1. 下列各题的结论或解答过程有遗漏，请你给予纠正：
（1）在直角$△ ABC$中，$AC = 4,BC = 3$。
可得$\underline{AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5}$。
所以$\sin A = \frac{3}{5},\cos A = \frac{4}{5},\tan A = \frac{3}{4}$。
（2）在$△ ABC$中，$AC = 2,∠ B$是锐角，且$\tan B = \frac{1}{3},BC = \sqrt{10}$，则$\underline{AB = 3 + \sqrt{3}}$。
解：根据题意画示意图，如图4-3-1，过点C作AB边的高CD。

由题意，得$BD = \frac{CD}{\tan B} = 3CD$。
由勾股定理，得
$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 10$，
即$10CD^2 = 10$，
$\therefore CD = 1,BD = 3$。
$\therefore AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}$
$= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
由图形知道，高CD在$△ ABC$内部，
$\therefore AB = BD + AD = 3 + \sqrt{3}$。

（1） 若 $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{7}$，则 $\sin A = \frac{3}{4}, \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}, \tan A = \frac{3\sqrt{7}}{7}$。
（2） 若高 $CD$ 在 $△ ABC$ 外部，即点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上，则 $AB = BD - AD = 3 - \sqrt{3}$。

【分析】
（1）题目仅说明△ABC是直角三角形，但未明确哪个角是直角，原解答默认∠C为直角，遗漏了∠B为直角的情况，需分两种情况讨论求解；
（2）原解答仅考虑了高CD在△ABC内部的情况，未考虑高CD在△ABC外部（即点D在BA延长线上）的情况，需补充该种情况的计算。
【解析】
（1）分两种情况讨论直角顶点：
①当∠C为直角时，原解答计算正确；
②当∠B为直角时，AC为斜边，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
根据锐角三角函数定义：
$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
（2）分两种情况讨论高CD的位置：
①当高CD在△ABC内部时，原解答计算正确；
②当高CD在△ABC外部，即点D落在BA的延长线上时，已求得$CD=1,BD=3,AD=\sqrt{3}$，此时$AB=BD-AD=3-\sqrt{3}$。
【答案】
（1） 若 $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{7}$，则 $\sin A = \frac{3}{4}, \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}, \tan A = \frac{3\sqrt{7}}{7}$。
（2） 若高 $CD$ 在 $△ ABC$ 外部，即点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上，则 $AB = BD - AD = 3 - \sqrt{3}$。
【知识点】
分类讨论思想；锐角三角函数定义；勾股定理应用
【点评】
本题是典型的分类讨论易错题，解题时易因思维定式默认图形唯一情况导致漏解，遇到未明确直角顶点、三角形高的位置等模糊条件时，要全面分析所有可能的情况，保证解答的完整性。
【难度系数】
0.4