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1. 下列运算正确的是(
A.$(-2ab)(-3ab)^2=-54a^4b^4$
B.$5x^2 · (3x^3)^2=15x^{12}$
C.$(-0.1b)(-10b^2)^3=-b^7$
D.$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=10^{2a}$
D
).A.$(-2ab)(-3ab)^2=-54a^4b^4$
B.$5x^2 · (3x^3)^2=15x^{12}$
C.$(-0.1b)(-10b^2)^3=-b^7$
D.$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=10^{2a}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查单项式乘法及幂的相关运算，解题思路为逐个验证选项：先对每个选项中带乘方的部分利用积的乘方法则展开，再按照单项式乘单项式的法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，最终选出正确选项。计算时要注意系数的符号、系数的运算以及同底数幂的指数运算规则。
【解析】
我们逐个计算各选项：
选项A：先计算乘方部分$(-3ab)^2=(-3)^2a^2b^2=9a^2b^2$，再计算乘法：$(-2ab)·9a^2b^2=(-2×9)·(a· a^2)·(b· b^2)=-18a^3b^3$，和选项中$-54a^4b^4$不符，故A错误。
选项B：先计算乘方部分$(3x^3)^2=3^2·(x^3)^2=9x^6$，再计算乘法：$5x^2·9x^6=(5×9)·(x^2· x^6)=45x^8$，和选项中$15x^{12}$不符，故B错误。
选项C：先计算乘方部分$(-10b^2)^3=(-10)^3·(b^2)^3=-1000b^6$，再计算乘法：$(-0.1b)·(-1000b^6)=[(-0.1)×(-1000)]·(b· b^6)=100b^7$，和选项中$-b^7$不符，故C错误。
选项D：按照单项式乘法法则计算：$(2×10^a)(\frac{1}{2}×10^a)=(2×\frac{1}{2})·(10^a×10^a)=1×10^{a+a}=10^{2a}$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的运算性质和单项式乘法法则的熟练运用，计算时要格外注意系数的符号、指数的运算规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘法及幂的相关运算，解题思路为逐个验证选项：先对每个选项中带乘方的部分利用积的乘方法则展开，再按照单项式乘单项式的法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，最终选出正确选项。计算时要注意系数的符号、系数的运算以及同底数幂的指数运算规则。
【解析】
我们逐个计算各选项：
选项A：先计算乘方部分$(-3ab)^2=(-3)^2a^2b^2=9a^2b^2$，再计算乘法：$(-2ab)·9a^2b^2=(-2×9)·(a· a^2)·(b· b^2)=-18a^3b^3$，和选项中$-54a^4b^4$不符，故A错误。
选项B：先计算乘方部分$(3x^3)^2=3^2·(x^3)^2=9x^6$，再计算乘法：$5x^2·9x^6=(5×9)·(x^2· x^6)=45x^8$，和选项中$15x^{12}$不符，故B错误。
选项C：先计算乘方部分$(-10b^2)^3=(-10)^3·(b^2)^3=-1000b^6$，再计算乘法：$(-0.1b)·(-1000b^6)=[(-0.1)×(-1000)]·(b· b^6)=100b^7$，和选项中$-b^7$不符，故C错误。
选项D：按照单项式乘法法则计算：$(2×10^a)(\frac{1}{2}×10^a)=(2×\frac{1}{2})·(10^a×10^a)=1×10^{a+a}=10^{2a}$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的运算性质和单项式乘法法则的熟练运用，计算时要格外注意系数的符号、指数的运算规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2.若单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项，则这两个单项式的积是
$-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}$
。答案
2. $-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}$
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。第一步根据同类项的定义，分别让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，列等式求出a、b的值；第二步将a、b代入原式，得到两个完整的单项式；第三步按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，所得结果作为积的因式。
【解析】
∵ 单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}b-3=3\\a+4=4\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=6\\a=0\end{cases}$
∴ 两个单项式分别为$-5x^{3}y^{4}$和$\frac{4}{15}x^{3}y^{4}$
计算两者的积：
