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一、选择题
1. 如图
，坡角为$30°$的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为(
A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
1. 如图
，坡角为$30°$的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为(C
)A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
答案
1. C
解析
【分析】
首先将实际的斜坡问题转化为直角三角形模型：题目中的△ABC为直角三角形，∠C=90°，坡角∠BAC=30°，已知水平邻边AC=2m，要求坡面距离即斜边AB的长度。接下来根据已知条件选择对应的三角函数：已知锐角和它的邻边，求斜边，符合余弦函数的定义（余弦值=邻边/斜边），通过公式变形代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，AC=2m。
在Rt△ABC中，根据余弦函数的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
变形可得：$AB=\frac{AC}{\cos A}$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=2m：
$AB=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用、余弦函数的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题目，结合生活场景考察相关知识，只要掌握坡角的含义和锐角三角函数的基本定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先将实际的斜坡问题转化为直角三角形模型：题目中的△ABC为直角三角形，∠C=90°，坡角∠BAC=30°，已知水平邻边AC=2m，要求坡面距离即斜边AB的长度。接下来根据已知条件选择对应的三角函数：已知锐角和它的邻边，求斜边，符合余弦函数的定义（余弦值=邻边/斜边），通过公式变形代入特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，AC=2m。
在Rt△ABC中，根据余弦函数的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
变形可得：$AB=\frac{AC}{\cos A}$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=2m：
$AB=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用、余弦函数的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题目，结合生活场景考察相关知识，只要掌握坡角的含义和锐角三角函数的基本定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图2,一辆汽车沿着坡角为$30°$的斜坡向下行驶50米,则它距离地面的垂直高度下降了(
A.25米
B.50米
C.$25\sqrt{3}$米
D.$\dfrac{25}{3}\sqrt{3}$米
A
)A.25米
B.50米
C.$25\sqrt{3}$米
D.$\dfrac{25}{3}\sqrt{3}$米
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查解直角三角形在斜坡问题中的应用，解题思路如下：首先明确坡角的定义：坡角是斜坡与水平面的夹角，汽车沿斜坡行驶的路程为直角三角形的斜边，要求的垂直下降高度是30°坡角所对的直角边；接下来可利用特殊直角三角形的性质，或正弦三角函数的定义计算对应边长即可。
【解析】
设垂直高度下降了$ h $米，由题意可知，汽车行驶的50米为直角三角形的斜边，坡角$ 30° $所对的直角边为下降的垂直高度$ h $。
根据正弦函数的定义$ \sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} $，代入$ α=30° $，斜边=50米：
$ \sin30°=\frac{h}{50} $
已知$ \sin30°=\frac{1}{2} $，因此$ h=50 × \frac{1}{2}=25 $（米）
（也可直接用直角三角形性质：30°锐角所对直角边等于斜边的一半，直接算出$ h=50÷2=25 $米）
【答案】
A
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是准确理解坡角的含义，找准直角三角形中对应的边、角关系，结合特殊角的三角函数值即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查解直角三角形在斜坡问题中的应用，解题思路如下：首先明确坡角的定义：坡角是斜坡与水平面的夹角，汽车沿斜坡行驶的路程为直角三角形的斜边，要求的垂直下降高度是30°坡角所对的直角边；接下来可利用特殊直角三角形的性质，或正弦三角函数的定义计算对应边长即可。
【解析】
设垂直高度下降了$ h $米，由题意可知，汽车行驶的50米为直角三角形的斜边，坡角$ 30° $所对的直角边为下降的垂直高度$ h $。
根据正弦函数的定义$ \sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} $，代入$ α=30° $，斜边=50米：
$ \sin30°=\frac{h}{50} $
已知$ \sin30°=\frac{1}{2} $，因此$ h=50 × \frac{1}{2}=25 $（米）
（也可直接用直角三角形性质：30°锐角所对直角边等于斜边的一半，直接算出$ h=50÷2=25 $米）
【答案】
A
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是准确理解坡角的含义，找准直角三角形中对应的边、角关系，结合特殊角的三角函数值即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
3. 如图3，修建抽水站时，沿着倾斜角为α的斜坡铺设管道.若量得水管AB的长度为30米，那么点B离水平面的高度BC的长为(
A.$30\cosα$
B.$30\tanα$
C.$30\sinα$
D.$\dfrac{30}{\sinα}$
C
)米(结果用含α的三角函数表示)A.$30\cosα$
B.$30\tanα$
C.$30\sinα$
D.$\dfrac{30}{\sinα}$
答案
3. C
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，倾斜角α即为∠A，已知斜边AB的长度为30米，要求的BC是∠α的对边。根据锐角三角函数中正弦的定义，正弦值等于角的对边与斜边的比值，因此可以通过正弦函数建立BC和AB的关系，进而求出BC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=30米。
根据锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形可得$BC=AB·\sinα=30\sinα$（米），因此选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦函数定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心考查对锐角三角函数定义的掌握，只要能准确识别直角三角形中角对应的对边、斜边，即可快速得出结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，倾斜角α即为∠A，已知斜边AB的长度为30米，要求的BC是∠α的对边。根据锐角三角函数中正弦的定义，正弦值等于角的对边与斜边的比值，因此可以通过正弦函数建立BC和AB的关系，进而求出BC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=30米。
