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7.如图所示的是一个无盖长方体形盒子的表面展开图(单位:cm),则盒子的容积为
6 cm³
。(盒子的厚度不计)答案
7.6 cm³
解析
【分析】
要解决本题，首先需要结合无盖长方体表面展开图的特征，确定长方体的长、宽、高，再利用容积计算公式求解。第一步先找高：图中右上角标注的1cm就是长方体的高；第二步算宽：左侧标注的3cm是宽与高的和，用3cm减去高即可得到宽；第三步算长：下方标注的5cm是长与宽的和，用5cm减去宽即可得到长；最后代入长方体容积公式（厚度不计，容积=长×宽×高）计算结果。
【解析】
解：根据展开图推导无盖长方体的长、宽、高：
1. 长方体的高：$h=1\mathrm{cm}$
2. 长方体的宽：$b=3 - h=3 - 1=2\mathrm{cm}$
3. 长方体的长：$a=5 - b=5 - 2=3\mathrm{cm}$
4. 计算容积：$V=a× b× h=3×2×1=6\mathrm{cm}^3$
【答案】
$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm^3}}$
【知识点】
长方体展开图认识，长方体容积计算
【点评】
本题核心是掌握长方体展开图各边和长方体长宽高的对应关系，只要能正确从图中提取数据推导长宽高，代入公式就能快速求解，是对立体图形展开图基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要结合无盖长方体表面展开图的特征，确定长方体的长、宽、高，再利用容积计算公式求解。第一步先找高：图中右上角标注的1cm就是长方体的高；第二步算宽：左侧标注的3cm是宽与高的和，用3cm减去高即可得到宽；第三步算长：下方标注的5cm是长与宽的和，用5cm减去宽即可得到长；最后代入长方体容积公式（厚度不计，容积=长×宽×高）计算结果。
【解析】
解：根据展开图推导无盖长方体的长、宽、高：
1. 长方体的高：$h=1\mathrm{cm}$
2. 长方体的宽：$b=3 - h=3 - 1=2\mathrm{cm}$
3. 长方体的长：$a=5 - b=5 - 2=3\mathrm{cm}$
4. 计算容积：$V=a× b× h=3×2×1=6\mathrm{cm}^3$
【答案】
$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm^3}}$
【知识点】
长方体展开图认识，长方体容积计算
【点评】
本题核心是掌握长方体展开图各边和长方体长宽高的对应关系，只要能正确从图中提取数据推导长宽高，代入公式就能快速求解，是对立体图形展开图基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
8.一个画家有14个棱长为1 cm的小立方块，他在桌面上将它们摆成如图所示的几何体，然后他把露出的表面都涂上颜色，求被涂上颜色的总面积。
答案
8.解:露出的侧面是(1+2+3)×4=24(个)；
从上面看露出的面是9个。
被涂上颜色的总面积:(24+9)×1×1=33(cm²)。
从上面看露出的面是9个。
被涂上颜色的总面积:(24+9)×1×1=33(cm²)。
解析
【分析】
求解这类堆叠几何体的涂色面积时，我们可以把露出的面分为侧面和朝上的顶面两部分分别计数，能有效避免漏算、错算：①先看侧面：几何体共3层，前后左右4个方向的侧面形状完全相同，每个侧面中三层分别露出1、2、3个小正方形面，算出单个侧面的面数后乘4就能得到所有侧面的总面数；②再看顶面：从正上方观察几何体，所有露出的朝上的面拼合后刚好等于最底层的上表面大小，直接计算即可。最后把两部分的面数相加，乘单个小正方形面的面积，即可得到涂色总面积。
【解析】
解：单个棱长为1cm的小正方形面的面积为 $1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
1. 计算露出的侧面总面数：
4个侧面形状完全相同，每个侧面的小正方形面数为 $1+2+3=6$ 个
侧面总面数：$(1+2+3)×4=24$（个）
2. 计算朝上的露出面总面数：
从正上方观察，露出的面可拼成边长为3cm的正方形，面数为 $3×3=9$（个）
3. 计算涂色总面积：
总面数为 $24+9=33$ 个，总面积为 $33×1=33\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$33\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
几何体表面积计算，视图法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题考查堆叠立体图形的表面积求解，采用分部分计算的思路能大幅降低计数难度，是处理这类堆叠几何体表面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
