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2. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程(
A.$x(x-1)=1722$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=1722$
C.$x(x+1)=1722$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=1722$
A
)A.$x(x-1)=1722$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=1722$
C.$x(x+1)=1722$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=1722$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先要明确互送贺卡的计数规则：班级有x人，每人不需要给自己送贺卡，因此每人需要送出(x-1)张贺卡；同时互送贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是两张不同的贺卡，不存在重复计数，不需要除以2，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，据此即可列出方程。
【解析】
设该班共有x名学生。
∵ 每名学生要给除自己之外的其余(x-1)名同学各送1张贺卡，且互送贺卡属于双循环计数，无重复计算的情况，
∴ 全班送出的总贺卡数为 $ x(x-1) $ 张。
已知全班共送出贺卡1722张，因此可列方程：$ x(x-1)=1722 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环计数问题
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见基础题型，解题核心是区分双循环计数（如互送贺卡、互发短信）和单循环计数（如握手、单循环比赛）的差异，避免因混淆是否需要除以2出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确互送贺卡的计数规则：班级有x人，每人不需要给自己送贺卡，因此每人需要送出(x-1)张贺卡；同时互送贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是两张不同的贺卡，不存在重复计数，不需要除以2，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，据此即可列出方程。
【解析】
设该班共有x名学生。
∵ 每名学生要给除自己之外的其余(x-1)名同学各送1张贺卡，且互送贺卡属于双循环计数，无重复计算的情况，
∴ 全班送出的总贺卡数为 $ x(x-1) $ 张。
已知全班共送出贺卡1722张，因此可列方程：$ x(x-1)=1722 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环计数问题
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见基础题型，解题核心是区分双循环计数（如互送贺卡、互发短信）和单循环计数（如握手、单循环比赛）的差异，避免因混淆是否需要除以2出现错误。
【难度系数】
0.8
3. 某场比赛采用单循环制(即每两支球队都要比赛一场),若共有x支球队进行了21场比赛,则可列方程为(
A.$ x(x - 2)=42 $
B.$ \frac{x(x + 1)}{2}=21 $
C.$ x^2 - x=21 $
D.$ \frac{x(x - 1)}{2}=21 $
D
)A.$ x(x - 2)=42 $
B.$ \frac{x(x + 1)}{2}=21 $
C.$ x^2 - x=21 $
D.$ \frac{x(x - 1)}{2}=21 $
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先抓住核心条件“单循环制”，按以下思路推导：
第一步：明确每支球队的比赛场次，总共有x支球队，每支球队不能和自身比赛，因此每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场；
第二步：修正重复计数问题，若直接计算x(x-1)，会出现A和B比赛、B和A比赛被算作2场的情况，实际两队之间仅赛1场，因此总场次需要除以2；
第三步：结合总场次为21的已知条件，列写方程后对应选项即可。
【解析】
单循环赛制下的总场数计算如下：
1. 每支球队需和剩余(x-1)支球队比赛，不考虑重复时总场次为$x(x-1)$场；
2. 每场比赛被2支球队各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总场数为21，因此可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 单循环赛计数规则
2. 实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理解单循环赛制的计数特点，避免出现重复计数的错误，属于常考的基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住核心条件“单循环制”，按以下思路推导：
第一步：明确每支球队的比赛场次，总共有x支球队，每支球队不能和自身比赛，因此每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场；
第二步：修正重复计数问题，若直接计算x(x-1)，会出现A和B比赛、B和A比赛被算作2场的情况，实际两队之间仅赛1场，因此总场次需要除以2；
