19. (12分)已知,在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,∠BDA=∠AEC=∠BAC.
(1)如图15①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,BD、CE与DE的数量关系为.
(2)如图15②,当AB不垂直于AC时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图15③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7 cm,DE=10 cm,点A在线段DE上以2 cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t s.是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t与x的值;若不存在,请说明理由.

解：
(1) $BD=AE$；$BD+CE=DE$
(2) (1)中的结论成立，理由如下：
∵ $∠ BDA = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA + ∠ BAD = 180° - ∠ BDA$，
$∠ BAD + ∠ CAE = 180° - ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}∠ BDA = ∠ AEC \\∠ DBA = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS），
∴ $BD = AE$，$AD = CE$，
又∵ $DE = AD + AE$，
∴ $DE = CE + BD$，即$BD + CE = DE$，结论成立。
(3) 存在满足条件的x，由题意可知：
$AD = 2t\ \mathrm{cm}$，$AE = DE - AD = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$EC = xt\ \mathrm{cm}$，且$∠ BDA = ∠ AEC$。
分两种全等对应情况讨论：
① 若$△ BDA ≌ △ AEC$，则对应边满足$BD=AE$，$AD=EC$，
可得方程组：
$\begin{cases}7 = 10 - 2t \\2t = xt\end{cases}$
解得：$\begin{cases} t = 1.5 \\ x = 2 \end{cases}$；
② 若$△ BDA ≌ △ ECA$，则对应边满足$BD=EC$，$AD=AE$，
可得方程组：
$\begin{cases}7 = xt \\2t = 10 - 2t\end{cases}$
解得：$\begin{cases} t = 2.5 \\ x = 2.8 \end{cases}$。
综上，存在符合条件的x，对应两组解为$\begin{cases} t=1.5 \\ x=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t=2.5 \\ x=2.8 \end{cases}$。

【分析】
(1) 已知AB⊥AC，可得∠BAC=90°，结合∠BDA=∠AEC=∠BAC，利用平角性质可推出∠DBA=∠CAE，结合AB=AC可证△BDA≌△AEC，得到对应边相等，再结合DE=AD+AE等量代换即可得到三条线段的关系。
(2) AB不垂直AC时，仍可通过三角形内角和与平角的性质，推导得到∠DBA=∠CAE，用AAS证明△BDA≌△AEC，和(1)的推导逻辑相同，即可验证结论是否成立。
(3) 动点下的全等问题需分两种对应情况讨论：①△BDA≌△AEC，对应边为BD=AE、AD=EC；②△BDA≌△ECA，对应边为BD=EC、AD=AE。先用含t、x的代数式表示出各边长度，再分别列方程组求解，注意t的取值要符合运动实际。
【解析】
(1) 当AB⊥AC时，∠BAC=90°，
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△BDA和△AEC中，
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴△BDA≌△AEC(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即BD+CE=DE。
(2) (1)中的结论成立，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=180°-∠BDA，
∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC，
∴∠DBA=∠CAE。
在△BDA和△AEC中，
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴△BDA≌△AEC(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
又
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即BD+CE=DE，结论成立。
(3) 存在满足条件的x，由题意可知：
$AD = 2t\ \mathrm{cm}$，$AE = DE - AD = (10 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$EC = xt\ \mathrm{cm}$，且∠BDA=∠AEC，
分两种全等对应情况讨论：
① 若△BDA≌△AEC，则对应边满足$BD=AE$，$AD=EC$，
可得方程组：
$\begin{cases}7 = 10 - 2t \\2t = xt\end{cases}$
解得：$\begin{cases} t = 1.5 \\ x = 2 \end{cases}$；
② 若△BDA≌△ECA，则对应边满足$BD=EC$，$AD=AE$，
可得方程组：
$\begin{cases}7 = xt \\2t = 10 - 2t\end{cases}$
解得：$\begin{cases} t = 2.5 \\ x = 2.8 \end{cases}$。
综上，存在符合条件的x，对应两组解为$\begin{cases} t=1.5 \\ x=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t=2.5 \\ x=2.8 \end{cases}$。
【答案】
(1) $BD=AE$；$BD+CE=DE$
(2) 成立，理由见解析
(3) 存在，$\begin{cases} t=1.5\ \mathrm{s} \\ x=2\ \mathrm{cm/s} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t=2.5\ \mathrm{s} \\ x=2.8\ \mathrm{cm/s} \end{cases}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；分类讨论思想；动点问题求解
【点评】
本题是三角形全等的综合探究题，遵循从特殊到一般的探究思路，最后结合动点问题考查全等的分类应用。解题的核心是准确推导角的等量关系证明全等，处理动点全等问题时要注意考虑不同的对应边情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6