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试运用以上方法解决如下问题：
如图4-3-3，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求$\sin A$的值。
如图4-3-3，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求$\sin A$的值。
答案
2. 提示:由方格图形特点可得
$S_{△ ABC} = 4×4 - \frac{1}{2}×2×(4 + 4 + 2) = 6$，
由勾股定理，得 $AB = AC = 2\sqrt{5}$。
过点 $B$ 作 $BD ⊥ AC$,垂足为 $D$.
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BD = 6$，
即 $BD = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。
$\therefore \sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{5}$。
解析
【分析】
要求$\sin A$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造以$∠ A$为锐角的直角三角形，因此考虑过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，此时$\sin A=\frac{BD}{AB}$，只需分别求出$BD$和$AB$的长度即可。解题思路如下：①先用割补法计算$△ ABC$的面积；②用勾股定理计算$AB$、$AC$的长度；③结合三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD$求出$BD$的长度；④最后代入三角函数定义计算$\sin A$的值。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$△ ABC$的面积：
利用割补法，用边长为4的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，可得：
$S_{△ ABC} = 4×4 - \frac{1}{2}×2×(4 + 4 + 2) = 6$
2. 用勾股定理计算$AB$、$AC$的长度：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。
3. 求$BD$的长度：
过点$B$作$BD ⊥ AC$，垂足为$D$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BD = 6$，
将$AC=2\sqrt{5}$代入得：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×BD = 6$，
解得$BD = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。
4. 计算$\sin A$的值：
在$Rt△ ABD$中，$\sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题是网格背景下的三角函数计算问题，解题核心是通过作高构造直角三角形，结合割补法求面积的技巧和勾股定理得到对应线段的长度，解题过程体现了转化的数学思想，是较为经典的三角函数应用题型。
【难度系数】
0.7
要求$\sin A$的值，根据锐角三角函数的定义，需要构造以$∠ A$为锐角的直角三角形，因此考虑过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，此时$\sin A=\frac{BD}{AB}$，只需分别求出$BD$和$AB$的长度即可。解题思路如下：①先用割补法计算$△ ABC$的面积；②用勾股定理计算$AB$、$AC$的长度；③结合三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD$求出$BD$的长度；④最后代入三角函数定义计算$\sin A$的值。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算$△ ABC$的面积：
利用割补法，用边长为4的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，可得：
$S_{△ ABC} = 4×4 - \frac{1}{2}×2×(4 + 4 + 2) = 6$
2. 用勾股定理计算$AB$、$AC$的长度：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。
3. 求$BD$的长度：
过点$B$作$BD ⊥ AC$，垂足为$D$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BD = 6$，
将$AC=2\sqrt{5}$代入得：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×BD = 6$，
解得$BD = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。
4. 计算$\sin A$的值：
在$Rt△ ABD$中，$\sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题是网格背景下的三角函数计算问题，解题核心是通过作高构造直角三角形，结合割补法求面积的技巧和勾股定理得到对应线段的长度，解题过程体现了转化的数学思想，是较为经典的三角函数应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A$，$∠ B,∠ C$的对边。
【探索一】如图4-3-4，作$BC$边上的高$AD$，则$\sin B = \frac{AD}{c}$，$\sin C = \frac{AD}{b}$。
$\therefore AD = c·\sin B = b·\sin C$，
即 $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
同理，作$AB$边上的高$CE$，可得
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
（这个结论称为正弦定理）
【探索二】如图4-3-4，作$BC$边上的高$AD$.由勾股定理，得
$c^2 = AD^2 + BD^2$
$= AD^2 + (a - CD)^2$
$= AD^2 + a^2 - 2a· CD + CD^2$
$= a^2 + b^2 - 2a· CD$.
在$\mathrm{Rt}△ CAD$中，$CD = b·\cos C$.
$\therefore c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·\cos C$.
同理可得
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·\cos A$，
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·\cos B$.
