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8. 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：当每户每月的用水量不超过6 m³时，水价为每立方米2元；超过6 m³时，超过的部分按每立方米3元收费。该市某户居民5月用水x m³，应交水费y元。
(1)若0＜x≤6，请写出y与x之间的关系式；
(2)若x＞6，请写出y与x之间的关系式；
(3)如果某户居民这个月的水费为27元，那么这个月该户居民用水多少立方米？
(1)若0＜x≤6，请写出y与x之间的关系式；
(2)若x＞6，请写出y与x之间的关系式；
(3)如果某户居民这个月的水费为27元，那么这个月该户居民用水多少立方米？
答案
8.解:(1)$y=2x(0＜x≤6)$。
(2)$y=12+3(x-6)=3x-6(x＞6)$。
(3)当用水量 $x=6$ 时,$y=2x=12＜27$,
所以 $x＞6$,由 $3x-6=27$ 得 $x=11$,因此,这个月该户居民用水 $11\ \mathrm{m}^3$。
(2)$y=12+3(x-6)=3x-6(x＞6)$。
(3)当用水量 $x=6$ 时,$y=2x=12＜27$,
所以 $x＞6$,由 $3x-6=27$ 得 $x=11$,因此,这个月该户居民用水 $11\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
本题是分段计费类的实际应用题，需结合不同用水量对应的收费规则分步分析：
(1)当0＜x≤6时，水价统一为2元/立方米，直接根据“总水费=单价×用水量”推导关系式即可；
(2)当x＞6时，水费分为两部分：前6立方米按2元/立方米收费，超出6立方米的部分按3元/立方米收费，将两部分费用相加后化简即可得到对应关系式；
(3)已知水费求用水量时，先计算6立方米对应的水费，和27元比较判断用水量的区间，再代入对应关系式列方程求解即可。
【解析】
(1)当0＜x≤6时，水价为2元/立方米，因此总水费：
$\boldsymbol{y=2x(0＜x≤6)}$
(2)当x＞6时，前6立方米的水费为$6×2=12$元，超出6立方米的部分为$(x-6)$立方米，费用为$3(x-6)$元，因此总水费：
$y=12+3(x-6)=3x-6$，即$\boldsymbol{y=3x-6(x＞6)}$
(3)先计算用水量为6立方米时的水费：当$x=6$时，$y=2×6=12$元，因为$12＜27$，说明当月用水量超过6立方米，将$y=27$代入$y=3x-6$得：
$3x-6=27$
解方程得$3x=33$，$x=11$
【答案】
(1)$y=2x(0＜x≤6)$
(2)$y=3x-6(x＞6)$
(3)$11\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题是分段计费问题的基础考法，解题关键是明确不同自变量取值范围对应的计费规则，求值类问题要先判断自变量所属区间再代入对应关系式计算，避免代错公式。
【难度系数】
0.8
本题是分段计费类的实际应用题，需结合不同用水量对应的收费规则分步分析：
(1)当0＜x≤6时，水价统一为2元/立方米，直接根据“总水费=单价×用水量”推导关系式即可；
(2)当x＞6时，水费分为两部分：前6立方米按2元/立方米收费，超出6立方米的部分按3元/立方米收费，将两部分费用相加后化简即可得到对应关系式；
(3)已知水费求用水量时，先计算6立方米对应的水费，和27元比较判断用水量的区间，再代入对应关系式列方程求解即可。
【解析】
(1)当0＜x≤6时，水价为2元/立方米，因此总水费：
$\boldsymbol{y=2x(0＜x≤6)}$
(2)当x＞6时，前6立方米的水费为$6×2=12$元，超出6立方米的部分为$(x-6)$立方米，费用为$3(x-6)$元，因此总水费：
$y=12+3(x-6)=3x-6$，即$\boldsymbol{y=3x-6(x＞6)}$
(3)先计算用水量为6立方米时的水费：当$x=6$时，$y=2×6=12$元，因为$12＜27$，说明当月用水量超过6立方米，将$y=27$代入$y=3x-6$得：
$3x-6=27$
解方程得$3x=33$，$x=11$
【答案】
(1)$y=2x(0＜x≤6)$
