1. 位似的概念
取定一个点O,把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点$P'$,使得$\frac{OP'}{OP}=|k|$,其中k是非零常数,当$k＞0$时,点$P'$在上,当$k＜0$时,点$P'$在上.
特别地,点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似,把这个图形与它在位似下的称为位似图形,这个点O叫作,常数k叫作.

1. 射线OP 射线OP的反向延长线 像 位似中心 位似比

【分析】
本题考查位似的基础概念，解题时结合位似的定义内容逐步思考即可：首先根据常数k的符号判断对应点的位置，k＞0时对应点和原点位在点O的同侧，k＜0时对应点和原点位在点O的两侧；后续空均是位似定义中的固定术语，直接对应识记内容填写即可。
【解析】
结合位似的定义逐一填写：
1. 当$k＞0$时，点$P'$与点P在点O的同侧，因此点$P'$在射线OP上；
2. 当$k＜0$时，点$P'$与点P在点O的两侧，因此点$P'$在射线OP的反向延长线上；
3. 一个图形与它在位似变换下得到的像称为位似图形；
4. 取定的定点O叫作位似中心；
5. 非零常数k叫作位似比。
【答案】
射线OP；射线OP的反向延长线；像；位似中心；位似比
【知识点】
位似的定义；位似图形；位似比
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对位似相关基础定义和术语的掌握情况，熟练掌握教材中位似的相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 位似图形的性质
若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线，对应线段（或在同一条直线上）。
3. 画位似图形的步骤
(1)确定位似中心；
(2)连接图形各顶点与位似中心（或延长）；
(3)按位似比进行取点；
(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形。

2. 相交于一点 平行

【分析】
解题时首先明确位似是特殊的相似图形，除具备相似图形的全部性质外，还有独有的特征。我们需要回忆位似图形的核心性质：第一，位似图形所有对应点的连线都经过同一点即位似中心，也就是对应点连线相交于一点；第二，位似图形的对应线段有两种位置关系，要么互相平行，要么在同一条直线上。结合这两个性质就能准确填出空缺内容。
【解析】
根据位似图形的定义与性质：若两个图形是位似图形，则它们首先是相似图形，同时满足两个特殊要求：①所有对应点的连线相交于同一点（该点叫做位似中心）；②对应线段互相平行或者在同一条直线上。因此两个空缺依次填入相交于一点、平行。
【答案】
相交于一点 平行
【知识点】
位似图形的性质、位似图形的定义
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考查对位似图形核心性质的识记和理解，区分开位似图形与普通相似图形的特征差异即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，$△ ACC'$是由$△ ABB'$经过位似变换得到的.
(1)求出$△ ACC'$与$△ ABB'$的位似比，并指出它们的位似中心.
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形吗？如果是，求出它们的位似比；如果不是，说明理由.

解:(1)$△ ACC'$与$△ ABB'$的位似比为$CC':BB'=2:1=2$,它们的位似中心是点A.
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形,位似比为$EE':BB'=4:1=4$.

