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7. 如图,小彬同学在晚上由路灯A走向路灯C,当他走到P处时发现,他在路灯C下的影长BP为2 m,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了一段距离到Q处,此时他在路灯A下的影子QD恰好位于路灯C的正下方.已知小彬身高1.6 m,路灯C高8 m,路灯A的高与两路灯间的距离相等.
(1)求两路灯间的距离;
(2)求PQ的长度.
(1)求两路灯间的距离;
(2)求PQ的长度.
答案
7. 解:(1)根据题意,得$△ BEP∽ △ BCD,$
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD},$即$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD},$
解得$BD=10\ \mathrm{m},$经检验,符合题意.
答:两路灯间的距离为$10\ \mathrm{m}.$
(2)根据题意,得$△ DFQ∽ △ DAB,\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}.$
$\because$路灯$A$的高与两路灯间的距离相等,
$\therefore AB=DB,\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m},$
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m}).$
答:$PQ$的长度为$6.4\ \mathrm{m}.$
$\therefore \frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD},$即$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD},$
解得$BD=10\ \mathrm{m},$经检验,符合题意.
答:两路灯间的距离为$10\ \mathrm{m}.$
(2)根据题意,得$△ DFQ∽ △ DAB,\therefore \frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}.$
$\because$路灯$A$的高与两路灯间的距离相等,
$\therefore AB=DB,\therefore FQ=DQ=1.6\ \mathrm{m},$
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m}).$
答:$PQ$的长度为$6.4\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1)要求两路灯间的距离即BD的长度，观察图形可知EP和CD都垂直于BD，可推出EP//CD，进而得到△BEP∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的身高、路灯C高度、影长BP的数值，即可求出BD的长；
(2)要求PQ的长度，已知BD的长，只需先求出DQ的长度即可。同理FQ和AB都垂直于BD，可推出FQ//AB，得到△DFQ∽△DAB，结合题目给出的“路灯A的高与两路灯间的距离相等”即AB=BD的条件，可推出DQ等于小彬身高，最后用BD的长度减去BP和DQ的长度即可得到PQ的长。
【解析】
(1) 由题意得$EP⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore EP// CD$，
$\therefore △ BEP ∽ △ BCD$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
代入$EP=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，得$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
(2) 由题意得$FQ⊥ BD$，$AB⊥ BD$，
$\therefore FQ// AB$，
$\therefore △ DFQ ∽ △ DAB$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$，
∵路灯A的高与两路灯间的距离相等，即$AB=DB=10\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{DQ}{10}=\frac{1.6}{10}$，即$DQ=FQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)两路灯间的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2)PQ的长度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型应用，解题关键是根据垂直关系找到平行线，进而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，只要找准相似关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)要求两路灯间的距离即BD的长度，观察图形可知EP和CD都垂直于BD，可推出EP//CD，进而得到△BEP∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的身高、路灯C高度、影长BP的数值，即可求出BD的长；
(2)要求PQ的长度，已知BD的长，只需先求出DQ的长度即可。同理FQ和AB都垂直于BD，可推出FQ//AB，得到△DFQ∽△DAB，结合题目给出的“路灯A的高与两路灯间的距离相等”即AB=BD的条件，可推出DQ等于小彬身高，最后用BD的长度减去BP和DQ的长度即可得到PQ的长。
【解析】
(1) 由题意得$EP⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore EP// CD$，
$\therefore △ BEP ∽ △ BCD$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EP}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
代入$EP=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，得$\frac{1.6}{8}=\frac{2}{BD}$，
解得$BD=10\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
(2) 由题意得$FQ⊥ BD$，$AB⊥ BD$，
$\therefore FQ// AB$，
$\therefore △ DFQ ∽ △ DAB$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{FQ}{AB}=\frac{DQ}{DB}$，
∵路灯A的高与两路灯间的距离相等，即$AB=DB=10\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{DQ}{10}=\frac{1.6}{10}$，即$DQ=FQ=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore PQ=BD-BP-QD=10-2-1.6=6.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)两路灯间的距离为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2)PQ的长度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型应用，解题关键是根据垂直关系找到平行线，进而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，只要找准相似关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 某数学兴趣小组要测量某座塔的高度AB.如图,塔前有一棵小树的高度CD=4 m,发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上,测得BD=51 m,D,E之间有一个花园,距离无法直接测量.然后,在E处放置一平面镜,沿BE方向走到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像,EG=2.4 m,测量者眼睛到地面的距离FG为1.6 m.已知AB⊥BG,CD⊥BG,FG⊥BG,且点B,D,E,G在同一水平线上.