(2)$y=3x-6(x＞6)$
(3)$11\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题是分段计费问题的基础考法，解题关键是明确不同自变量取值范围对应的计费规则，求值类问题要先判断自变量所属区间再代入对应关系式计算，避免代错公式。
【难度系数】
0.8
9. 甲、乙两家商店出售同一种练习本，已知两家商店的标价都是每本练习本1元，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%销售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%销售。若所购数量$x＞10$，则在甲商店购买的费用$y_1$可以表示为
$y_1=0.7x+3$
；在乙商店购买的费用$y_2$可以表示为$y_2=0.85x$
。如果用24元购买这款练习本，最多可以购买30
本。答案
9.$y_1=0.7x+3$
$y_2=0.85x$ 30
$y_2=0.85x$ 30
解析
【分析】
解题时需分三步思考：第一步推导甲商店的费用函数，当购买数量x＞10时，费用分为两部分，前10本按原价1元/本收费，超出10本的部分按7折收费，两部分相加再化简即可得到$y_1$；第二步推导乙商店的费用函数，乙商店全部练习本都按8.5折收费，直接用单价乘数量即可得到$y_2$；第三步计算24元最多可购买的数量，分别将y=24代入两个函数式求解x，取整数后比较大小，更大的数就是最多可购买的数量。
【解析】
1. 求甲商店费用$y_1$（$x＞10$）：
前10本的费用：$10×1=10$元
超出10本的数量为$(x-10)$本，这部分单价为$1×70\%=0.7$元，费用为$0.7(x-10)$元
总费用$y_1=10+0.7(x-10)=10+0.7x-7=0.7x+3$
2. 求乙商店费用$y_2$：
乙商店每本单价为$1×85\%=0.85$元，总费用$y_2=0.85x$
3. 计算24元最多可购买的数量：
① 在甲商店购买：令$y_1=24$，即$0.7x+3=24$
解得：$0.7x=21$，$x=30$
② 在乙商店购买：令$y_2=24$，即$0.85x=24$
解得：$x\approx28.24$，练习本数量为正整数，最多买28本
对比可知，最多可以购买30本。
【答案】
$y_1=0.7x+3$；$y_2=0.85x$；30
【知识点】
列一次函数解析式；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景命题，考查了分段计费类函数关系式的列法，以及利用函数解决实际消费问题的能力，解题时要注意分段计费的收费规则，实际购买数量需取正整数。
【难度系数】
0.7
解题时需分三步思考：第一步推导甲商店的费用函数，当购买数量x＞10时，费用分为两部分，前10本按原价1元/本收费，超出10本的部分按7折收费，两部分相加再化简即可得到$y_1$；第二步推导乙商店的费用函数，乙商店全部练习本都按8.5折收费，直接用单价乘数量即可得到$y_2$；第三步计算24元最多可购买的数量，分别将y=24代入两个函数式求解x，取整数后比较大小，更大的数就是最多可购买的数量。
【解析】
1. 求甲商店费用$y_1$（$x＞10$）：
前10本的费用：$10×1=10$元
超出10本的数量为$(x-10)$本，这部分单价为$1×70\%=0.7$元，费用为$0.7(x-10)$元
总费用$y_1=10+0.7(x-10)=10+0.7x-7=0.7x+3$
2. 求乙商店费用$y_2$：
乙商店每本单价为$1×85\%=0.85$元，总费用$y_2=0.85x$
3. 计算24元最多可购买的数量：
① 在甲商店购买：令$y_1=24$，即$0.7x+3=24$
解得：$0.7x=21$，$x=30$
② 在乙商店购买：令$y_2=24$，即$0.85x=24$
解得：$x\approx28.24$，练习本数量为正整数，最多买28本
对比可知，最多可以购买30本。
【答案】
$y_1=0.7x+3$；$y_2=0.85x$；30
【知识点】
列一次函数解析式；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景命题，考查了分段计费类函数关系式的列法，以及利用函数解决实际消费问题的能力，解题时要注意分段计费的收费规则，实际购买数量需取正整数。