【分析】
解决位似相关问题首先要明确位似的核心性质：位似图形的所有对应顶点连线都交于位似中心，位似比等于两个图形对应边的长度比（注意顺序与题干询问的图形顺序一致）。
对于第(1)问：先找两个三角形的对应点，公共点A是对应点，点B对应点C、点B'对应点C'，观察对应点连线都经过点A，即可确定位似中心；再数网格中对应边BB'和CC'的长度，计算比值就得到位似比。
对于第(2)问：先根据位似的判定条件判断：若两个图形对应边平行、对应顶点连线都交于同一点，则为位似图形；判定是位似图形后，再数对应边EE'的长度，计算EE'与BB'的比值即可得到位似比。
【解析】
(1) 观察图形可知，△ACC'和△ABB'的对应点连线AB与AC共线、AB'与AC'共线，所有对应点连线都经过公共点A，因此位似中心是点A。
设每个小方格的边长为1，由网格可得BB'=2，CC'=4，因此△ACC'与△ABB'的位似比为$CC':BB'=4:2=2$。
(2) △AEE'是△ABB'的位似图形，理由如下：
△AEE'和△ABB'的对应点连线AB与AE共线、AB'与AE'共线，所有对应点连线都交于点A，且对应边$BB'// EE'$，两个三角形相似，符合位似图形的定义。
由网格可得EE'=8，因此△AEE'与△ABB'的位似比为$EE':BB'=8:2=4$。
【答案】
(1) △ACC'与△ABB'的位似比为2，位似中心是点A；
(2) △AEE'是△ABB'的位似图形，位似比为4。
【知识点】
位似图形的定义；位似中心；位似比
【点评】
本题属于位似的基础考查题，解题的关键是掌握位似图形的判定方法，明确位似中心是所有对应点连线的公共交点，计算位似比时要注意图形的前后顺序，避免比例颠倒。
【难度系数】
0.8

【变式】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若$\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为.

72

【分析】
遇到位似图形的计算问题，首先回忆位似的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方。本题先根据已知的$\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$确定两个四边形的相似比，再利用面积比与相似比的关系，结合已知四边形ABCD的面积，即可求出四边形EFGH的面积。
【解析】
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，且相似比$k=\frac{OA}{OE}=\frac{1}{3}$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形EFGH}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
已知$S_{四边形ABCD}=8$，代入得：
$\frac{8}{S_{四边形EFGH}}=\frac{1}{9}$，
解得$S_{四边形EFGH}=8×9=72$。
【答案】
72
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形面积比
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题核心是明确位似与相似的关系，牢记相似比和面积比的换算规则，掌握该知识点即可快速完成求解。
【难度系数】
0.7

【例2】如图,在$6×8$的网格图中,每个小正方形的边长均为1,点O和$△ ABC$的顶点均在小正方形的顶点上.
(1)以点O为位似中心,在网格图中作$△ A'B'C'$和$△ ABC$位似,且位似比为$\frac{1}{2}$;
(2)连接(1)中的$AA'$,求四边形$AA'C'C$的周长(结果保留根号).

解:(1)如图所示.

(2)连接$AA'$,图略.$A'C'=2\sqrt{2},AC=4\sqrt{2}$,
$\therefore$四边形$AA'C'C$的周长为$AA'+A'C'+C'C+CA=2+2\sqrt{2}+2+4\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 作位似图形时，首先确定位似中心为点O，位似比为$\frac{1}{2}$，即新图形各顶点到位似中心O的距离是原图形对应顶点到O距离的$\frac{1}{2}$，且与原图形在O的同侧。因此只需连接AO、BO、CO，分别取三条线段的中点得到对应点A'、B'、C'，顺次连接即可得到△A'B'C'。
(2) 求四边形周长需先求出四条边的长度：AA'、CC'可直接数网格得到长度；A'C'和AC为斜边，用勾股定理计算，再将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接OA、OB、OC；
② 分别在OA、OB、OC上取中点A'、B'、C'，满足$OA'=\frac{1}{2}OA$，$OB'=\frac{1}{2}OB$，$OC'=\frac{1}{2}OC$；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求的位似图形。
(2) 计算周长：
观察网格可得，$AA'=2$，$CC'=2$；
由勾股定理，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
因为△A'B'C'和△ABC的位似比为$\frac{1}{2}$，所以$A'C'=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$；
因此四边形$AA'C'C$的周长为：
$AA'+A'C'+C'C+AC=2+2\sqrt{2}+2+4\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 四边形$AA'C'C$的周长为$4+6\sqrt{2}$。
【知识点】
位似图形的作图与性质，勾股定理，四边形周长计算
【点评】
本题将位似作图与线段长度计算结合，作图时需准确把握位似中心和位似比的要求，计算斜线段长度时要熟练运用勾股定理，是对基础几何能力的考查。
【难度系数】
0.7