登录
五、解答题(三)
22.一则故事:在某个王国里,有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:"就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放2粒米,第2格放4粒米,第3格放8粒米,然后是16粒,32粒……一直到第64格."国王哈哈大笑.根据故事解决问题:
(1)在第64格中应放多少粒米?(用幂表示)
(2)请探究(1)中的结果的末位数字是多少.(简要写出探究过程)
22.一则故事:在某个王国里,有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:"就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放2粒米,第2格放4粒米,第3格放8粒米,然后是16粒,32粒……一直到第64格."国王哈哈大笑.根据故事解决问题:
(1)在第64格中应放多少粒米?(用幂表示)
(2)请探究(1)中的结果的末位数字是多少.(简要写出探究过程)
答案
22. 解:(1)因为$2=2^1$,$4=2^2$,$8=2^3$……所以在第64格中应放$2^{64}$粒米.
(2)因为$2^1=2$,$2^2=4$,$2^3=8$,$2^4=16$,$2^5=32$……所以末位数字每4个一循环,$64÷4=16$,所以$2^{64}$的末位数字与$2^4$的末位数字相同,是6.
(2)因为$2^1=2$,$2^2=4$,$2^3=8$,$2^4=16$,$2^5=32$……所以末位数字每4个一循环,$64÷4=16$,所以$2^{64}$的末位数字与$2^4$的末位数字相同,是6.
23.【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法的运算叫除方,如$3÷3÷3,(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$等.类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3$记作$3^{③}$,读作“3 的圈3次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$(-2)^{④}$,读作“负2 的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈n次方”,如
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^{③}=$, $(-\frac{1}{2})^{④}=$.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(此处不用作答)
(2)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
$(-3)^{④}=$;$5^{⑥}=$;$(\frac{1}{2})^{⑤}=$.
(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式是.
(4)比较:$(-9)^{⑤}\_\_\_\_\_\_(-3)^{⑦}$(填“＞”“＜”或“=”).
【灵活应用】
(5)算一算:
$12^2÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤}-(-\frac{1}{3})^{⑥}+3^3$.
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法的运算叫除方,如$3÷3÷3,(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$等.类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3$记作$3^{③}$,读作“3 的圈3次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$(-2)^{④}$,读作“负2 的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈n次方”,如
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^{③}=$, $(-\frac{1}{2})^{④}=$.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(此处不用作答)
(2)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
$(-3)^{④}=$;$5^{⑥}=$;$(\frac{1}{2})^{⑤}=$.
(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式是.
(4)比较:$(-9)^{⑤}\_\_\_\_\_\_(-3)^{⑦}$(填“＞”“＜”或“=”).
【灵活应用】
(5)算一算:
$12^2÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤}-(-\frac{1}{3})^{⑥}+3^3$.
答案
23. 解:(1)$4^{③}=4÷4÷4=\frac{1}{4}$,$(-\frac{1}{2})^{④}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=4$.故答案为$\frac{1}{4}$;4.
(2)$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-\frac{1}{3})^2$.$5^{⑥}=5÷5÷5÷5÷5÷5=(\frac{1}{5})^4$.$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=2^3$.故答案为$(-\frac{1}{3})^2$;$(\frac{1}{5})^4$;$2^3$.
(3)$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}=(\frac{1}{a})^{n-2}$.故答案为$a^{ⓝ}=(\frac{1}{a})^{n-2}$.
(4)$(-9)^{⑤}=(-\frac{1}{9})^3=-\frac{1}{729}$,$(-3)^{⑦}=(-\frac{1}{3})^5=-\frac{1}{243}$.因为$-\frac{1}{729}＞-\frac{1}{243}$,所以$(-9)^{⑤}＞(-3)^{⑦}$.故答案为$＞$.
(5)原式$=144÷(-3)^2×(-2)^3-(-3)^4+3^3=144×\frac{1}{9}×(-8)-81+27=-128-81+27=-182$.
(2)$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-\frac{1}{3})^2$.$5^{⑥}=5÷5÷5÷5÷5÷5=(\frac{1}{5})^4$.$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=2^3$.故答案为$(-\frac{1}{3})^2$;$(\frac{1}{5})^4$;$2^3$.
(3)$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}=(\frac{1}{a})^{n-2}$.故答案为$a^{ⓝ}=(\frac{1}{a})^{n-2}$.
(4)$(-9)^{⑤}=(-\frac{1}{9})^3=-\frac{1}{729}$,$(-3)^{⑦}=(-\frac{1}{3})^5=-\frac{1}{243}$.因为$-\frac{1}{729}＞-\frac{1}{243}$,所以$(-9)^{⑤}＞(-3)^{⑦}$.故答案为$＞$.
(5)原式$=144÷(-3)^2×(-2)^3-(-3)^4+3^3=144×\frac{1}{9}×(-8)-81+27=-128-81+27=-182$.