【难度系数】
0.7
10. 小汽车开始行驶时，油箱中原有油56 L，如果每小时耗油8 L，那么油箱中剩余的油量y(L)与行驶时间x(h)之间的关系是
$y=56-8x$
，自变量的取值范围为$0≤ x≤7$
，当x=4时，函数值y=24
。当油箱中剩余油量为8 L时，汽车行驶了6
h。答案
10.$y=56-8x$ $0≤ x≤7$ 24 6
解析
【分析】
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=原有油量 - 行驶过程中消耗的油量，据此先写出函数关系式。再结合实际意义确定自变量的取值范围：行驶时间不能为负数，同时油箱剩余油量也不能为负数，列不等式求解即可得到x的范围。求对应函数值或自变量值时，直接将已知量代入函数关系式计算即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知油箱原有油56L，每小时耗油8L，行驶x小时的耗油量为8x L，因此剩余油量$ y = 56 - 8x $。
2. 确定自变量取值范围：
行驶时间不可能为负数，因此$ x ≥ 0 $；油箱剩余油量不能小于0，因此$ 56 - 8x ≥ 0 $，解该不等式得$ x ≤ 7 $。综上自变量的取值范围为$ 0 ≤ x ≤ 7 $。
3. 计算x=4时的函数值：
将$ x=4 $代入$ y = 56 - 8x $，得$ y = 56 - 8 × 4 = 56 - 32 = 24 $。
4. 计算剩余油量为8L时的行驶时间：
将$ y=8 $代入$ y = 56 - 8x $，得$ 8 = 56 - 8x $，移项计算得$ 8x = 48 $，解得$ x = 6 $。
【答案】
$ y=56-8x $；$ 0≤ x≤7 $；24；6
【知识点】
一次函数实际应用；自变量取值范围；函数值计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系列出函数式，需特别注意实际问题中自变量的取值要符合现实情境，不能仅从代数表达式出发判断范围。
【难度系数】
0.8
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=原有油量 - 行驶过程中消耗的油量，据此先写出函数关系式。再结合实际意义确定自变量的取值范围：行驶时间不能为负数，同时油箱剩余油量也不能为负数，列不等式求解即可得到x的范围。求对应函数值或自变量值时，直接将已知量代入函数关系式计算即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知油箱原有油56L，每小时耗油8L，行驶x小时的耗油量为8x L，因此剩余油量$ y = 56 - 8x $。
2. 确定自变量取值范围：
行驶时间不可能为负数，因此$ x ≥ 0 $；油箱剩余油量不能小于0，因此$ 56 - 8x ≥ 0 $，解该不等式得$ x ≤ 7 $。综上自变量的取值范围为$ 0 ≤ x ≤ 7 $。
3. 计算x=4时的函数值：
将$ x=4 $代入$ y = 56 - 8x $，得$ y = 56 - 8 × 4 = 56 - 32 = 24 $。
4. 计算剩余油量为8L时的行驶时间：
将$ y=8 $代入$ y = 56 - 8x $，得$ 8 = 56 - 8x $，移项计算得$ 8x = 48 $，解得$ x = 6 $。
【答案】
$ y=56-8x $；$ 0≤ x≤7 $；24；6
【知识点】
一次函数实际应用；自变量取值范围；函数值计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是找准题目中的等量关系列出函数式，需特别注意实际问题中自变量的取值要符合现实情境，不能仅从代数表达式出发判断范围。
【难度系数】
0.8
11. 根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放。在换水时，需要经过“排水－清洗－灌水”的过程。已知某游泳馆的游泳池中原有水800 m³，现开始排水，每小时排出60 m³的水，记池中剩余水量为Q m³，放水时间为t h，则Q与t之间的关系式为
$Q=800-60t$
，Q是t的一次
