课前预习
|序号|基础知识|
|----|----|
|1|正多边形与圆的关系
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正$n$边形有对称轴。
(2)正多边形的对称轴交于一点，这点到，到。
(3)任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆是，圆心是各对称轴的交点。|
|2|正多边形的有关概念和它的中心对称性
(1)正多边形的叫作正多边形的中心，叫作正多边形的半径，叫作正多边形的边心距。
(2)正多边形的边长$a_n$，半径$r_n$，边心距$d_n$，具有下列关系：$r_n^2 = d_n^2 + (\frac{a_n}{2})^2$。
(3)正偶数多边形是中心对称图形，正奇数多边形不是中心对称图形。|
困惑疑问：
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1.(1)n条 (2)正多边形各顶点的距离相等 各边的距离也相等 (3)同心圆
2.内切圆和外接圆的公共圆心 外接圆的半径 内切圆的半径长

【分析】
本题考查正多边形与圆的相关基础概念，解题时需结合正多边形的对称性、正多边形和圆的位置关系，对应课本定义逐一填空即可。首先回忆正多边形轴对称性质确定对称轴数量；再根据正多边形中心的性质，明确中心到顶点、边的距离特征；再结合外接圆、内切圆的圆心特征判断两圆的位置关系；最后对应正多边形的中心、半径、边心距的定义完成剩余填空。
【解析】
1. (1) 正n边形的每条对称轴都经过正多边形的中心，正n边形共有n条对应对称关系，因此有n条对称轴。
(2) 正多边形对称轴的交点是正多边形的中心，也是其外接圆和内切圆的公共圆心，因此该点到正多边形各顶点的距离相等（等于外接圆半径），到各边的距离也相等（等于内切圆半径）。
(3) 正多边形的外接圆和内切圆的圆心重合，因此这两个圆是同心圆。
2. (1) 根据正多边形的相关定义：正多边形内切圆和外接圆的公共圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，内切圆的半径长叫作正多边形的边心距。
【答案】
1.(1)n条 (2)正多边形各顶点的距离相等 各边的距离也相等 (3)同心圆
2.内切圆和外接圆的公共圆心 外接圆的半径 内切圆的半径长
【知识点】
正多边形的对称性、正多边形与圆的关系、正多边形基本概念
【点评】
本题属于基础概念类题型，侧重考察对正多边形与圆相关核心定义的记忆与理解，熟练掌握这些基础概念是后续解决正多边形计算、证明等拓展题型的前提。
【难度系数】
0.9

思考1.(1)正多边形都是轴对称图形吗？
一个正多边形的对称轴有几条？交于一点吗？
（2）正多边形都有外接圆、内切圆吗？
它们的圆心是同一个点吗？

1.(1)都是轴对称图形，n条，交于一点。
(2)都有外接圆和内切圆，是。

【分析】
解题时可结合正多边形的基本性质从以下思路推导：
1. 针对轴对称相关问题：先回忆轴对称图形的定义，即沿一条直线折叠后直线两侧部分能完全重合的图形为轴对称图形。可先从正三角形、正方形等常见正多边形的对称轴特征入手，归纳出一般正n边形的对称轴数量规律，再判断对称轴是否共点。
2. 针对内外接圆相关问题：结合正多边形各边相等、各内角相等的性质，验证是否存在同时经过所有顶点的外接圆、同时与所有边相切的内切圆，再对比两个圆的圆心位置判断是否为同一点。
【解析】
(1) ① 根据轴对称图形的定义，正多边形沿过其中心的直线折叠时，直线两侧的部分可完全重合，因此所有正多边形都是轴对称图形。
② 正n边形共有n条对称轴：若n为奇数，每条对称轴过一个顶点及其对边的中点；若n为偶数，半数对称轴过相对的两个顶点，半数对称轴过两组对边的中点。
③ 所有对称轴都经过正多边形的中心，因此交于同一点。
(2) ① 正多边形的所有顶点到中心的距离相等，因此以中心为圆心、顶点到中心的距离为半径可作出过所有顶点的外接圆，即所有正多边形都有外接圆。
② 正多边形的中心到各边的距离相等，因此以中心为圆心、中心到边的距离为半径可作出与所有边都相切的内切圆，即所有正多边形都有内切圆。
③ 外接圆和内切圆的圆心都是正多边形的中心，因此二者圆心是同一个点。
【答案】
(1)都是轴对称图形，n条，交于一点。
(2)都有外接圆和内切圆，是。
【知识点】
正多边形的对称性；正多边形与圆的关系；轴对称图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕正多边形的核心性质设问，熟练掌握相关性质即可快速解答，是后续解决正多边形计算、证明类问题的基础。
【难度系数】
0.9

