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1. (2026泉州期末)下列抛物线的开口方向向下的是 (
A.$y=x^2 -6x$
B.$y=x^2 -4x +5$
C.$y=-3x^2 +1$
D.$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$
C
)A.$y=x^2 -6x$
B.$y=x^2 -4x +5$
C.$y=-3x^2 +1$
D.$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断抛物线的开口方向，需依据二次函数的性质：对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），二次项系数$a$的符号决定开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。因此解题时只需逐一确定每个选项中二次项系数$a$的符号，找到$a＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的二次项系数：
A选项：$y=x^2 -6x$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求；
B选项：$y=x^2 -4x +5$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求；
C选项：$y=-3x^2 +1$，二次项系数$a=-3＜0$，开口向下，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$，二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质、二次项系数与开口方向的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次项系数对抛物线开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，是二次函数图象类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线的开口方向，需依据二次函数的性质：对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），二次项系数$a$的符号决定开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。因此解题时只需逐一确定每个选项中二次项系数$a$的符号，找到$a＜0$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的二次项系数：
A选项：$y=x^2 -6x$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求；
B选项：$y=x^2 -4x +5$，二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求；
C选项：$y=-3x^2 +1$，二次项系数$a=-3＜0$，开口向下，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{4}x^2 -x +4$，二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质、二次项系数与开口方向的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次项系数对抛物线开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，是二次函数图象类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数$y=x^2+2x-1$，当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围是（
A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x≥-1$
D.$x≤-1$
D
）A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x≥-1$
D.$x≤-1$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的增减性规律分析：首先判断二次函数的开口方向，再计算出函数的对称轴，最后根据“开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大”的规律，确定符合条件的x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 确定开口方向：本题中$a=1＞0$，所以抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 判断增减区间：开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，因此当$x≤-1$时，y随x的增大而减小。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合二次函数的增减性规律分析：首先判断二次函数的开口方向，再计算出函数的对称轴，最后根据“开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大”的规律，确定符合条件的x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 确定开口方向：本题中$a=1＞0$，所以抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$；
3. 判断增减区间：开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，因此当$x≤-1$时，y随x的增大而减小。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(开放性题)若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于点(0,5)，则该抛物线的表达式可能是
$y=-x^2+5($答案不唯一)
.答案
3. $y=-x^2+5$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，我们可结合题干两个条件逐步确定系数的取值要求：第一，抛物线开口向下，说明二次项系数$a$必须小于0；第二，抛物线与y轴交于点$(0,5)$，将$x=0$代入解析式可得$y=c=5$，一次项系数$b$无额外限制可任意取值，任选满足要求的系数就能写出对应解析式。
【解析】
设该抛物线的解析式为二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 由抛物线开口向下，可得$a＜0$，此处可取$a=-1$（任意负数值均可）；
2. 将交点$(0,5)$代入解析式，代入得$5=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=5$；
3. 一次项系数$b$无限制，可取$b=0$（任意实数值均可）；
将$a=-1$、$b=0$、$c=5$代入一般式，即可得到符合要求的解析式。
【答案】
$y=-x^2+5$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对二次函数核心性质的掌握，只要严格匹配开口方向、与y轴交点两个条件即可写出正确答案，灵活度较高。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，我们可结合题干两个条件逐步确定系数的取值要求：第一，抛物线开口向下，说明二次项系数$a$必须小于0；第二，抛物线与y轴交于点$(0,5)$，将$x=0$代入解析式可得$y=c=5$，一次项系数$b$无额外限制可任意取值，任选满足要求的系数就能写出对应解析式。
【解析】
设该抛物线的解析式为二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 由抛物线开口向下，可得$a＜0$，此处可取$a=-1$（任意负数值均可）；
2. 将交点$(0,5)$代入解析式，代入得$5=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=5$；
3. 一次项系数$b$无限制，可取$b=0$（任意实数值均可）；
将$a=-1$、$b=0$、$c=5$代入一般式，即可得到符合要求的解析式。
【答案】
$y=-x^2+5$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对二次函数核心性质的掌握，只要严格匹配开口方向、与y轴交点两个条件即可写出正确答案，灵活度较高。
【难度系数】
0.8
4. (2026上海一模)二次函数$y=3x^2 -2x +1$的图象在其对称轴右侧的部分是
上升
的(填“上升”或“下降”).答案
4. 上升
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的增减性，解题思路如下：第一步先根据二次项系数a的符号判断抛物线的开口方向；第二步结合开口方向，回忆对称轴两侧图象的升降规律：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，图象上升；开口向下时，对称轴右侧y随x增大而减小，图象下降，代入本题数据判断即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：
1. 该函数中二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域，$y$随$x$的增大而增大，对应图象呈上升趋势。
【答案】
上升
【知识点】
1. 二次函数开口判断
2. 二次函数增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及开口方向与对称轴两侧增减性的对应关系，熟练掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的增减性，解题思路如下：第一步先根据二次项系数a的符号判断抛物线的开口方向；第二步结合开口方向，回忆对称轴两侧图象的升降规律：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，图象上升；开口向下时，对称轴右侧y随x增大而减小，图象下降，代入本题数据判断即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$：
1. 该函数中二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域，$y$随$x$的增大而增大，对应图象呈上升趋势。
【答案】
上升
【知识点】
1. 二次函数开口判断
2. 二次函数增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及开口方向与对称轴两侧增减性的对应关系，熟练掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 写出二次函数 $y=x^2 - 4x + 3$ 图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它的图象.