$\begin{aligned}&-5x^{3}y^{4} × \frac{4}{15}x^{3}y^{4}\\=&(-5 × \frac{4}{15}) × (x^{3} · x^{3}) × (y^{4} · y^{4})\\=&-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是先利用同类项的性质确定单项式的未知指数，再严格按照单项式乘法的运算规则计算即可，计算时要注意系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。第一步根据同类项的定义，分别让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，列等式求出a、b的值；第二步将a、b代入原式，得到两个完整的单项式；第三步按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，所得结果作为积的因式。
【解析】
∵ 单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}b-3=3\\a+4=4\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=6\\a=0\end{cases}$
∴ 两个单项式分别为$-5x^{3}y^{4}$和$\frac{4}{15}x^{3}y^{4}$
计算两者的积：
$\begin{aligned}&-5x^{3}y^{4} × \frac{4}{15}x^{3}y^{4}\\=&(-5 × \frac{4}{15}) × (x^{3} · x^{3}) × (y^{4} · y^{4})\\=&-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{4}{3}x^{6}y^{8}$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是先利用同类项的性质确定单项式的未知指数，再严格按照单项式乘法的运算规则计算即可，计算时要注意系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$；
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$；
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$；
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$。
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$；
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$；
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$；
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$。
答案
3. 解：
(1)$(3x^{2}y)^{3}(-4xy^{2})$
$=27x^{6}y^{3} · (-4xy^{2})$
$=[27 × (-4)](x^{6} · x)(y^{3} · y^{2})$
$=-108x^{7}y^{5}.$
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}(-x^{2}y)^{3}$
$=x^{4}y^{8}z^{12} · (-x^{6}y^{3})$
$=-(x^{4} · x^{6})(y^{8} · y^{3}) · z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}.$
(3)$6ab^{n} · (-5a^{n+1}b^{2})$
$=[6 × (-5)](a · a^{n+1})(b^{n} · b^{2})$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}.$
(4)$(-3ab)(-a^{2}c)^{2} · 6ab(c^{2})^{3}$
$=(-3ab) · a^{4}c^{2} · 6abc^{6}$
$=[(-3) × 6](a · a^{4} · a)(b · b)(c^{2} · c^{6})$
$=-18a^{6}b^{2}c^{8}.$
(1)$(3x^{2}y)^{3}(-4xy^{2})$
$=27x^{6}y^{3} · (-4xy^{2})$
$=[27 × (-4)](x^{6} · x)(y^{3} · y^{2})$
$=-108x^{7}y^{5}.$
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}(-x^{2}y)^{3}$
$=x^{4}y^{8}z^{12} · (-x^{6}y^{3})$
$=-(x^{4} · x^{6})(y^{8} · y^{3}) · z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}.$
(3)$6ab^{n} · (-5a^{n+1}b^{2})$
$=[6 × (-5)](a · a^{n+1})(b^{n} · b^{2})$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}.$
(4)$(-3ab)(-a^{2}c)^{2} · 6ab(c^{2})^{3}$
$=(-3ab) · a^{4}c^{2} · 6abc^{6}$
$=[(-3) × 6](a · a^{4} · a)(b · b)(c^{2} · c^{6})$
$=-18a^{6}b^{2}c^{8}.$
解析
【分析】
解决这类整式乘法运算题，需按照“先算乘方，再算乘法”的顺序逐步计算：①先处理乘方运算：运用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，把带乘方的单项式展开，注意符号的正负判断；②再进行单项式乘单项式运算：先把各单项式的系数相乘确定积的系数，再把相同字母的幂按照同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式，不要漏写。
【解析】
(1)$(3x^{2}y)^{3}(-4xy^{2})$
$=27x^{6}y^{3} · (-4xy^{2})$
$=[27 × (-4)](x^{6} · x)(y^{3} · y^{2})$
$=-108x^{7}y^{5}.$