第三步：结合总场次为21的已知条件，列写方程后对应选项即可。
【解析】
单循环赛制下的总场数计算如下：
1. 每支球队需和剩余(x-1)支球队比赛，不考虑重复时总场次为$x(x-1)$场；
2. 每场比赛被2支球队各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总场数为21，因此可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 单循环赛计数规则
2. 实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理解单循环赛制的计数特点，避免出现重复计数的错误，属于常考的基础类应用题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 一个凸n边形共有54条对角线，则可列方程为
1. 一个凸n边形共有54条对角线，则可列方程为
$\frac{n(n-3)}{2}=54$
。答案
1. $\frac{n(n-3)}{2}=54$
解析
【分析】
要列出对应的方程，需先推导凸n边形的对角线总条数公式：首先思考单个顶点可连的对角线数量，凸n边形的每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连接对角线，因此每个顶点最多引出$(n-3)$条对角线；n个顶点共可引出$n(n-3)$条线段，但每条对角线连接2个顶点，会被重复计算1次，因此实际总条数需要除以2；最后结合题目给出的总对角线条数为54，即可列出等式。
【解析】
1. 凸n边形有$n$个顶点，每个顶点可连接的对角线数量为$(n-3)$条（排除自身和相邻的2个顶点），所有顶点累计可连出$n(n-3)$条线段；
2. 每条对角线对应2个顶点，上述计算中每条对角线被重复统计1次，因此对角线实际总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；
3. 已知对角线总条数为54，因此可列方程为$\frac{n(n-3)}{2}=54$。
【答案】
$\frac{n(n-3)}{2}=54$
【知识点】
凸多边形对角线公式；根据实际问题列方程
【点评】
本题重点考查多边形对角线计数规律的应用，解题核心是理解对角线计数时去重的逻辑，熟记对应公式即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要列出对应的方程，需先推导凸n边形的对角线总条数公式：首先思考单个顶点可连的对角线数量，凸n边形的每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连接对角线，因此每个顶点最多引出$(n-3)$条对角线；n个顶点共可引出$n(n-3)$条线段，但每条对角线连接2个顶点，会被重复计算1次，因此实际总条数需要除以2；最后结合题目给出的总对角线条数为54，即可列出等式。
【解析】
1. 凸n边形有$n$个顶点，每个顶点可连接的对角线数量为$(n-3)$条（排除自身和相邻的2个顶点），所有顶点累计可连出$n(n-3)$条线段；
2. 每条对角线对应2个顶点，上述计算中每条对角线被重复统计1次，因此对角线实际总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；
3. 已知对角线总条数为54，因此可列方程为$\frac{n(n-3)}{2}=54$。
【答案】
$\frac{n(n-3)}{2}=54$
【知识点】
凸多边形对角线公式；根据实际问题列方程
【点评】
本题重点考查多边形对角线计数规律的应用，解题核心是理解对角线计数时去重的逻辑，熟记对应公式即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
2. 九年级(2)班几位同学相约到学校操场训练跑步,若训练后每两个人都击掌一次,所有人共击掌了10次,有
5
人参加训练.答案
2. 5
解析
【分析】
本题属于单循环计数类应用题，解题思路如下：首先设参加训练的人数为x，每个人需要和除自己外的(x-1)人击掌，由于每两人之间的击掌会被重复计算1次，因此实际总击掌次数为不考虑重复时总次数的一半，结合总击掌次数为10次的条件，即可列出一元二次方程求解，最后要检验解是否符合人数为正整数的实际要求。
【解析】
设有$x$人参加训练。
每名同学需和其余$(x-1)$人击掌，若不考虑重复，总击掌次数为$x(x-1)$次，由于每两人的击掌被重复计算1次，因此实际总击掌次数为$\dfrac{1}{2}x(x-1)$次。
根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=10$
整理得：$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x+4)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-4$，即参加训练的人数为5人。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数
【点评】
本题是贴近生活的应用类题型，解题核心是明确单循环计数时需去除重复计算的部分，求解方程后要注意验证解是否符合实际意义，属于一元二次方程应用的基础常考题。
【难度系数】
0.8
本题属于单循环计数类应用题，解题思路如下：首先设参加训练的人数为x，每个人需要和除自己外的(x-1)人击掌，由于每两人之间的击掌会被重复计算1次，因此实际总击掌次数为不考虑重复时总次数的一半，结合总击掌次数为10次的条件，即可列出一元二次方程求解，最后要检验解是否符合人数为正整数的实际要求。
【解析】
设有$x$人参加训练。
每名同学需和其余$(x-1)$人击掌，若不考虑重复，总击掌次数为$x(x-1)$次，由于每两人的击掌被重复计算1次，因此实际总击掌次数为$\dfrac{1}{2}x(x-1)$次。
