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2. 化简并求值：$ab-(2a+b)(a-2b)-a(-a+b)$，其中$a=-1,b=\frac{1}{2}.$
答案
2. 原式=$-a^2+3ab+2b^2$,其值为$-2$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路是先按整式运算顺序，先计算乘法部分（包含多项式乘多项式、单项式乘多项式），再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号，随后合并同类项得到最简整式，最后将a、b的取值代入最简式计算结果。先化简再代入的方式可以避免直接代入的复杂计算，降低出错概率。
【解析】
解：先展开各项乘法并合并同类项化简：
$\begin{aligned}原式&=ab-(2a· a + 2a·(-2b) + b· a + b·(-2b)) - (a·(-a) + a· b)\\&=ab-(2a^2 -4ab +ab -2b^2) - (-a^2 +ab)\\&=ab -2a^2 +3ab +2b^2 +a^2 -ab\\&=(-2a^2 +a^2) + (ab +3ab -ab) + 2b^2\\&=-a^2 +3ab +2b^2\end{aligned}$
再代入$a=-1$，$b=\frac{1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 3×(-1)×\frac{1}{2} + 2×(\frac{1}{2})^2\\&=-1 - \frac{3}{2} + 2×\frac{1}{4}\\&=-1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-a^2+3ab+2b^2}$，求值结果为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的运算法则和去括号的符号规则，先化简后代入的计算思路能有效提升计算效率和准确率，做题时需注意避免多项式乘多项式漏乘、去括号符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题思路是先按整式运算顺序，先计算乘法部分（包含多项式乘多项式、单项式乘多项式），再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号，随后合并同类项得到最简整式，最后将a、b的取值代入最简式计算结果。先化简再代入的方式可以避免直接代入的复杂计算，降低出错概率。
【解析】
解：先展开各项乘法并合并同类项化简：
$\begin{aligned}原式&=ab-(2a· a + 2a·(-2b) + b· a + b·(-2b)) - (a·(-a) + a· b)\\&=ab-(2a^2 -4ab +ab -2b^2) - (-a^2 +ab)\\&=ab -2a^2 +3ab +2b^2 +a^2 -ab\\&=(-2a^2 +a^2) + (ab +3ab -ab) + 2b^2\\&=-a^2 +3ab +2b^2\end{aligned}$
再代入$a=-1$，$b=\frac{1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 3×(-1)×\frac{1}{2} + 2×(\frac{1}{2})^2\\&=-1 - \frac{3}{2} + 2×\frac{1}{4}\\&=-1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-a^2+3ab+2b^2}$，求值结果为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的运算法则和去括号的符号规则，先化简后代入的计算思路能有效提升计算效率和准确率，做题时需注意避免多项式乘多项式漏乘、去括号符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
3. 已知甲、乙两张长方形纸片，其边长如图所示$(m＞0)$，面积分别为$S_甲$和$S_乙$：
(1)①用含$m$的代数式表示：$S_甲$ =
②用“＜”“=”或“＞”填空：$S_甲$
(2)若一张正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为$S_正$.
①该正方形纸片的边长是
②小方同学发现$S_正$与$S_乙$的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由.
(1)①用含$m$的代数式表示：$S_甲$ =
$m^2+12m+27$
，$S_乙$ = $m^2+10m+24$
；②用“＜”“=”或“＞”填空：$S_甲$
＞
$S_乙$.(2)若一张正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为$S_正$.
①该正方形纸片的边长是
$m+5$
(用含$m$的代数式表示)；②小方同学发现$S_正$与$S_乙$的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由.
答案
3. (1)①$m^2+12m+27$，$m^2+10m+24$ ②$＞$ (2)①$m+5$ ②正确. 理由：$S_正-S_乙=(m+5)^2-(m^2+10m+24)=m^2+10m+25-m^2-10m-24=1$,所以$S_正$与$S_乙$的差为定值,即小方同学的发现是正确的.
