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4. 如图12,在△ABC中,点D在边BC上,连接AD,点E在线段AD上,连接BE并延长交边AC于点F,且△ACD≌△BED.
(1)若BC=11,AD=8,求CD的长度;
(2)求证:∠AFE=∠ADB;
(3)若$S_{△ BCF}=20$,$S_{四边形CFED}=8$,则$S_{△ AEF}=$.
(1)若BC=11,AD=8,求CD的长度;
(2)求证:∠AFE=∠ADB;
(3)若$S_{△ BCF}=20$,$S_{四边形CFED}=8$,则$S_{△ AEF}=$.
答案
4. (1) $\because △ ACD≌ △ BED,AD=8,\therefore BD=AD=8.\ \because BC=11,\therefore CD=BC-BD=11-8=3.$
(2) $\because △ ACD≌ △ BED,\therefore ∠ CAD=∠ DBE.\ \because ∠ CAD+∠ AEF+∠ AFE=180°,∠ DBE+∠ BED+∠ ADB=180°,$且$∠ AEF=∠ BED,\therefore ∠ AFE=∠ ADB.$
(3) $\because S_{△ BCF}=20,S_{四边形CFED}=8,\therefore S_{△ BED}=20-8=12.\ \because △ ACD≌ △ BED,\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BED}=12,$则$S_{△ AEF}=S_{△ ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4.$
(2) $\because △ ACD≌ △ BED,\therefore ∠ CAD=∠ DBE.\ \because ∠ CAD+∠ AEF+∠ AFE=180°,∠ DBE+∠ BED+∠ ADB=180°,$且$∠ AEF=∠ BED,\therefore ∠ AFE=∠ ADB.$
(3) $\because S_{△ BCF}=20,S_{四边形CFED}=8,\therefore S_{△ BED}=20-8=12.\ \because △ ACD≌ △ BED,\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BED}=12,$则$S_{△ AEF}=S_{△ ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4.$
解析
【分析】
(1) 解题时先利用全等三角形对应边相等的性质，由△ACD≌△BED可得对应边BD=AD，已知BC和AD的长度，用BC的长度减去BD的长度即可求出CD的长。
(2) 要证明∠AFE=∠ADB，首先由全等三角形对应角相等得到∠CAD=∠DBE，观察可知∠AFE和∠ADB分别在△AEF和△BED中，两个三角形有一组对顶角∠AEF=∠BED，结合三角形内角和为180°，即可推出两个角相等。
(3) 利用全等三角形面积相等的性质，先通过△BCF的面积减去四边形CFED的面积得到△BED的面积，即可得到全等的△ACD的面积，再用△ACD的面积减去四边形CFED的面积，就能求出△AEF的面积。
【解析】
(1) 解：$\because △ ACD≌ △ BED,AD=8,\therefore BD=AD=8.\ \because BC=11,\therefore CD=BC-BD=11-8=3.$
(2) 证明：$\because △ ACD≌ △ BED,\therefore ∠ CAD=∠ DBE.\ \because ∠ CAD+∠ AEF+∠ AFE=180°,∠ DBE+∠ BED+∠ ADB=180°,$且$∠ AEF=∠ BED,\therefore ∠ AFE=∠ ADB.$
(3) 解：$\because S_{△ BCF}=20,S_{四边形CFED}=8,\therefore S_{△ BED}=20-8=12.\ \because △ ACD≌ △ BED,\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BED}=12,$则$S_{△ AEF}=S_{△ ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4.$
【答案】
(1) $CD=3$；
(2) 已证$∠ AFE=∠ ADB$；
(3) $4$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，面积和差计算
【点评】
本题围绕全等三角形的性质展开考察，涵盖了对应边、对应角、面积三类对应关系的应用，解题时需要结合图形找准对应元素，再结合内角和、面积和差关系推导结论，能有效锻炼对全等性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用全等三角形对应边相等的性质，由△ACD≌△BED可得对应边BD=AD，已知BC和AD的长度，用BC的长度减去BD的长度即可求出CD的长。
(2) 要证明∠AFE=∠ADB，首先由全等三角形对应角相等得到∠CAD=∠DBE，观察可知∠AFE和∠ADB分别在△AEF和△BED中，两个三角形有一组对顶角∠AEF=∠BED，结合三角形内角和为180°，即可推出两个角相等。