函数，其中自变量t的取值范围是$0≤ t≤\dfrac{40}{3}$
，12 h后，池中还有水80
m³。答案
11.$Q=800-60t$ 一次 $0≤ t≤\dfrac{40}{3}$ 80
解析
【分析】
解题时首先结合题意明确剩余水量的计算逻辑：剩余水量=原有水量-排出水量，据此列出Q与t的关系式；再对照一次函数的定义判断函数类型；接下来结合实际意义，时间不能为负数、剩余水量也不能为负数，求解得到自变量t的取值范围；最后将t=12代入关系式即可计算出12h后池中剩余的水量。
【解析】
1. 列Q与t的关系式：
已知原有水量为800$\mathrm{m^3}$，每小时排水60$\mathrm{m^3}$，$t$小时的排水量为$60t\ \mathrm{m^3}$，因此剩余水量$Q=800-60t$。
2. 判断函数类型：
整理关系式得$Q=-60t+800$，符合一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的形式，因此$Q$是$t$的一次函数。
3. 求自变量$t$的取值范围：
① 放水时间$t$不能为负数，因此$t≥0$；
② 池中剩余水量不能为负数，即$Q≥0$，代入得$800-60t≥0$，解不等式得$t≤\dfrac{40}{3}$；
综上，$t$的取值范围是$0≤ t≤\dfrac{40}{3}$。
4. 计算12h后池中剩余水量：
将$t=12$代入$Q=800-60t$，得$Q=800-60×12=800-720=80$（$\mathrm{m^3}$）。
【答案】
$Q=800-60t$；一次；$0≤ t≤\dfrac{40}{3}$；$80$
【知识点】
列函数关系式；一次函数识别；自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是找准数量关系列出函数式，同时要注意自变量的取值必须符合实际场景的限制，不能仅从代数式本身判断。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合题意明确剩余水量的计算逻辑：剩余水量=原有水量-排出水量，据此列出Q与t的关系式；再对照一次函数的定义判断函数类型；接下来结合实际意义，时间不能为负数、剩余水量也不能为负数，求解得到自变量t的取值范围；最后将t=12代入关系式即可计算出12h后池中剩余的水量。
【解析】
1. 列Q与t的关系式：
已知原有水量为800$\mathrm{m^3}$，每小时排水60$\mathrm{m^3}$，$t$小时的排水量为$60t\ \mathrm{m^3}$，因此剩余水量$Q=800-60t$。
2. 判断函数类型：
整理关系式得$Q=-60t+800$，符合一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的形式，因此$Q$是$t$的一次函数。
3. 求自变量$t$的取值范围：
① 放水时间$t$不能为负数，因此$t≥0$；
② 池中剩余水量不能为负数，即$Q≥0$，代入得$800-60t≥0$，解不等式得$t≤\dfrac{40}{3}$；
综上，$t$的取值范围是$0≤ t≤\dfrac{40}{3}$。
4. 计算12h后池中剩余水量：
将$t=12$代入$Q=800-60t$，得$Q=800-60×12=800-720=80$（$\mathrm{m^3}$）。
【答案】
$Q=800-60t$；一次；$0≤ t≤\dfrac{40}{3}$；$80$
【知识点】
列函数关系式；一次函数识别；自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是找准数量关系列出函数式，同时要注意自变量的取值必须符合实际场景的限制，不能仅从代数式本身判断。
【难度系数】
0.85
12. 甲、乙两采摘园销售品质相同的红心蜜柚，销售价格都是每千克12元。国庆期间，两园均推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买30元门票，采摘红心蜜柚按原价的七折收费；乙园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘超过10 kg后，超过部分按六折收费。设某游客的采摘量为x kg，甲园所需总费用为$ y_1 $元，乙园所需总费用为$ y_2 $元。