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}(-x^{2}y)^{3}$
$=x^{4}y^{8}z^{12} · (-x^{6}y^{3})$
$=-(x^{4} · x^{6})(y^{8} · y^{3}) · z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}.$
(3)$6ab^{n} · (-5a^{n+1}b^{2})$
$=[6 × (-5)](a · a^{n+1})(b^{n} · b^{2})$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}.$
(4)$(-3ab)(-a^{2}c)^{2} · 6ab(c^{2})^{3}$
$=(-3ab) · a^{4}c^{2} · 6abc^{6}$
$=[(-3) × 6](a · a^{4} · a)(b · b)(c^{2} · c^{6})$
$=-18a^{6}b^{2}c^{8}.$
【答案】
(1)$-108x^{7}y^{5}$；(2)$-x^{10}y^{11}z^{12}$；(3)$-30a^{n+2}b^{n+2}$；(4)$-18a^{6}b^{2}c^{8}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查幂的运算法则和单项式乘法的运算步骤，解题时需注意运算顺序和符号判断，熟练掌握各运算法则是避免出错的关键，通过练习可有效提升整式运算的准确率和熟练度。
【难度系数】
0.8
解决这类整式乘法运算题，需按照“先算乘方，再算乘法”的顺序逐步计算：①先处理乘方运算：运用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，把带乘方的单项式展开，注意符号的正负判断；②再进行单项式乘单项式运算：先把各单项式的系数相乘确定积的系数，再把相同字母的幂按照同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式，不要漏写。
【解析】
(1)$(3x^{2}y)^{3}(-4xy^{2})$
$=27x^{6}y^{3} · (-4xy^{2})$
$=[27 × (-4)](x^{6} · x)(y^{3} · y^{2})$
$=-108x^{7}y^{5}.$
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}(-x^{2}y)^{3}$
$=x^{4}y^{8}z^{12} · (-x^{6}y^{3})$
$=-(x^{4} · x^{6})(y^{8} · y^{3}) · z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}.$
(3)$6ab^{n} · (-5a^{n+1}b^{2})$
$=[6 × (-5)](a · a^{n+1})(b^{n} · b^{2})$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}.$
(4)$(-3ab)(-a^{2}c)^{2} · 6ab(c^{2})^{3}$
$=(-3ab) · a^{4}c^{2} · 6abc^{6}$
$=[(-3) × 6](a · a^{4} · a)(b · b)(c^{2} · c^{6})$
$=-18a^{6}b^{2}c^{8}.$
【答案】
(1)$-108x^{7}y^{5}$；(2)$-x^{10}y^{11}z^{12}$；(3)$-30a^{n+2}b^{n+2}$；(4)$-18a^{6}b^{2}c^{8}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查幂的运算法则和单项式乘法的运算步骤，解题时需注意运算顺序和符号判断，熟练掌握各运算法则是避免出错的关键，通过练习可有效提升整式运算的准确率和熟练度。
【难度系数】
0.8
4. 先化简，再求值：$\frac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \frac{1}{4}x^5$，其中$x=4,y=\frac{1}{8}.$
答案
4. 解：$\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14(xy)^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14x^{2}y^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=(\dfrac{1}{7} × 14 × \dfrac{1}{4})(x · x^{2} · x^{5})(y^{2} · y^{2})$
$=\dfrac{1}{2}x^{8}y^{4}.$
当$x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2} × 4^{8} × (\dfrac{1}{8})^{4}=8.$
$=\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14x^{2}y^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=(\dfrac{1}{7} × 14 × \dfrac{1}{4})(x · x^{2} · x^{5})(y^{2} · y^{2})$
$=\dfrac{1}{2}x^{8}y^{4}.$
当$x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2} × 4^{8} × (\dfrac{1}{8})^{4}=8.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先根据积的乘方法则将$(xy)^2$展开，再按照单项式乘单项式的运算法则，把系数相乘作为结果的系数，相同字母的幂分别按照同底数幂的乘法法则计算，合并得到最简整式；第二步代入$x$、$y$的数值计算，计算时可灵活转化底数简化幂的运算，避免计算大数出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14(xy)^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14x^{2}y^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=(\dfrac{1}{7} × 14 × \dfrac{1}{4})(x · x^{2} · x^{5})(y^{2} · y^{2})$