答案
二次函数$y=x^2-4x+3$图象的对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$，开口向上，图象如图
。解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：
1. 先判断开口方向：对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
2. 再求对称轴和顶点坐标：可以通过两种方法求解，一是用配方法将一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；二是用公式法，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算即可。
3. 画图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键点，再根据对称性找对称点，最后用平滑曲线连接各点即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-4x+3$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
2. 求对称轴和顶点坐标：
方法一（配方法）：
将解析式配方得：
$y=x^2-4x+3 = x^2-4x+4 - 4 + 3 = (x-2)^2 -1$
根据顶点式可知，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
方法二（公式法）：
这里$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×3 - (-4)^2}{4×1}=\frac{12-16}{4}=-1$，
因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
3. 画图象：先描出顶点$(2,-1)$，与x轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$及其对称点$(4,3)$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到函数图象，与所给图示一致。
【答案】
二次函数$y=x^2-4x+3$图象的对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$，开口向上，图象如图。
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 配方法
3. 描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查对二次函数基本性质的掌握，以及将一般式转化为顶点式的方法，熟练掌握这些内容是解决二次函数相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：
1. 先判断开口方向：对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
2. 再求对称轴和顶点坐标：可以通过两种方法求解，一是用配方法将一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；二是用公式法，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算即可。
3. 画图象时，先确定顶点、与坐标轴的交点等关键点，再根据对称性找对称点，最后用平滑曲线连接各点即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-4x+3$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
2. 求对称轴和顶点坐标：
方法一（配方法）：
将解析式配方得：
$y=x^2-4x+3 = x^2-4x+4 - 4 + 3 = (x-2)^2 -1$
根据顶点式可知，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
方法二（公式法）：
这里$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×3 - (-4)^2}{4×1}=\frac{12-16}{4}=-1$，
因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
3. 画图象：先描出顶点$(2,-1)$，与x轴交点$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$及其对称点$(4,3)$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到函数图象，与所给图示一致。
【答案】
二次函数$y=x^2-4x+3$图象的对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$，开口向上，图象如图
。【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 配方法
3. 描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查对二次函数基本性质的掌握，以及将一般式转化为顶点式的方法，熟练掌握这些内容是解决二次函数相关问题的基础。
【难度系数】
0.8
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=-ax^2 -c$的图象大致为 （
A
）答案
6. A
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数图象的组合判断题，解题核心是结合函数解析式中参数的符号，分别分析两个函数的图象特征（开口方向、增减性、与y轴交点位置），再验证两个函数中同一参数的符号是否一致，即可选出正确选项。首先明确：①二次函数$y=-ax^2 -c$的开口方向由$-a$决定，与y轴交点坐标为$(0,-c)$；②一次函数$y=ax+c$的增减性由$a$决定，与y轴交点坐标为$(0,c)$。接下来逐一对比选项中两个函数的特征是否符合参数的一致性即可。
【解析】
我们分步骤分析各选项：
1. 明确两个函数的图象与参数的对应关系：
二次函数$y=-ax^2 -c$：
开口方向：若$-a＞0$（即$a＜0$），抛物线开口向上；若$-a＜0$（即$a＞0$），抛物线开口向下。
与y轴交点：令$x=0$，得$y=-c$，即交点为$(0,-c)$。
一次函数$y=ax+c$：
倾斜方向：$a＞0$时直线从左下向右上倾斜（过一、三象限），$a＜0$时直线从左上向右下倾斜（过二、四象限）。
与y轴交点：令$x=0$，得$y=c$，即交点为$(0,c)$。
2. 逐个验证选项：
选项A：抛物线开口向上→$-a＞0$→$a＜0$，对应一次函数斜率$a＜0$，直线下降，符合特征；抛物线与y轴交于负半轴→$-c＜0$→$c＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，符合特征，A正确。
选项B：抛物线开口向上得$a＜0$，直线下降符合；抛物线与y轴交于负半轴得$c＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴，参数矛盾，B错误。