(3) 利用全等三角形面积相等的性质，先通过△BCF的面积减去四边形CFED的面积得到△BED的面积，即可得到全等的△ACD的面积，再用△ACD的面积减去四边形CFED的面积，就能求出△AEF的面积。
【解析】
(1) 解：$\because △ ACD≌ △ BED,AD=8,\therefore BD=AD=8.\ \because BC=11,\therefore CD=BC-BD=11-8=3.$
(2) 证明：$\because △ ACD≌ △ BED,\therefore ∠ CAD=∠ DBE.\ \because ∠ CAD+∠ AEF+∠ AFE=180°,∠ DBE+∠ BED+∠ ADB=180°,$且$∠ AEF=∠ BED,\therefore ∠ AFE=∠ ADB.$
(3) 解：$\because S_{△ BCF}=20,S_{四边形CFED}=8,\therefore S_{△ BED}=20-8=12.\ \because △ ACD≌ △ BED,\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BED}=12,$则$S_{△ AEF}=S_{△ ACD}-S_{四边形CFED}=12-8=4.$
【答案】
(1) $CD=3$；
(2) 已证$∠ AFE=∠ ADB$；
(3) $4$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，面积和差计算
【点评】
本题围绕全等三角形的性质展开考察，涵盖了对应边、对应角、面积三类对应关系的应用，解题时需要结合图形找准对应元素，再结合内角和、面积和差关系推导结论，能有效锻炼对全等性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 如图1,若使$△ ABC ≌ △ ADC$,需要满足的条件是(
A.$AB=AD,∠ B=∠ D$
B.$AB=AD,∠ ACB=∠ ACD$
C.$BC=DC,∠ BAC=∠ DAC$
D.$AB=AD,∠ BAC=∠ DAC$
1. 如图1,若使$△ ABC ≌ △ ADC$,需要满足的条件是(
D
)A.$AB=AD,∠ B=∠ D$
B.$AB=AD,∠ ACB=∠ ACD$
C.$BC=DC,∠ BAC=∠ DAC$
D.$AB=AD,∠ BAC=∠ DAC$
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确△ABC和△ADC存在隐含公共边AC，即AC=AC，判定两个三角形全等需要满足全等判定定理，本题可结合已学的SAS判定（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），同时注意SSA不能判定三角形全等，逐一验证各选项的条件能否和公共边组成有效判定条件即可。
【解析】
已知AC是△ABC和△ADC的公共边，因此AC=AC。
对各选项逐一分析：
A选项：给出AB=AD，∠B=∠D，结合AC=AC，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
B选项：给出AB=AD，∠ACB=∠ACD，结合AC=AC，属于SSA组合，不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
C选项：给出BC=DC，∠BAC=∠DAC，结合AC=AC，属于SSA组合，不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
D选项：给出AB=AD，∠BAC=∠DAC，结合AC=AC，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可判定△ABC≌△ADC，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定，隐含公共边识别
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题关键是先挖掘出图形中的隐含公共边，再结合全等判定定理筛选条件，同时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免掉入易错陷阱。
【难度系数】
0.8
首先明确△ABC和△ADC存在隐含公共边AC，即AC=AC，判定两个三角形全等需要满足全等判定定理，本题可结合已学的SAS判定（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），同时注意SSA不能判定三角形全等，逐一验证各选项的条件能否和公共边组成有效判定条件即可。
【解析】
已知AC是△ABC和△ADC的公共边，因此AC=AC。
对各选项逐一分析：
A选项：给出AB=AD，∠B=∠D，结合AC=AC，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
B选项：给出AB=AD，∠ACB=∠ACD，结合AC=AC，属于SSA组合，不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
C选项：给出BC=DC，∠BAC=∠DAC，结合AC=AC，属于SSA组合，不能判定△ABC≌△ADC，不符合要求；
D选项：给出AB=AD，∠BAC=∠DAC，结合AC=AC，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可判定△ABC≌△ADC，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定，隐含公共边识别