$=\dfrac{1}{2}x^{8}y^{4}$
当$x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2} × 4^{8} × (\dfrac{1}{8})^{4}$
$=\dfrac{1}{2}×(2^2)^8×(2^{-3})^4$
$=\dfrac{1}{2}×2^{16}×2^{-12}$
$=\dfrac{1}{2}×2^4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算基础题，核心考查单项式乘法规则和幂的相关运算法则，先化简再代入求值的思路能大幅降低计算量，运算中统一幂的底数的技巧可以有效提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先根据积的乘方法则将$(xy)^2$展开，再按照单项式乘单项式的运算法则，把系数相乘作为结果的系数，相同字母的幂分别按照同底数幂的乘法法则计算，合并得到最简整式；第二步代入$x$、$y$的数值计算，计算时可灵活转化底数简化幂的运算，避免计算大数出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14(xy)^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=\dfrac{1}{7}xy^{2} · 14x^{2}y^{2} · \dfrac{1}{4}x^{5}$
$=(\dfrac{1}{7} × 14 × \dfrac{1}{4})(x · x^{2} · x^{5})(y^{2} · y^{2})$
$=\dfrac{1}{2}x^{8}y^{4}$
当$x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2} × 4^{8} × (\dfrac{1}{8})^{4}$
$=\dfrac{1}{2}×(2^2)^8×(2^{-3})^4$
$=\dfrac{1}{2}×2^{16}×2^{-12}$
$=\dfrac{1}{2}×2^4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算基础题，核心考查单项式乘法规则和幂的相关运算法则，先化简再代入求值的思路能大幅降低计算量，运算中统一幂的底数的技巧可以有效提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
5.某成年女子体内的血量约为$4× 10^{3}$毫升，每毫升血中红细胞的数量约为$4.2× 10^{9}$个，则该成年女子体内的红细胞大约为多少个？
答案
5. 解：$4 × 10^{3} × 4.2 × 10^{9}$
$=16.8 × 10^{12}$
$=1.68 × 10^{13}$(个).
答:该成年女子体内的红细胞大约为$1.68 × 10^{13}$个。
$=16.8 × 10^{12}$
$=1.68 × 10^{13}$(个).
答:该成年女子体内的红细胞大约为$1.68 × 10^{13}$个。
解析
【分析】
要计算该成年女子体内的红细胞总数，需用体内总血量乘以每毫升血液中的红细胞数量，属于单项式乘单项式的实际应用问题。解题时先根据题意列出乘法算式，再按照单项式乘单项式的运算法则计算：系数相乘作为结果的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后把结果整理为科学记数法的标准形式（即$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
解：根据红细胞总数=总血量×每毫升红细胞数量，列式得：
$4 × 10^{3} × 4.2 × 10^{9}$
将系数和同底数幂分别结合计算：
$=(4×4.2)×(10^{3}×10^{9})$
$=16.8 × 10^{12}$
转化为科学记数法的标准形式：
$=1.68 × 10^{13}$(个)
答：该成年女子体内的红细胞大约为$1.68 × 10^{13}$个。
【答案】
$1.68 × 10^{13}$个
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题是整式乘法在实际场景中的基础应用题，解题关键是先找准数量关系正确列式，再按运算法则逐步计算，需要注意最终结果要符合科学记数法的规范，避免出现系数大于等于10的错误。
【难度系数】
0.8
要计算该成年女子体内的红细胞总数，需用体内总血量乘以每毫升血液中的红细胞数量，属于单项式乘单项式的实际应用问题。解题时先根据题意列出乘法算式，再按照单项式乘单项式的运算法则计算：系数相乘作为结果的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后把结果整理为科学记数法的标准形式（即$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
解：根据红细胞总数=总血量×每毫升红细胞数量，列式得：
$4 × 10^{3} × 4.2 × 10^{9}$
将系数和同底数幂分别结合计算：
$=(4×4.2)×(10^{3}×10^{9})$
$=16.8 × 10^{12}$
转化为科学记数法的标准形式：
$=1.68 × 10^{13}$(个)
答：该成年女子体内的红细胞大约为$1.68 × 10^{13}$个。
【答案】
$1.68 × 10^{13}$个
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题是整式乘法在实际场景中的基础应用题，解题关键是先找准数量关系正确列式，再按运算法则逐步计算，需要注意最终结果要符合科学记数法的规范，避免出现系数大于等于10的错误。
【难度系数】
0.8