选项C：抛物线开口向下得$a＞0$，直线上升符合；抛物线与y轴交于正半轴得$-c＞0$→$c＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴，参数矛盾，C错误。
选项D：抛物线开口向下得$a＞0$，对应一次函数应为上升的直线，但图中直线下降，参数矛盾，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象的基础判断题，解题的关键是掌握函数系数与图象特征的对应关系，通过参数符号的一致性逐一排除错误选项，是函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数图象的组合判断题，解题核心是结合函数解析式中参数的符号，分别分析两个函数的图象特征（开口方向、增减性、与y轴交点位置），再验证两个函数中同一参数的符号是否一致，即可选出正确选项。首先明确：①二次函数$y=-ax^2 -c$的开口方向由$-a$决定，与y轴交点坐标为$(0,-c)$；②一次函数$y=ax+c$的增减性由$a$决定，与y轴交点坐标为$(0,c)$。接下来逐一对比选项中两个函数的特征是否符合参数的一致性即可。
【解析】
我们分步骤分析各选项：
1. 明确两个函数的图象与参数的对应关系：
二次函数$y=-ax^2 -c$：
开口方向：若$-a＞0$（即$a＜0$），抛物线开口向上；若$-a＜0$（即$a＞0$），抛物线开口向下。
与y轴交点：令$x=0$，得$y=-c$，即交点为$(0,-c)$。
一次函数$y=ax+c$：
倾斜方向：$a＞0$时直线从左下向右上倾斜（过一、三象限），$a＜0$时直线从左上向右下倾斜（过二、四象限）。
与y轴交点：令$x=0$，得$y=c$，即交点为$(0,c)$。
2. 逐个验证选项：
选项A：抛物线开口向上→$-a＞0$→$a＜0$，对应一次函数斜率$a＜0$，直线下降，符合特征；抛物线与y轴交于负半轴→$-c＜0$→$c＞0$，对应一次函数与y轴交于正半轴，符合特征，A正确。
选项B：抛物线开口向上得$a＜0$，直线下降符合；抛物线与y轴交于负半轴得$c＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴，参数矛盾，B错误。
选项C：抛物线开口向下得$a＞0$，直线上升符合；抛物线与y轴交于正半轴得$-c＞0$→$c＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴，参数矛盾，C错误。
选项D：抛物线开口向下得$a＞0$，对应一次函数应为上升的直线，但图中直线下降，参数矛盾，D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象的基础判断题，解题的关键是掌握函数系数与图象特征的对应关系，通过参数符号的一致性逐一排除错误选项，是函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=x^2 -2x +1$的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C，点P(2，$y_1$)，Q(3，$y_2$)在抛物线C上，则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”或“＜”）。答案
7. ＜
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，先根据二次函数图象平移的“左加右减”规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用方法：①分别将点P、Q的横坐标代入解析式算出$y_1$、$y_2$的具体值，直接比较大小；②根据抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性判断大小，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
解：先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据二次函数平移规律“左加右减（针对横坐标）”，图象向左平移2个单位后，抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法1：代入求值比较
将$x=2$代入得：$y_1=(2+1)^2=9$
将$x=3$代入得：$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性判断
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。
点P、Q的横坐标2、3都在对称轴右侧，且$2＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数增减性；函数值计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，核心考查平移规律和二次函数性质的掌握，解题时既可以通过直接代入计算求解，也可以利用增减性快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步走：第一步，先根据二次函数图象平移的“左加右减”规律，求出平移后抛物线C的解析式；第二步，比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用方法：①分别将点P、Q的横坐标代入解析式算出$y_1$、$y_2$的具体值，直接比较大小；②根据抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性判断大小，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
解：先将原二次函数化为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据二次函数平移规律“左加右减（针对横坐标）”，图象向左平移2个单位后，抛物线C的解析式为：
$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$
方法1：代入求值比较
将$x=2$代入得：$y_1=(2+1)^2=9$
将$x=3$代入得：$y_2=(3+1)^2=16$
因为$9＜16$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性判断
抛物线$y=(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。
点P、Q的横坐标2、3都在对称轴右侧，且$2＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数增减性；函数值计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，核心考查平移规律和二次函数性质的掌握，解题时既可以通过直接代入计算求解，也可以利用增减性快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.9
8.如图,二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的图象关于直线$x=1$对称,与$x$轴交于点$A(-1,0)$与点$B$,与$y$轴交于点$C(0,c)$.