（1）当采摘量超过10 kg时，求$ y_1 $，$ y_2 $与x之间的关系式；
（2）若要采摘30 kg，去哪个采摘园比较合算？请计算说明。
（1）当采摘量超过10 kg时，求$ y_1 $，$ y_2 $与x之间的关系式；
（2）若要采摘30 kg，去哪个采摘园比较合算？请计算说明。
答案
12.解:(1)$y_1=30+12x×0.7=8.4x+30$;$y_2=12×10+12×0.6×(x-10)=7.2x+48$。
(2)当 $x=30$ 时,
$y_1=8.4×30+30=282$,
$y_2=7.2×30+48=264$。
因为 $282＞264$,所以去乙采摘园比较合算。
(2)当 $x=30$ 时,
$y_1=8.4×30+30=282$,
$y_2=7.2×30+48=264$。
因为 $282＞264$,所以去乙采摘园比较合算。
解析
【分析】
（1）求解两个采摘园的费用函数时，首先明确总费用的构成：甲园总费用=固定门票费+打折后的采摘费用，采摘按原价七折，可直接列出$y_1$的关系式；乙园当采摘量超过10kg时，总费用分为两部分，前10kg按原价收费，超过10kg的部分按六折收费，分段计算后合并化简即可得到$y_2$的关系式。
（2）判断采摘30kg去哪个园合算，只需将$x=30$分别代入（1）中得到的两个函数关系式，计算出对应的总费用，比较两个费用的大小，费用更低的采摘园更合算。
【解析】
（1）根据甲园的优惠方案，总费用$y_1$为门票费加七折后的采摘费用，代入数据可得：
$y_1=30+12×0.7x=8.4x+30$
根据乙园的优惠方案，当采摘量$x＞10$时，总费用$y_2$为前10kg的原价费用加超过10kg部分的六折费用，代入数据可得：
$y_2=12×10+12×0.6×(x-10)$
化简得：$y_2=7.2x+48$
（2）当采摘量$x=30$时，分别代入两个函数式计算：
$y_1=8.4×30+30=282$
$y_2=7.2×30+48=264$
因为$282＞264$，所以采摘30kg时去乙园总费用更低。
【答案】
(1)$y_1=8.4x+30$；$y_2=7.2x+48$
(2)去乙采摘园比较合算。
【知识点】
一次函数实际应用；分段计费问题；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题核心是理清不同优惠规则下的费用构成，正确建立函数关系式，再通过代入求值、比较大小得到最优方案，注重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
（1）求解两个采摘园的费用函数时，首先明确总费用的构成：甲园总费用=固定门票费+打折后的采摘费用，采摘按原价七折，可直接列出$y_1$的关系式；乙园当采摘量超过10kg时，总费用分为两部分，前10kg按原价收费，超过10kg的部分按六折收费，分段计算后合并化简即可得到$y_2$的关系式。
（2）判断采摘30kg去哪个园合算，只需将$x=30$分别代入（1）中得到的两个函数关系式，计算出对应的总费用，比较两个费用的大小，费用更低的采摘园更合算。
【解析】
（1）根据甲园的优惠方案，总费用$y_1$为门票费加七折后的采摘费用，代入数据可得：
$y_1=30+12×0.7x=8.4x+30$
根据乙园的优惠方案，当采摘量$x＞10$时，总费用$y_2$为前10kg的原价费用加超过10kg部分的六折费用，代入数据可得：
$y_2=12×10+12×0.6×(x-10)$
化简得：$y_2=7.2x+48$
（2）当采摘量$x=30$时，分别代入两个函数式计算：
$y_1=8.4×30+30=282$
$y_2=7.2×30+48=264$
因为$282＞264$，所以采摘30kg时去乙园总费用更低。
【答案】
(1)$y_1=8.4x+30$；$y_2=7.2x+48$
(2)去乙采摘园比较合算。
【知识点】
一次函数实际应用；分段计费问题；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题核心是理清不同优惠规则下的费用构成，正确建立函数关系式，再通过代入求值、比较大小得到最优方案，注重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