(1)请求出DE的长;
(2)请求出该塔的高度AB(平面镜的大小及厚度忽略不计).
(1)请求出DE的长;
(2)请求出该塔的高度AB(平面镜的大小及厚度忽略不计).
答案
8. 解:(1)根据题意,得$∠ CED=∠ FEG,$
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG,$
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=∠ FGE=90°,$
$\therefore △ CDE∽ △ FGE,\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG},\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4},$
解得$DE=6\ \mathrm{m}.$
答:$DE$的长为$6\ \mathrm{m}.$
(2)$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ ABE=∠ CDE=90°,$
$\therefore △ CDE∽ △ ABE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE},\therefore \frac{AB}{4}=\frac{51+6}{6},$
解得$AB=38\ \mathrm{m}.$
答:该塔的高度$AB$为$38\ \mathrm{m}.$
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG,$
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE=∠ FGE=90°,$
$\therefore △ CDE∽ △ FGE,\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG},\therefore \frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4},$
解得$DE=6\ \mathrm{m}.$
答:$DE$的长为$6\ \mathrm{m}.$
(2)$\because ∠ CED=∠ AEB,∠ ABE=∠ CDE=90°,$
$\therefore △ CDE∽ △ ABE,\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE},\therefore \frac{AB}{4}=\frac{51+6}{6},$
解得$AB=38\ \mathrm{m}.$
答:该塔的高度$AB$为$38\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1)要求DE的长，先利用平面镜反射的性质得到∠CED=∠FEG，结合CD⊥BG、FG⊥BG可得△CDE和△FGE都是直角三角形，根据两角对应相等判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出DE。
(2)要求塔高AB，由点A、C、E共线可得∠AEB=∠CED，结合AB⊥BG、CD⊥BG可得△ABE和△CDE都是直角三角形，判定两三角形相似，先求出BE=BD+DE的长度，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出AB。
【解析】
(1)由平面镜反射原理可知，入射角等于反射角，因此$∠ CED=∠ FEG$，
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE ∽ △ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
将$CD=4\mathrm{m},FG=1.6\mathrm{m},EG=2.4\mathrm{m}$代入得：$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\mathrm{m}$。
(2)$\because$点A、C、E在同一直线上，$\therefore ∠ CED=∠ AEB$，
又$\because ∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE ∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
$\because BE=BD+DE=51+6=57\mathrm{m}$，代入得：$\frac{AB}{4}=\frac{57}{6}$，
解得$AB=38\mathrm{m}$。
【答案】
(1)$DE$的长为$\boxed{6\ \mathrm{m}}$；
(2)该塔的高度$AB$为$\boxed{38\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题关键是结合已知条件找到对应相等的角，判定相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
(1)要求DE的长，先利用平面镜反射的性质得到∠CED=∠FEG，结合CD⊥BG、FG⊥BG可得△CDE和△FGE都是直角三角形，根据两角对应相等判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出DE。
(2)要求塔高AB，由点A、C、E共线可得∠AEB=∠CED，结合AB⊥BG、CD⊥BG可得△ABE和△CDE都是直角三角形，判定两三角形相似，先求出BE=BD+DE的长度，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出AB。
【解析】
(1)由平面镜反射原理可知，入射角等于反射角，因此$∠ CED=∠ FEG$，
$\because AB⊥ BG,CD⊥ BG,FG⊥ BG$，
$\therefore ∠ CDE=∠ FGE=90°$，
$\therefore △ CDE ∽ △ FGE$，
$\therefore \frac{CD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
将$CD=4\mathrm{m},FG=1.6\mathrm{m},EG=2.4\mathrm{m}$代入得：$\frac{4}{1.6}=\frac{DE}{2.4}$，
解得$DE=6\mathrm{m}$。
(2)$\because$点A、C、E在同一直线上，$\therefore ∠ CED=∠ AEB$，
又$\because ∠ ABE=∠ CDE=90°$，
$\therefore △ CDE ∽ △ ABE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
$\because BE=BD+DE=51+6=57\mathrm{m}$，代入得：$\frac{AB}{4}=\frac{57}{6}$，
解得$AB=38\mathrm{m}$。
【答案】
(1)$DE$的长为$\boxed{6\ \mathrm{m}}$；
(2)该塔的高度$AB$为$\boxed{38\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题关键是结合已知条件找到对应相等的角，判定相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