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题关键是先挖掘出图形中的隐含公共边，再结合全等判定定理筛选条件，同时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免掉入易错陷阱。
【难度系数】
0.8
2. 如图2，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线且交$BC$于$D$，点$E$在$AD$上，则图中全等的三角形有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AB=AC说明△ABC是等腰三角形，AD是角平分线，结合等腰三角形三线合一的性质可得到多组相等的边和角，再按照从大到小的顺序逐对排查全等三角形：先找包含AD的大三角形，再找包含点E的小三角形，逐一验证全等判定条件，避免漏数或多数。
【解析】
解：①证明△ABD≌△ACD：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又
∵AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
②证明△ABE≌△ACE：
∵点E在AD上，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
又
∵AB=AC，AE=AE（公共边），
∴△ABE≌△ACE（SAS）。
③证明△EBD≌△ECD：
由△ABD≌△ACD可得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
又
∵ED=ED（公共边），
∴△EBD≌△ECD（SAS）。
综上，全等三角形共有3对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题关键是结合等腰三角形和角平分线的性质找到对应相等的边和角，按照有序的方式查找全等三角形，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AB=AC说明△ABC是等腰三角形，AD是角平分线，结合等腰三角形三线合一的性质可得到多组相等的边和角，再按照从大到小的顺序逐对排查全等三角形：先找包含AD的大三角形，再找包含点E的小三角形，逐一验证全等判定条件，避免漏数或多数。
【解析】
解：①证明△ABD≌△ACD：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又
∵AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
②证明△ABE≌△ACE：
∵点E在AD上，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
又
∵AB=AC，AE=AE（公共边），
∴△ABE≌△ACE（SAS）。
③证明△EBD≌△ECD：
由△ABD≌△ACD可得BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
又
∵ED=ED（公共边），
∴△EBD≌△ECD（SAS）。
综上，全等三角形共有3对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题关键是结合等腰三角形和角平分线的性质找到对应相等的边和角，按照有序的方式查找全等三角形，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
3. 如图3，$AB=AC$，$AD=AE$，欲证$△ ABD ≌ △ ACE$，可补充条件(
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ B=∠ C$
C.$∠ D=∠ E$
D.$∠ BAE=∠ CAD$
A
)A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ B=∠ C$
C.$∠ D=∠ E$
D.$∠ BAE=∠ CAD$
答案
3. A
解析
【分析】
要证明△ABD≌△ACE，已知两组对应边AB=AC、AD=AE，根据三角形全等的判定定理，已知两边对应相等时，要么补充第三边对应相等（SSS判定），要么补充这两组边的夹角对应相等（SAS判定），接下来逐一分析各选项是否能推出上述判定所需条件即可。
【解析】
已知在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，逐一分析选项：
1. 选项A：若∠1=∠2，根据等式的性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，可得∠BAD=∠CAE。此时AB与AD的夹角∠BAD、AC与AE的夹角∠CAE相等，满足SAS全等判定条件，可证△ABD≌△ACE，符合要求。
2. 选项B：补充∠B=∠C，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于三角形全等的有效判定条件，无法证明全等，排除。
3. 选项C：补充∠D=∠E，同样属于SSA情形，无法证明全等，排除。