解析
【分析】
(1)①利用长方形面积=长×宽的公式，分别代入甲、乙的边长，再通过多项式乘多项式法则展开即可得到对应面积的代数式；
②比较两个整式的大小采用作差法，计算$S_甲-S_乙$，结合$m＞0$判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系；
(2)①先根据长方形周长公式计算乙的周长，正方形周长与乙的周长相等，再用正方形边长=周长÷4化简即可得到边长；
②要判断差是否为定值，分别表示出正方形和乙的面积，计算两者的差，若结果不含$m$，则差为定值，小方的判断正确。
【解析】
(1)①根据长方形面积公式计算：
$S_甲=(m+9)(m+3)=m^2+3m+9m+27=m^2+12m+27$
$S_乙=(m+6)(m+4)=m^2+4m+6m+24=m^2+10m+24$
②作差比较大小：
$S_甲-S_乙=(m^2+12m+27)-(m^2+10m+24)=2m+3$
因为$m＞0$，所以$2m+3＞0$，因此$S_甲＞S_乙$
(2)①先计算长方形乙的周长：
$C_乙=2×[(m+6)+(m+4)]=2×(2m+10)=4m+20$
正方形周长等于乙的周长，因此正方形边长为$\frac{4m+20}{4}=m+5$
②小方的发现正确，计算如下：
$S_正=(m+5)^2=m^2+10m+25$
$S_正-S_乙=(m^2+10m+25)-(m^2+10m+24)=1$
计算结果为常数1，不含$m$，说明$S_正$与$S_乙$的差为定值，因此小方的发现正确。
【答案】
(1)①$m^2+12m+27$，$m^2+10m+24$ ②$＞$ (2)①$m+5$ ②正确. 理由：$S_正-S_乙=(m+5)^2-(m^2+10m+24)=m^2+10m+25-m^2-10m-24=1$，所以$S_正$与$S_乙$的差为定值，即小方同学的发现是正确的。
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考察整式的运算，属于基础应用类题型，解题核心是熟练掌握多项式乘法、整式加减的运算法则，计算时注意避免符号出错。
【难度系数】
0.8
(1)①利用长方形面积=长×宽的公式，分别代入甲、乙的边长，再通过多项式乘多项式法则展开即可得到对应面积的代数式；
②比较两个整式的大小采用作差法，计算$S_甲-S_乙$，结合$m＞0$判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系；
(2)①先根据长方形周长公式计算乙的周长，正方形周长与乙的周长相等，再用正方形边长=周长÷4化简即可得到边长；
②要判断差是否为定值，分别表示出正方形和乙的面积，计算两者的差，若结果不含$m$，则差为定值，小方的判断正确。
【解析】
(1)①根据长方形面积公式计算：
$S_甲=(m+9)(m+3)=m^2+3m+9m+27=m^2+12m+27$
$S_乙=(m+6)(m+4)=m^2+4m+6m+24=m^2+10m+24$
②作差比较大小：
$S_甲-S_乙=(m^2+12m+27)-(m^2+10m+24)=2m+3$
因为$m＞0$，所以$2m+3＞0$，因此$S_甲＞S_乙$
(2)①先计算长方形乙的周长：
$C_乙=2×[(m+6)+(m+4)]=2×(2m+10)=4m+20$
正方形周长等于乙的周长，因此正方形边长为$\frac{4m+20}{4}=m+5$
②小方的发现正确，计算如下：
$S_正=(m+5)^2=m^2+10m+25$
$S_正-S_乙=(m^2+10m+25)-(m^2+10m+24)=1$
计算结果为常数1，不含$m$，说明$S_正$与$S_乙$的差为定值，因此小方的发现正确。
【答案】
(1)①$m^2+12m+27$，$m^2+10m+24$ ②$＞$ (2)①$m+5$ ②正确. 理由：$S_正-S_乙=(m+5)^2-(m^2+10m+24)=m^2+10m+25-m^2-10m-24=1$，所以$S_正$与$S_乙$的差为定值，即小方同学的发现是正确的。
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考察整式的运算，属于基础应用类题型，解题核心是熟练掌握多项式乘法、整式加减的运算法则，计算时注意避免符号出错。
【难度系数】
0.8
观察下列等式：
$(x-1)(x+1)=x^2-1$，$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，…….