根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=10$
整理得：$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得：$(x-5)(x+4)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-4$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-4$，即参加训练的人数为5人。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数
【点评】
本题是贴近生活的应用类题型，解题核心是明确单循环计数时需去除重复计算的部分，求解方程后要注意验证解是否符合实际意义，属于一元二次方程应用的基础常考题。
【难度系数】
0.8
3. 一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数,设较长的直角边长为x,则所列方程为
$x^2-4x=0$
.答案
3. $x^2-4x=0$
解析
【分析】
要解决这道题，核心依据是直角三角形的勾股定理，再结合题干条件逐步推导：首先根据“三边长是三个连续整数、较长直角边长为x”的信息表示另外两条边，连续整数中比x小的相邻整数是x-1，对应较短的直角边；直角三角形中斜边最长，所以斜边是比x大的相邻整数x+1。最后把三条边代入勾股定理，整理方程即可得到结果。
【解析】
已知较长直角边长为x，三边长为三个连续整数：
1. 较短直角边比长直角边小1，可表示为$x-1$；
2. 斜边是直角三角形最长边，比长直角边大1，可表示为$x+1$；
根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程得：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开化简：
左边展开得$x^2 - 2x + 1 + x^2 = 2x^2 - 2x + 1$
右边展开得$x^2 + 2x + 1$
移项合并同类项：
$2x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0$
最终整理得$x^2 - 4x = 0$
【答案】
$x^2-4x=0$
【知识点】
勾股定理；列一元二次方程；连续整数的表示
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的关键是准确梳理直角三角形三边的大小关系，正确用含x的代数式表示出短直角边和斜边，再结合勾股定理列方程化简即可，注意不要混淆斜边和直角边的大小关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，核心依据是直角三角形的勾股定理，再结合题干条件逐步推导：首先根据“三边长是三个连续整数、较长直角边长为x”的信息表示另外两条边，连续整数中比x小的相邻整数是x-1，对应较短的直角边；直角三角形中斜边最长，所以斜边是比x大的相邻整数x+1。最后把三条边代入勾股定理，整理方程即可得到结果。
【解析】
已知较长直角边长为x，三边长为三个连续整数：
1. 较短直角边比长直角边小1，可表示为$x-1$；
2. 斜边是直角三角形最长边，比长直角边大1，可表示为$x+1$；
根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程得：
$(x-1)^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开化简：
左边展开得$x^2 - 2x + 1 + x^2 = 2x^2 - 2x + 1$
右边展开得$x^2 + 2x + 1$
移项合并同类项：
$2x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = 0$
最终整理得$x^2 - 4x = 0$
【答案】
$x^2-4x=0$
【知识点】
勾股定理；列一元二次方程；连续整数的表示
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的关键是准确梳理直角三角形三边的大小关系，正确用含x的代数式表示出短直角边和斜边，再结合勾股定理列方程化简即可，注意不要混淆斜边和直角边的大小关系。
【难度系数】
0.7
4. 某中学组织九年级学生参加篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有
6
个班级参赛。答案
4. 6
解析
【分析】
本题是单循环比赛类实际应用题，解题思路如下：首先根据“每两班之间都比赛一场”明确是单循环赛制，设参赛班级总数为x，每个班级需要和其余(x-1)个班级各赛1场，由于每场比赛会被两个班级重复计数，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再结合题目给出的总场次15列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设共有$x$个班级参赛。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
方程两边同乘2整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于班级数量为正整数，因此舍去不符合实际意义的$x_2=-5$，即参赛班级数量为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程实际应用、单循环场次计算、一元二次方程求解
【点评】
本题结合常见的比赛场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，求解方程后要注意结合实际场景对根的合理性进行检验，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