1.判断:正方形的内心、外心都是其对角线的交点。（）

1.√

【分析】
解题时首先要明确正多边形内心、外心的定义，再结合正方形的性质验证对角线交点是否同时符合两个心的判定条件即可。第一步先回忆概念：正多边形的内心是内切圆的圆心，核心特征是到正多边形各边距离相等；正多边形的外心是外接圆的圆心，核心特征是到正多边形各顶点距离相等。第二步结合正方形对角线的性质，分别验证交点到顶点、到边的距离关系，就能推导得出结论。
【解析】
1. 明确相关定义：正多边形的内切圆圆心叫做正多边形的内心，需满足到各边距离相等；正多边形的外接圆圆心叫做正多边形的外心，需满足到各顶点距离相等。
2. 分析正方形对角线的性质：正方形是正四边形，它的对角线互相平分且相等，同时平分每一组内角。
3. 验证外心条件：对角线交点到正方形四个顶点的距离都等于对角线长度的一半，所有距离相等，符合外心的判定条件，因此对角线交点是正方形的外心。
4. 验证内心条件：对角线平分正方形的内角，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此对角线交点到正方形四条边的距离都相等，符合内心的判定条件，因此对角线交点是正方形的内心。
综上，题干表述正确。
【答案】
√
【知识点】
正多边形的内心与外心，正方形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念结合特殊图形性质的判断题，难度较低，掌握正多边形的相关定义和正方形的典型性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆、正八边形等图形的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品阴影部分的面积是()。


A.$\frac{π}{2}$
B.$π$
C.$2π$
D.$4π$

2.C

【分析】
首先观察到阴影部分是多个分散的不规则图形，直接分别计算各块面积计算量过大。进一步发现整个图形是中心对称图形，因此可以利用割补法，将分散的阴影部分通过旋转、平移的方式拼接，最终可得到阴影部分的总面积等于半径为2的半圆的面积，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：由图形的中心对称性，对阴影部分进行割补、拼接，可得阴影部分的面积和等于半径为2的圆面积的$\frac{1}{2}$。
已知圆的半径$r=2$，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，可得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}=\frac{1}{2}× π × 2^2=2π$
【答案】
C
【知识点】
割补法求面积；中心对称的性质；圆的面积计算
【点评】
本题结合图形的对称性考查不规则图形面积的计算，解题的核心是通过割补将不规则图形转化为规则图形，大大简化了计算过程，是解决此类面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7

思考 2.(1)正n边形的半径、边心距、边长一半，三者有何数量关系？
(2)正n边形绕它的中心最少旋转多少度，能与它自身重合？

2.(1)组成一个直角三角形，满足勾股定理。
(2)$\frac{360}{n}°$。

【分析】
(1) 首先回忆正n边形的相关概念：正n边形的半径就是其外接圆的半径，边心距是正n边形的中心到任意一条边的距离。我们可以通过作辅助线推导关系：过正n边形的中心作任意一条边的垂线，再连接中心与这条边的其中一个端点，即可得到一个直角三角形，该直角三角形的三条边恰好对应正n边形的半径、边心距、边长的一半，因此三者符合直角三角形的勾股定理。
(2) 正n边形是旋转对称图形，绕中心旋转后能与自身重合的前提是旋转角度等于中心角的整数倍。正n边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角大小相等，因此最小的旋转角度就是单个中心角的度数。
【解析】
(1) 设正n边形的半径为$R$，边心距为$r$，边长为$a$。过正n边形的中心作某条边的垂线，垂足平分这条边，连接中心与该边的一个端点，得到直角三角形：斜边为半径$R$，两条直角边分别为边心距$r$、边长的一半$\frac{a}{2}$，因此三者满足勾股定理$R^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$，即三者组成直角三角形，满足勾股定理。
(2) 正n边形的每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，绕中心旋转时，旋转角度为中心角的正整数倍时即可与自身重合，因此最少旋转的角度为最小的正整数倍的中心角，即$\frac{360}{n}°$。
【答案】
(1) 组成一个直角三角形，满足勾股定理。
(2) $\frac{360}{n}°$
【知识点】
正多边形的性质、勾股定理、旋转对称特征
【点评】
本题考查正多边形的基础概念与性质，属于基础类题目，解题的关键是掌握正多边形半径、边心距、中心角的定义，以及旋转对称图形的重合条件，是正多边形相关计算的基础。
【难度系数】
0.8