(1)求$a$与$c$的值；
(2)求点$B$的坐标；
(3)在直线$BC$上取一点$P$,连接$PA$,使得$PA=PB$,求点$P$的坐标.
(1)求$a$与$c$的值；
(2)求点$B$的坐标；
(3)在直线$BC$上取一点$P$,连接$PA$,使得$PA=PB$,求点$P$的坐标.
答案
(1)$\because$ 二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的图象关于直线$x=1$对称，
$\therefore -\frac{2}{2a}=1$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为$y=-x^2+2x+c$。
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$，$\therefore -1-2+c=0$，解得$c=3$。
(2)由题意知，点$A$与点$B$关于直线$x=1$对称，且$A(-1,0)$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(3,0)$。
(3)由(1)得$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，$\because PA=PB$，
$\therefore$ 点$P$在抛物线的对称轴直线$x=1$上，
$\because B(3,0),C(0,3)$，易得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$，令$x=1$，则$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点$P(1,2)$。
$\therefore -\frac{2}{2a}=1$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为$y=-x^2+2x+c$。
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$，$\therefore -1-2+c=0$，解得$c=3$。
(2)由题意知，点$A$与点$B$关于直线$x=1$对称，且$A(-1,0)$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(3,0)$。
(3)由(1)得$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，$\because PA=PB$，
$\therefore$ 点$P$在抛物线的对称轴直线$x=1$上，
$\because B(3,0),C(0,3)$，易得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$，令$x=1$，则$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点$P(1,2)$。
解析
【分析】
(1) 求a、c的值时，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为$x=1$，代入$b=2$即可求出a的值；再将点$A(-1,0)$代入含a的二次函数表达式，就能解出c的值。
(2) 求点B坐标时，二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知A点坐标和对称轴$x=1$，利用对称点的坐标特征即可求出B点坐标。
(3) 求P点坐标时，首先根据$PA=PB$，由线段垂直平分线的判定可知，点P在AB的垂直平分线上，也就是二次函数的对称轴$x=1$上；接下来求出直线BC的函数表达式，联立$x=1$即可求出P点的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的图象关于直线$x=1$对称，
$\therefore$ 由对称轴公式得$-\frac{2}{2a}=1$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为$y=-x^2+2x+c$。
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$，将点代入得$-(-1)^2+2×(-1)+c=0$，即$-1-2+c=0$，解得$c=3$。
(2) $\because$ 二次函数与x轴的交点A、B关于对称轴直线$x=1$对称，且$A(-1,0)$，
设B点横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，$\therefore$ 点B的坐标为$(3,0)$。
(3) $\because PA=PB$，$\therefore$ 点P在线段AB的垂直平分线上，即点P在直线$x=1$上。
已知$B(3,0),C(0,3)$，设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$c=3$；
(2) $B(3,0)$；
(3) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数解析式求解，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是灵活运用二次函数的对称性，结合线段垂直平分线的性质和一次函数的相关知识求解，难度适中，适合巩固函数类基础知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 求a、c的值时，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为$x=1$，代入$b=2$即可求出a的值；再将点$A(-1,0)$代入含a的二次函数表达式，就能解出c的值。
(2) 求点B坐标时，二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知A点坐标和对称轴$x=1$，利用对称点的坐标特征即可求出B点坐标。
(3) 求P点坐标时，首先根据$PA=PB$，由线段垂直平分线的判定可知，点P在AB的垂直平分线上，也就是二次函数的对称轴$x=1$上；接下来求出直线BC的函数表达式，联立$x=1$即可求出P点的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数$y=ax^2+2x+c(a≠0)$的图象关于直线$x=1$对称，
$\therefore$ 由对称轴公式得$-\frac{2}{2a}=1$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 函数表达式为$y=-x^2+2x+c$。
$\because$ 图象过点$A(-1,0)$，将点代入得$-(-1)^2+2×(-1)+c=0$，即$-1-2+c=0$，解得$c=3$。
(2) $\because$ 二次函数与x轴的交点A、B关于对称轴直线$x=1$对称，且$A(-1,0)$，
设B点横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，$\therefore$ 点B的坐标为$(3,0)$。
(3) $\because PA=PB$，$\therefore$ 点P在线段AB的垂直平分线上，即点P在直线$x=1$上。
已知$B(3,0),C(0,3)$，设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入$y=-x+3$，得$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$c=3$；
(2) $B(3,0)$；
(3) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数解析式求解，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是灵活运用二次函数的对称性，结合线段垂直平分线的性质和一次函数的相关知识求解，难度适中，适合巩固函数类基础知识点。
【难度系数】
0.7