本题是单循环比赛类实际应用题，解题思路如下：首先根据“每两班之间都比赛一场”明确是单循环赛制，设参赛班级总数为x，每个班级需要和其余(x-1)个班级各赛1场，由于每场比赛会被两个班级重复计数，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再结合题目给出的总场次15列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设共有$x$个班级参赛。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
方程两边同乘2整理得：
$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于班级数量为正整数，因此舍去不符合实际意义的$x_2=-5$，即参赛班级数量为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程实际应用、单循环场次计算、一元二次方程求解
【点评】
本题结合常见的比赛场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，求解方程后要注意结合实际场景对根的合理性进行检验，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 第一届海南省城市足球联赛“琼超”已于2026年4月11日圆满落幕，该项赛事的举办，是海南落实全民健身国家战略、推进体育强省建设的重要举措.赛事期间热闹非凡，人气火爆.该联赛第一阶段采用单循环赛制（每两支球队之间只比赛1场），并将全部参赛球队平均分为南、北两个赛区，每个赛区的球队数量相同.已知整个第一阶段（南、北赛区的所有常规赛）共进行了72场比赛，求：每个赛区有多少支球队参加？
1. 第一届海南省城市足球联赛“琼超”已于2026年4月11日圆满落幕，该项赛事的举办，是海南落实全民健身国家战略、推进体育强省建设的重要举措.赛事期间热闹非凡，人气火爆.该联赛第一阶段采用单循环赛制（每两支球队之间只比赛1场），并将全部参赛球队平均分为南、北两个赛区，每个赛区的球队数量相同.已知整个第一阶段（南、北赛区的所有常规赛）共进行了72场比赛，求：每个赛区有多少支球队参加？
答案
1. 9支
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：参赛球队平均分为南、北两个赛区，每个赛区球队数相同，赛区内采用单循环赛制，两个赛区总比赛场次为72场。第一步需掌握单循环赛制的场次计算规则：若某组有x支球队，每两队赛1场，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$（每队赛x-1场，每场比赛被重复计算1次，因此除以2）。第二步设每个赛区有x支球队，可表示出单个赛区的比赛场次，再乘以2即为总场次，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的负根即可。
【解析】
解：设每个赛区有$x$支球队参加。
根据单循环赛制的场次计算规则，单个赛区的比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，两个赛区总场次为72场，可列方程：
$2×\frac{1}{2}x(x-1)=72$
化简得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
∵球队数量为正整数，
∴$x=-8$不符合实际意义，舍去。
∴$x=9$
【答案】
9支
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环场次计算
【点评】
本题结合体育赛事热点考查方程的实际应用，解题核心是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，同时要注意对求解出的根结合实际场景进行检验，舍去不合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：参赛球队平均分为南、北两个赛区，每个赛区球队数相同，赛区内采用单循环赛制，两个赛区总比赛场次为72场。第一步需掌握单循环赛制的场次计算规则：若某组有x支球队，每两队赛1场，总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$（每队赛x-1场，每场比赛被重复计算1次，因此除以2）。第二步设每个赛区有x支球队，可表示出单个赛区的比赛场次，再乘以2即为总场次，据此列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的负根即可。
【解析】
解：设每个赛区有$x$支球队参加。
根据单循环赛制的场次计算规则，单个赛区的比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，两个赛区总场次为72场，可列方程：
$2×\frac{1}{2}x(x-1)=72$
化简得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$
∵球队数量为正整数，
∴$x=-8$不符合实际意义，舍去。
∴$x=9$
【答案】
9支
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环场次计算
【点评】
本题结合体育赛事热点考查方程的实际应用，解题核心是准确理解单循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，同时要注意对求解出的根结合实际场景进行检验，舍去不合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