求解这类堆叠几何体的涂色面积时，我们可以把露出的面分为侧面和朝上的顶面两部分分别计数，能有效避免漏算、错算：①先看侧面：几何体共3层，前后左右4个方向的侧面形状完全相同，每个侧面中三层分别露出1、2、3个小正方形面，算出单个侧面的面数后乘4就能得到所有侧面的总面数；②再看顶面：从正上方观察几何体，所有露出的朝上的面拼合后刚好等于最底层的上表面大小，直接计算即可。最后把两部分的面数相加，乘单个小正方形面的面积，即可得到涂色总面积。
【解析】
解：单个棱长为1cm的小正方形面的面积为 $1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
1. 计算露出的侧面总面数：
4个侧面形状完全相同，每个侧面的小正方形面数为 $1+2+3=6$ 个
侧面总面数：$(1+2+3)×4=24$（个）
2. 计算朝上的露出面总面数：
从正上方观察，露出的面可拼成边长为3cm的正方形，面数为 $3×3=9$（个）
3. 计算涂色总面积：
总面数为 $24+9=33$ 个，总面积为 $33×1=33\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$33\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
几何体表面积计算，视图法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题考查堆叠立体图形的表面积求解，采用分部分计算的思路能大幅降低计数难度，是处理这类堆叠几何体表面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的是一个正方体,棱长是5 cm,如果在它左上方截去一个长、宽、高分别是5 cm,3 cm,2 cm 的长方体,求剩下几何体的表面积。
答案
9.解:剩下几何体的表面积为6×5×5−2×3×2=138(cm²)。
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：第一步，先回忆正方体表面积的计算公式，算出完整正方体的总表面积；第二步，分析截去长方体后表面积的变化：观察图形可知，截去该长方体后，原正方体仅前表面和上表面各减少了1个长3cm、宽2cm的长方形，凹进去的部分新增的面和原正方体其他被截去的面面积相等，相互抵消，因此总表面积仅减少2个3cm×2cm的长方形面积；第三步，用原正方体表面积减去减少的面积，即可得到剩下几何体的表面积。
【解析】
首先计算原正方体的表面积：
$S_{\mathrm{原正方体}}=6× 棱长× 棱长=6× 5× 5=150(\mathrm{cm}^2)$
再计算截去长方体后减少的表面积：
减少的是2个长3cm、宽2cm的长方形面积，即$S_{\mathrm{减少}}=2× 3× 2=12(\mathrm{cm}^2)$
最后计算剩下几何体的表面积：
$S_{\mathrm{剩下}}=150-12=138(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$138\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形切割的表面积变化
【点评】
本题考查立体图形切割后的表面积变化分析，解题关键是准确判断切割后表面积增减的部分，不要错误直接减去被截长方体的全部表面积。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：第一步，先回忆正方体表面积的计算公式，算出完整正方体的总表面积；第二步，分析截去长方体后表面积的变化：观察图形可知，截去该长方体后，原正方体仅前表面和上表面各减少了1个长3cm、宽2cm的长方形，凹进去的部分新增的面和原正方体其他被截去的面面积相等，相互抵消，因此总表面积仅减少2个3cm×2cm的长方形面积；第三步，用原正方体表面积减去减少的面积，即可得到剩下几何体的表面积。
【解析】
首先计算原正方体的表面积：
$S_{\mathrm{原正方体}}=6× 棱长× 棱长=6× 5× 5=150(\mathrm{cm}^2)$
再计算截去长方体后减少的表面积：
减少的是2个长3cm、宽2cm的长方形面积，即$S_{\mathrm{减少}}=2× 3× 2=12(\mathrm{cm}^2)$
最后计算剩下几何体的表面积：
$S_{\mathrm{剩下}}=150-12=138(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$138\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算；立体图形切割的表面积变化
【点评】
本题考查立体图形切割后的表面积变化分析，解题关键是准确判断切割后表面积增减的部分，不要错误直接减去被截长方体的全部表面积。
【难度系数】
0.7