(1)根据上述规律可得$(x-1)(x^n+x^{n-1}+···+x^2+x+1)=\_\_\_\_\_\_(n为整数)$；
(2)利用上述规律求$1+2+2^2+2^3+···+2^{63}$的值.
$(x-1)(x+1)=x^2-1$，$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$，…….
(1)根据上述规律可得$(x-1)(x^n+x^{n-1}+···+x^2+x+1)=\_\_\_\_\_\_(n为整数)$；
(2)利用上述规律求$1+2+2^2+2^3+···+2^{63}$的值.
答案
(1)$x^{n+1}-1$ (2)$2^{64}-1$
解析
【分析】
(1)先观察给出的等式：当$(x-1)$与x的1次到0次的和相乘时，结果是x的2次减1；与x的2次到0次的和相乘时，结果是x的3次减1；与x的3次到0次的和相乘时，结果是x的4次减1。可发现结果中x的次数比乘式中x的最高次数多1，据此可归纳出通用规律。
(2)所求式子是底数为2的幂次相加的和，对比(1)的规律，可将x替换为2，给原式乘$(2-1)$（2-1=1，乘1不改变原式大小），即可直接套用规律计算结果。
【解析】
(1)观察已知等式：
当n=1时，$(x-1)(x+1)=x^{2}-1=x^{1+1}-1$；
当n=2时，$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=x^{2+1}-1$；
当n=3时，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1=x^{3+1}-1$；
由此归纳可得：$(x-1)(x^n+x^{n-1}+···+x^2+x+1)=x^{n+1}-1$。
(2)根据(1)的规律，令x=2，n=63，可得：
$(2-1)(2^{63}+2^{62}+···+2^2+2+1)=2^{63+1}-1=2^{64}-1$
因为$2-1=1$，所以$1+2+2^2+2^3+···+2^{63}=2^{64}-1$。
【答案】
(1)$x^{n+1}-1$；(2)$2^{64}-1$
【知识点】
1.多项式乘多项式 2.规律探究与应用
【点评】
本题通过已知等式引导学生归纳整式乘法的通用规律，再利用规律简化高次幂求和的计算，核心是要准确把握规律的结构特征，灵活将所求算式转化为符合规律的形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1)先观察给出的等式：当$(x-1)$与x的1次到0次的和相乘时，结果是x的2次减1；与x的2次到0次的和相乘时，结果是x的3次减1；与x的3次到0次的和相乘时，结果是x的4次减1。可发现结果中x的次数比乘式中x的最高次数多1，据此可归纳出通用规律。
(2)所求式子是底数为2的幂次相加的和，对比(1)的规律，可将x替换为2，给原式乘$(2-1)$（2-1=1，乘1不改变原式大小），即可直接套用规律计算结果。
【解析】
(1)观察已知等式：
当n=1时，$(x-1)(x+1)=x^{2}-1=x^{1+1}-1$；
当n=2时，$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=x^{2+1}-1$；
当n=3时，$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1=x^{3+1}-1$；
由此归纳可得：$(x-1)(x^n+x^{n-1}+···+x^2+x+1)=x^{n+1}-1$。
(2)根据(1)的规律，令x=2，n=63，可得：
$(2-1)(2^{63}+2^{62}+···+2^2+2+1)=2^{63+1}-1=2^{64}-1$
因为$2-1=1$，所以$1+2+2^2+2^3+···+2^{63}=2^{64}-1$。
【答案】
(1)$x^{n+1}-1$；(2)$2^{64}-1$
【知识点】
1.多项式乘多项式 2.规律探究与应用
【点评】
本题通过已知等式引导学生归纳整式乘法的通用规律，再利用规律简化高次幂求和的计算，核心是要准确把握规律的结构特征，灵活将所求算式转化为符合规律的形式，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