4. 选项D：补充∠BAE=∠CAD，根据角的和差运算可得∠BAC=∠DAE，不是△ABD和△ACE的对应夹角，无法推出全等判定所需条件，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用类题目，解题核心是明确两边对应相等时，只有两边的夹角对应相等才能用SAS判定全等，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，审题时要准确区分对应角。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD≌△ACE，已知两组对应边AB=AC、AD=AE，根据三角形全等的判定定理，已知两边对应相等时，要么补充第三边对应相等（SSS判定），要么补充这两组边的夹角对应相等（SAS判定），接下来逐一分析各选项是否能推出上述判定所需条件即可。
【解析】
已知在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，逐一分析选项：
1. 选项A：若∠1=∠2，根据等式的性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，可得∠BAD=∠CAE。此时AB与AD的夹角∠BAD、AC与AE的夹角∠CAE相等，满足SAS全等判定条件，可证△ABD≌△ACE，符合要求。
2. 选项B：补充∠B=∠C，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于三角形全等的有效判定条件，无法证明全等，排除。
3. 选项C：补充∠D=∠E，同样属于SSA情形，无法证明全等，排除。
4. 选项D：补充∠BAE=∠CAD，根据角的和差运算可得∠BAC=∠DAE，不是△ABD和△ACE的对应夹角，无法推出全等判定所需条件，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用类题目，解题核心是明确两边对应相等时，只有两边的夹角对应相等才能用SAS判定全等，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，审题时要准确区分对应角。
【难度系数】
0.8
4. 如图4，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是(
A.AB//CD
B.AD//BC
C.∠A=∠C
D.∠ABC=∠CDA
B
)A.AB//CD
B.AD//BC
C.∠A=∠C
D.∠ABC=∠CDA
答案
4. B
解析
【分析】
要判定△ABD和△CDB全等，首先梳理已知条件：题目给出AD=BC，同时两个三角形有公共边BD=DB，因此已有两组边对应相等。根据三角形全等的判定定理，两组边对应相等时，可补充第三组边相等（SSS）或两组边的夹角相等（SAS）来证明全等，需注意SSA（两边及其中一边的对角相等）不能作为全等判定依据。接下来逐一分析各选项推导的条件，判断是否符合全等判定要求即可。
【解析】
已知在△ABD和△CDB中，AD=BC，BD=DB（公共边）。
对各选项分析如下：
A. 若AB//CD，由平行线内错角相等可得∠ABD=∠CDB，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定全等，不符合要求；
B. 若AD//BC，由平行线内错角相等可得∠ADB=∠CBD，此时AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，满足SAS全等判定定理，可证明△ABD≌△CDB，符合要求；
C. 若∠A=∠C，同样为SSA的情况，无法判定全等，不符合要求；
D. 若∠ABC=∠CDA，无法推出符合三角形全等判定的对应条件，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的SAS判定，平行线的性质
【点评】
本题考查三角形全等判定的实际应用，解题时需先梳理已有条件，再结合选项推导的结论判断是否符合全等判定定理，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免出错。
【难度系数】
0.7
要判定△ABD和△CDB全等，首先梳理已知条件：题目给出AD=BC，同时两个三角形有公共边BD=DB，因此已有两组边对应相等。根据三角形全等的判定定理，两组边对应相等时，可补充第三组边相等（SSS）或两组边的夹角相等（SAS）来证明全等，需注意SSA（两边及其中一边的对角相等）不能作为全等判定依据。接下来逐一分析各选项推导的条件，判断是否符合全等判定要求即可。
【解析】
已知在△ABD和△CDB中，AD=BC，BD=DB（公共边）。
对各选项分析如下：
A. 若AB//CD，由平行线内错角相等可得∠ABD=∠CDB，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定全等，不符合要求；
B. 若AD//BC，由平行线内错角相等可得∠ADB=∠CBD，此时AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，满足SAS全等判定定理，可证明△ABD≌△CDB，符合要求；
C. 若∠A=∠C，同样为SSA的情况，无法判定全等，不符合要求；
D. 若∠ABC=∠CDA，无法推出符合三角形全等判定的对应条件，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的SAS判定，平行线的性质
【点评】
本题考查三角形全等判定的实际应用，解题时需先梳理已有条件，再结合选项推导的结论判断是否符合全等判定定理，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免出错。
【难度系数】
0.7
