（2）如图4-3-5，山坡上A处有一棵与水平面垂直的大树，一场大风把大树刮倾斜，又从点C处折断，树的顶部恰好接触到坡面AE上的点D处。
已知山坡的坡角$∠ AEF = 23°$，树干倾斜角$∠ BAC = 38°$，大树被折断部分和坡面所成的角$∠ ADC = 60°$，$AD = 4\ \mathrm{m}$.（结果精确到个位.参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$，$\sqrt{3} \approx 1.7$，$\sqrt{6} \approx 2.4$，$\sin75° \approx 0.97$，$\cos75° \approx 0.26$）
① 求$∠ CAD$的度数.

② 求这棵大树折断前的高度.
（3）① 小强欲测量公园内一棵树的高度，如图4-3-6所示，他在这棵树正前方台阶上的点B处测得树的顶端D的仰角为$30°$，朝着这棵树的方向走到台阶底部的点A处，测得树的顶端D的仰角为$60°$.已知台阶AB的坡度为$i = 1:\sqrt{3}$，$AB = 4\ \mathrm{m}$，求树CD的高度.

② 若将①中在点A处测得树的顶端D的“仰角为$60°$”改为“仰角为$52°$”，其他条件不变，求树CD的高度.（结果精确到个位.参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sin52° \approx 0.79$，$\cos52° \approx 0.62$，$\sin22° \approx 0.37$，$\cos22° \approx 0.93$）

3. （2）① 如图,延长 $BA$ 交 $EF$ 于点 $M$。
则 $∠ BAD = 180° - (90° - 23°) = 113°$。
$\therefore ∠ CAD = ∠ BAE - ∠ BAC = 75°$。
② 根据 ① 可得
$∠ ACD = 45°$，
由正弦定理，得
$\frac{AC}{\sin∠ ADC} = \frac{CD}{\sin∠ CAD} = \frac{AD}{\sin∠ ACD}$，
即 $\frac{AC}{\sin60°} = \frac{4}{\sin45°}$， $\therefore AC = 2\sqrt{6} \approx 4.8$。
$\frac{CD}{\sin75°} = \frac{4}{\sin45°}$， $\therefore CD \approx 5.4$。
$\therefore$ 这棵大树折断前的高度为
$AC + CD = 4.8 + 5.4 \approx 10(\mathrm{m})$。
（3）提示:① 由坡度 $i$ 可得 $\tan∠ BAE = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ BAE = 30°$。 $\therefore ∠ BAD = 90°$。
由 $BF // AE$ 可得 $∠ FBA = ∠ BAE = 30°$。
$\therefore ∠ ABD = 60°$。
$\therefore AD = AB · \tan60°$
$= 4×\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
在 $△ ACD$ 中,$∠ ACD = 90°$,$∠ CAD = 60°$，
$\therefore CD = AD · \sin60° = 4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6(\mathrm{m})$。
② 同 ① 求出 $∠ ABD = 60°$，$∠ ADB = 22°$。
由正弦定理得 $\frac{AB}{\sin∠ ADB} = \frac{AD}{\sin∠ ABD}$，
即 $AD = \frac{4 · \sin60°}{\sin22°} \approx 9.35(\mathrm{m})$。
$\therefore CD = AD · \sin52° = 9.35×0.79 \approx 7(\mathrm{m})$。

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：
1. （2）①求$∠ CAD$：利用大树与水平面垂直、坡面坡角的条件，延长$BA$交水平面$EF$于$M$，可得$AM⊥ EF$，先求出$∠ BAE$的度数，再结合已知的$∠ BAC$，通过角的和差关系即可求出$∠ CAD$。
②求大树折断前高度：大树总高度为$AC+CD$，先在$△ ACD$中利用三角形内角和求出$∠ ACD$，可通过作斜三角形的高转化为直角三角形，或用正弦定理求出$AC$、$CD$的长度，相加即可得到总高度。
2. （3）①求树高$CD$：先根据台阶$AB$的坡度求出坡角$∠ BAE=30°$，结合两个仰角的条件，推导得出$△ ABD$中$∠ BAD=90°$，先求出$AD$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中利用三角函数即可求出$CD$。
②改仰角后求$CD$：同理先得到$△ ABD$的各个内角度数，求出$AD$的长度后，再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中结合$∠ CAD=52°$的三角函数值求出$CD$即可。
【解析】
（2）① 延长 $BA$ 交 $EF$ 于点 $M$。
因为大树与水平面垂直，故 $AM ⊥ EF$，$∠ AME = 90°$，
$∠ BAE = 180° - ∠ AME - ∠ AEF = 180° - 90° - 23° = 113°$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ BAE - ∠ BAC = 113° - 38° = 75°$。
② 在$△ ACD$中，由三角形内角和得：
$∠ ACD = 180° - ∠ CAD - ∠ ADC = 180° - 75° - 60° = 45°$，
由正弦定理：$\frac{AC}{\sin∠ ADC} = \frac{CD}{\sin∠ CAD} = \frac{AD}{\sin∠ ACD}$，已知$AD=4\mathrm{m}$，
代入得$\frac{AC}{\sin60°} = \frac{4}{\sin45°}$，解得 $AC = \frac{4\sin60°}{\sin45°} = 2\sqrt{6} \approx 4.8\mathrm{m}$，
$\frac{CD}{\sin75°} = \frac{4}{\sin45°}$，解得 $CD = \frac{4\sin75°}{\sin45°} \approx 5.4\mathrm{m}$，
$\therefore$ 大树折断前高度为 $AC + CD \approx 4.8 + 5.4 \approx 10\mathrm{m}$。
（3）① 由台阶$AB$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，得$\tan∠ BAE = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ BAE = 30°$，
$\because BF // AE$，$\therefore ∠ FBA = ∠ BAE = 30°$，
又$\because ∠ DBF=30°$，$∠ DAC=60°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - 30° - 60° = 90°$，$∠ ABD = 30° + 30° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD = AB · \tan60° = 4×\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD=90°$，$∠ CAD=60°$，
$\therefore CD = AD · \sin60° = 4\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\mathrm{m}$。
② 当点A处仰角为$52°$时，同理可得$∠ ABD=60°$，
$∠ ADB = 180° - ∠ ABD - ∠ BAD = 180° - 60° - (180° - 30° - 52°) = 22°$，
在$△ ABD$中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin∠ ADB} = \frac{AD}{\sin∠ ABD}$，
$\therefore AD = \frac{4 · \sin60°}{\sin22°} \approx \frac{4×0.866}{0.37} \approx 9.35\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$CD = AD · \sin52° \approx 9.35×0.79 \approx 7\mathrm{m}$。
【答案】
（2）① $\boldsymbol{75°}$；② $\boldsymbol{10\mathrm{m}}$
（3）① $\boldsymbol{6\mathrm{m}}$；② $\boldsymbol{7\mathrm{m}}$

【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本组题目需要准确理解坡度、仰角、坡角等基础概念，结合几何图形的角的和差关系将实际问题转化为解三角形的数学问题，计算时要合理运用给出的参考数据，保证结果的精确度。
【难度系数】
0.6