13. 小明在广州通过某快递公司给在武汉的外婆寄一些荔枝，他了解到这个公司除了收取6元的打包费外，荔枝不超过1 kg收费22元，超过1 kg的部分按照每千克10元加收费用。设该公司从广州到武汉寄荔枝的快递费用为y元，所寄荔枝的质量为x kg。
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知小明给外婆寄了2.5 kg荔枝，请你求出这次的快递费用。

13.解:(1)当 $0＜x≤1$ 时,$y=6+22=28$;当$x＞1$ 时,$y=6+22+10(x-1)=10x+18$。故 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是
$y=\begin{cases}28(0＜x≤1),\\10x+18(x＞1)。\end{cases}$
(2)将 $x=2.5$ 代入 $y=10x+18$,
得 $y=43$,
所以这次的快递费用是 43 元。

【分析】
这是一道分段函数的实际应用题，解题时需按照收费规则分情况讨论：(1)首先划分自变量x的两个取值范围：①当所寄荔枝重量不超过1kg（即0＜x≤1）时，快递费由固定打包费和1kg以内的快递费两部分组成，直接求和即可得到该区间的函数值；②当重量超过1kg（即x＞1）时，快递费除了基础的打包费加首重费外，还需加收超出1kg部分的费用，超出重量为(x-1)kg，按每千克10元计算，相加后化简即可得到该区间的函数关系式。(2)求解快递费时，先判断所给重量2.5kg属于哪个取值范围，再代入对应区间的函数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)分两种情况讨论：
①当 $0 ＜ x ≤ 1$ 时，快递费包含6元打包费和22元首重费，因此 $y = 6 + 22 = 28$；
②当 $x ＞ 1$ 时，快递费由打包费、首重费、超出部分加收费用组成，超出1kg的重量为 $(x-1)$ kg，因此：
$y = 6 + 22 + 10(x - 1) = 10x + 18$
综上，y与x的关系式为：
$y=\begin{cases}28&(0 ＜ x ≤ 1)\\10x+18&(x ＞ 1)\end{cases}$
(2)因为 $2.5 ＞ 1$，所以将 $x = 2.5$ 代入 $y = 10x + 18$ 得：
$y = 10×2.5 + 18 = 25 + 18 = 43$
【答案】
(1)$y=\begin{cases}28(0＜x≤1)\\10x+18(x＞1)\end{cases}$
(2)这次的快递费用是43元。
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；函数值计算
【点评】
本题结合生活中快递收费的常见场景，考查分类讨论思想在函数问题中的应用，解题关键是理清不同重量区间的收费规则，准确写出对应区间的函数关系式，代入求值时注意先判断自变量所属的区间，避免代错解析式。
【难度系数】
0.8

14.【数学应用】如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC=3\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$出发,以$\sqrt{2}\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$方向运动到点$B$,动点$Q$同时从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿折线$A-C-B$方向运动到点$B$,设$△ APQ$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,点$Q$的运动时间为$x\ \mathrm{s}$。
(1)写出$y$与$x$之间的关系式,并写出自变量的取值范围；
(2)若$△ APQ$的面积为$2\ \mathrm{cm}^2$,求$x$的值。

14.解:(1)当点Q在AC上运动时,$0≤ x≤3$,过点 Q 作 $QD⊥ AB$ 于点 D。
根据题意可知,$AQ=x\ \mathrm{cm}$,$AP=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
因为在$△ ABC$中,$∠ A=45°$,
所以 $AD=DQ$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADQ$ 中,
由勾股定理可知 $2QD^2=x^2$,
所以 $QD=\dfrac{\sqrt{2}x}{2}\ \mathrm{cm}$,
于是 $y=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}x×\dfrac{\sqrt{2}x}{2}=\dfrac{1}{2}x^2$。
如图②,当点 Q 在 CB 上运动时,$3＜x≤6$,此时点 P 与点 B 重合,过点 Q 作 $QE⊥ AB$ 于点 E,由题意得$AC+CQ=x\ \mathrm{cm}$,则 $BQ=(6-x)\mathrm{cm}$。
因为在$△ ABC$中,
$∠ C=90°,AC=BC=3\ \mathrm{cm}$,
所以 $∠ B=45°$,$AB=AP=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ BEQ$ 中,$2QE^2=(6-x)^2$,
于是 $QE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\mathrm{cm}$,
所以 $y=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}(6-x)=-\dfrac{3}{2}x+9$。
综上所述,$y=\begin{cases}\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x≤3),\\-\dfrac{3}{2}x+9(3＜x≤6)。\end{cases}$
(2)当 $0≤ x≤3$ 时,令 $\dfrac{1}{2}x^2=2$,
解得 $x=2$,$x=-2$(舍去);
当 $3＜x≤6$ 时,令 $-\dfrac{3}{2}x+9=2$,
解得 $x=\dfrac{14}{3}$。
所以 $x$ 的值为 2 或 $\dfrac{14}{3}$。

【分析】
本题是动点结合分段函数的几何应用题，解题思路如下：1. 先确定动点Q的运动阶段：Q沿A-C-B运动，AC长3cm，速度1cm/s，因此0≤x≤3时Q在AC上，3＜x≤6时Q在CB上，需分两个阶段分别计算面积函数；2. 计算每个阶段△APQ的底和高：△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，可利用45°角直角三角形的边长关系求出Q到AB的垂线段长度（即三角形的高），再结合AP的长度用三角形面积公式写出y的表达式；3. 第二问求面积为2时的x值，分别代入两个阶段的函数式求解，注意检验解是否在对应自变量的取值范围内，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点Q在AC上运动时，$0≤ x≤3$，过点Q作$QD⊥ AB$于点D。
根据题意可知，$AQ=x\ \mathrm{cm}$，$AP=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
因为在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，所以$∠ A=45°$，则$\mathrm{Rt}△ ADQ$为等腰直角三角形，$AD=DQ$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADQ$ 中，由勾股定理得$AD^2+DQ^2=AQ^2$，即$2QD^2=x^2$，解得$QD=\dfrac{\sqrt{2}x}{2}\ \mathrm{cm}$。
因此$y=\dfrac{1}{2}×AP×QD=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}x×\dfrac{\sqrt{2}x}{2}=\dfrac{1}{2}x^2$。
② 当点Q在CB上运动时，$3＜x≤6$，此时点P的运动路程为$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，刚好等于AB的长度，因此点P与点B重合。过点Q作$QE⊥ AB$于点E，由题意得$AC+CQ=x\ \mathrm{cm}$，则 $BQ=(6-x)\mathrm{cm}$。
因为$∠ B=45°$，则$\mathrm{Rt}△ BEQ$为等腰直角三角形，同理可得$QE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(6-x)\mathrm{cm}$，此时$AP=AB=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
因此$y=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}(6-x)=-\dfrac{3}{2}x+9$。
(2) 分情况代入求解：
① 当 $0≤ x≤3$ 时，令 $\dfrac{1}{2}x^2=2$，解得 $x=2$，$x=-2$（不符合取值范围，舍去）；
② 当 $3＜x≤6$ 时，令 $-\dfrac{3}{2}x+9=2$，解得 $x=\dfrac{14}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x≤3)\\-\dfrac{3}{2}x+9(3＜x≤6)\end{cases}$
(2) $x$的值为$2$或$\dfrac{14}{3}$
【知识点】
1. 分段函数的应用
2. 等腰直角三角形的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于几何动点类的函数应用问题，解题的核心是根据动点的运动路径合理划分自变量的取值范围，结合几何图形的性质求出对应阶段的函数关系式，求解方程后要注意验证解是否符合对应阶段的取值范围，避免出现增解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6