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∴BD=2OB=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的突破口是结合矩形对角线的性质和60°角证明等边三角形，进而求出对角线长度，再结合勾股定理求解，是矩形性质应用的典型常考题。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC的中点,点F在线段DE上,且$AF⊥BF$。若$AB=6$,$BC=10$,则EF的长为。

$\boldsymbol{2}$

【分析】
解题时先观察已知条件：D、E是AB、AC的中点，可优先考虑三角形中位线定理求出DE的长度；再结合AF⊥BF得到直角三角形ABF，利用D是AB中点的条件，用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出DF的长度，最后通过线段差DE-DF即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得$DE=\frac{1}{2}BC$，
∵BC=10，
∴$DE=\frac{1}{2}×10=5$。
∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，即△ABF是直角三角形，
又
∵D是AB的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$DF=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=6，
∴$DF=\frac{1}{2}×6=3$。
∴$EF=DE-DF=5-3=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，通过对线段的拆分求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7

4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F。求证:BE=CF。

证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，对角线互相平分，即 $OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
∵ $BE⊥ AC$，$CF⊥ BD$，
∴ $∠ BEO=∠ CFO=90°$。
在$△ BOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ BEO=∠ CFO \\∠ BOE=∠ COF \\OB=OC\end{cases}$
∴ $△ BOE ≌ △ COF$（AAS），
∴ $BE=CF$。

【分析】
要证明BE=CF，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。首先结合矩形的性质，矩形对角线相等且互相平分，可推导出OB=OC；再结合BE⊥AC、CF⊥BD的条件得到一组相等的直角，再加上一组公共的对顶角相等，即可用AAS判定△BOE和△COF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到BE=CF。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，对角线互相平分，即 $OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
∵ $BE⊥ AC$，$CF⊥ BD$，
∴ $∠ BEO=∠ CFO=90°$。
在$△ BOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ BEO=∠ CFO \\∠ BOE=∠ COF \\OB=OC\end{cases}$
∴ $△ BOE ≌ △ COF$（AAS），
∴ $BE=CF$。
【答案】
证明过程如上，可证得BE=CF。
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用矩形对角线的性质得到相等线段，再结合垂直、对顶角的相等条件证明三角形全等，掌握“证线段相等优先考虑证对应三角形全等”的常规思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 提升题＞如图,在矩形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作EF⊥AC,EF分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE。求证:四边形AECF是菱形。

证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠OAE = ∠OCF。
∵ O是AC的中点，
∴ AO = CO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE = ∠OCF \\AO = CO \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ OE = OF。
又∵ AO = CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形。

【分析】
要证明四边形AECF是菱形，可采用“先证平行四边形，再证对角线互相垂直”的思路：首先利用矩形对边平行的性质得到一组内错角相等，结合O是AC中点的条件，通过ASA证明△AOE和△COF全等，得到OE=OF，即可判定四边形AECF是平行四边形；再结合已知EF⊥AC的条件，根据菱形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠OAE = ∠OCF。
∵ O是AC的中点，
∴ AO = CO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE = ∠OCF \\AO = CO \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ OE = OF。
又
∵ AO = CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
【答案】
四边形AECF是菱形。
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了矩形性质、三角形全等证明、特殊四边形判定等考点，解题关键是先通过全等得到四边形对角线互相平分，完成平行四边形的判定，再结合对角线垂直的条件推出菱形，能有效考查学生对特殊四边形相关性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.7