（上述三条结论称为余弦定理）
试用以上定理解决如下问题：
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A$，$∠ B,∠ C$的对边。
①$∠ A = 30°,∠ B = 60°,b = 12$,求$a$.
②$∠ B = 60°,b = \sqrt{3},c = 1$,求$a$.
【探索一】如图4-3-4，作$BC$边上的高$AD$，则$\sin B = \frac{AD}{c}$，$\sin C = \frac{AD}{b}$。
$\therefore AD = c·\sin B = b·\sin C$，
即 $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
同理，作$AB$边上的高$CE$，可得
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
（这个结论称为正弦定理）
【探索二】如图4-3-4，作$BC$边上的高$AD$.由勾股定理，得
$c^2 = AD^2 + BD^2$
$= AD^2 + (a - CD)^2$
$= AD^2 + a^2 - 2a· CD + CD^2$
$= a^2 + b^2 - 2a· CD$.
在$\mathrm{Rt}△ CAD$中，$CD = b·\cos C$.
$\therefore c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·\cos C$.
同理可得
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·\cos A$，
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·\cos B$.
（上述三条结论称为余弦定理）
试用以上定理解决如下问题：
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A$，$∠ B,∠ C$的对边。
①$∠ A = 30°,∠ B = 60°,b = 12$,求$a$.
②$∠ B = 60°,b = \sqrt{3},c = 1$,求$a$.
答案
（1）① 由正弦定理，得 $a = 4\sqrt{3}$。
② 由余弦定理，得 $a^2 - a - 2 = 0$，解得 $a = 2$。
② 由余弦定理，得 $a^2 - a - 2 = 0$，解得 $a = 2$。
解析
【分析】
第①小问已知两个内角和其中一个角的对边，求另一个角的对边，符合正弦定理的应用场景，直接套用题目给出的正弦定理公式代入数值计算即可。第②小问已知一个内角、该角的对边和另一条边，求第三条边，选择余弦定理代入数值，得到关于边长$a$的一元二次方程，求解后取正根即可。
【解析】
① 根据正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$b=12$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入公式：
$a=\frac{b·\sin A}{\sin B}=\frac{12×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$
② 根据余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac·\cos B$，将$∠ B=60°$，$b=\sqrt{3}$，$c=1$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入公式：
$(\sqrt{3})^2=a^2+1^2-2a×1×\frac{1}{2}$
化简得$3=a^2+1-a$，整理为一元二次方程：$a^2 - a - 2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，边长为正数，舍去负根，得$a=2$。
【答案】
① $a=4\sqrt{3}$；② $a=2$
【知识点】
正弦定理应用、余弦定理应用、一元二次方程求解
【点评】
本题为材料应用型题目，核心考查对给定新定理的理解和运用能力，只要根据已知条件匹配对应的定理代入计算，注意求解边长时舍去不符合实际的负根，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
第①小问已知两个内角和其中一个角的对边，求另一个角的对边，符合正弦定理的应用场景，直接套用题目给出的正弦定理公式代入数值计算即可。第②小问已知一个内角、该角的对边和另一条边，求第三条边，选择余弦定理代入数值，得到关于边长$a$的一元二次方程，求解后取正根即可。
【解析】
① 根据正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$b=12$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入公式：
$a=\frac{b·\sin A}{\sin B}=\frac{12×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$
② 根据余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac·\cos B$，将$∠ B=60°$，$b=\sqrt{3}$，$c=1$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入公式：
$(\sqrt{3})^2=a^2+1^2-2a×1×\frac{1}{2}$
化简得$3=a^2+1-a$，整理为一元二次方程：$a^2 - a - 2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，边长为正数，舍去负根，得$a=2$。
【答案】
① $a=4\sqrt{3}$；② $a=2$
【知识点】
正弦定理应用、余弦定理应用、一元二次方程求解
【点评】
本题为材料应用型题目，核心考查对给定新定理的理解和运用能力，只要根据已知条件匹配对应的定理代入计算，注意求解边长时舍去不符合实际的负根，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
