2. 将一条长为28 cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形.
(1)使这两个正方形的面积之和等于25 cm²,则其中较大正方形的边长是多少?
(2)这两个正方形的面积之和可能等于50 cm²吗?请说明理由.

(1) 4 cm (2) 不可能,理由略

【分析】
(1) 本题可通过建立一元二次方程模型求解：先设其中一个正方形的边长为x cm，根据铁丝总长度可推导出另一个正方形的边长为(7-x)cm，再结合两个正方形面积之和为25 cm²的条件列方程，解方程得到两个边长后取较大值即可。
(2) 判断面积和能否等于50 cm²，可先假设结论成立列出方程，通过判断方程是否有符合实际意义的正根，或通过求面积和的最大值与50比较，即可得出结论。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为x cm，则该正方形的周长为4x cm，另一段铁丝的长度为(28-4x)cm，因此另一个正方形的边长为$\frac{28-4x}{4}=7-x$ cm。
根据题意列方程：
$x^2 + (7-x)^2 = 25$
展开整理得：
$2x^2 -14x +24=0$
化简为：$x^2 -7x +12=0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$
两个正方形的边长分别为3 cm和4 cm，因此较大正方形的边长为4 cm。
(2) 不可能，理由如下：
假设两个正方形的面积之和等于50 cm²，列方程得：
$x^2 + (7-x)^2 =50$
展开整理得：$2x^2 -14x -1=0$
将面积和表达式配方得：$S=2(x-\frac{7}{2})^2+\frac{49}{2}$，可知面积和S的最大值为$49\mathrm{cm}^2$，小于$50\mathrm{cm}^2$，因此两个正方形的面积之和不可能等于50 cm²。
【答案】
(1) 4 cm
(2) 不可能
【知识点】
列一元二次方程解应用题，一元二次方程求解，二次函数最值应用
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的典型应用，解题核心是理清周长和边长的数量关系，建立正确的方程模型，同时要注意方程的解需符合实际意义，能有效考察学生的建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7

3. 某项科技取得突破，将两两互通的信息连接转化为借助中转进行信息连接，节省了连接的通道.例如有五个用户，按两两连接时需建立10个通道，而按借助中转点O连接时，只需5个通道（通道指的是图中的线段）.
（1）若有6个用户，则两两连接比中转连接多用条通道；
（2）若某网络空间有若干个用户采用中转点连接比两两连接少了135个通道，求该空间的用户数.

3. (1) 9 (2) 18人

【分析】
解题首先要明确两种连接方式的通道数计算规律：①两两连接属于握手类计数问题，n个用户的总通道数为从n个元素中选2个的组合数，公式为$\frac{n(n-1)}{2}$；②中转连接时每个用户仅需和中转点建立1条通道，因此n个用户的总通道数为n。第一问直接将n=6代入两个公式，计算差值即可；第二问设用户数为n，根据“中转连接比两两连接少135个通道”的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
（1）当用户数为6时：
两两连接的通道数：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$（条）
中转连接的通道数：6（条）
两两连接比中转连接多用的通道数：$15-6=9$（条）
（2）设该空间的用户数为$n$（$n$为正整数），根据题意得：
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 135$
整理方程：
两边同乘2消去分母：$n(n-1)-2n=270$
展开化简得：$n^2 - 3n - 270 = 0$
因式分解得：$(n-18)(n+15)=0$
解得：$n_1=18$，$n_2=-15$
用户数不能为负数，因此舍去$n=-15$，即用户数为18。
【答案】
（1）9；（2）18人
【知识点】
握手问题计数，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合网络通信的实际场景考查规律探究与方程应用，解题核心是先推导两种连接方式的通道数计算公式，再根据等量关系列式或列方程求解，求解后要注意检验方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7