根据锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形可得$BC=AB·\sinα=30\sinα$（米），因此选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦函数定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心考查对锐角三角函数定义的掌握，只要能准确识别直角三角形中角对应的对边、斜边，即可快速得出结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图4,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6 m,坝高24 m,斜坡AB的坡角为$45°$,斜坡CD的坡度$i=1:2$,则坝底AD的长为(
A.42 m
B.$(30+24\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.78 m
D.$(30+8\sqrt{3})\mathrm{m}$
C
)A.42 m
B.$(30+24\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.78 m
D.$(30+8\sqrt{3})\mathrm{m}$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过作辅助线将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解：首先过坝顶的两个端点向坝底作垂线，把坝底AD拆分为三段：左侧直角三角形的水平边、中间等于坝顶宽的矩形边、右侧直角三角形的水平边；再利用坡角的性质计算左侧水平边长度，利用坡度的定义计算右侧水平边长度，最后将三段长度相加即可得到AD的总长。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ AD$于点E，过点C作$CF⊥ AD$于点F，
则四边形BEFC为矩形，因此$EF=BC=6\mathrm{m}$，$BE=CF=24\mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=45°$，$∠ AEB=90°$，
$△ ABE$为等腰直角三角形，因此$AE=BE=24\mathrm{m}$。
2. 斜坡CD的坡度$i=1:2$，根据坡度（垂直高度与水平宽度的比）的定义，可得$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2}$，
代入$CF=24\mathrm{m}$，解得$FD=2×24=48\mathrm{m}$。
3. 坝底AD的长度为：$AD=AE+EF+FD=24+6+48=78\mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
坡度坡角问题；解直角三角形的应用；梯形辅助线构造
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的典型应用，解题核心是通过作高将梯形转化为矩形和直角三角形，再结合坡角、坡度的相关性质计算对应线段长度，熟练掌握相关概念和辅助线构造方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过作辅助线将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解：首先过坝顶的两个端点向坝底作垂线，把坝底AD拆分为三段：左侧直角三角形的水平边、中间等于坝顶宽的矩形边、右侧直角三角形的水平边；再利用坡角的性质计算左侧水平边长度，利用坡度的定义计算右侧水平边长度，最后将三段长度相加即可得到AD的总长。
【解析】
解：过点B作$BE⊥ AD$于点E，过点C作$CF⊥ AD$于点F，
则四边形BEFC为矩形，因此$EF=BC=6\mathrm{m}$，$BE=CF=24\mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=45°$，$∠ AEB=90°$，
$△ ABE$为等腰直角三角形，因此$AE=BE=24\mathrm{m}$。
2. 斜坡CD的坡度$i=1:2$，根据坡度（垂直高度与水平宽度的比）的定义，可得$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2}$，
代入$CF=24\mathrm{m}$，解得$FD=2×24=48\mathrm{m}$。
3. 坝底AD的长度为：$AD=AE+EF+FD=24+6+48=78\mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
坡度坡角问题；解直角三角形的应用；梯形辅助线构造
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的典型应用，解题核心是通过作高将梯形转化为矩形和直角三角形，再结合坡角、坡度的相关性质计算对应线段长度，熟练掌握相关概念和辅助线构造方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 有一个斜坡的坡度$i=\sqrt{3}:1$，则坡角$α=$
1. 有一个斜坡的坡度$i=\sqrt{3}:1$，则坡角$α=$
$60°$
.答案
1. $60°$
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度与坡角的关系：坡度i是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，即$i=\tanα$。已知坡度的具体比值，我们可以先求出$\tanα$的值，再结合特殊角的三角函数值，就能求出对应的坡角$α$的度数。
【解析】
根据坡度的定义可知，坡度$i$与坡角$α$的关系为：$i=\tanα$。
已知$i=\sqrt{3}:1$，代入得：
$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$
又因为坡角$α$的取值范围是$0°＜α＜90°$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
坡度的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础类填空题，核心考查坡度和坡角的对应关系，只要熟练掌握坡度的计算公式以及常见特殊角的三角函数值，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确坡度与坡角的关系：坡度i是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，即$i=\tanα$。已知坡度的具体比值，我们可以先求出$\tanα$的值，再结合特殊角的三角函数值，就能求出对应的坡角$α$的度数。
【解析】
根据坡度的定义可知，坡度$i$与坡角$α$的关系为：$i=\tanα$。
已知$i=\sqrt{3}:1$，代入得：
$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$
又因为坡角$α$的取值范围是$0°＜α＜90°$，且$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
坡度的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础类填空题，核心考查坡度和坡角的对应关系，只要熟练掌握坡度的计算公式以及常见特殊角的三角函数值，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图5是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度i=1：
2.4
。答案
2. 2.4
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的铅垂高度与水平宽度的比值，即i=h:l。题目中已经给出了坡面的长度PM=13米和铅垂上升高度h=5米，我们可以先利用勾股定理求出斜坡对应的水平宽度l，再代入坡度的公式，将比值整理为1：x的形式，即可得到所求结果。
【解析】
解：根据题意，坡面PM的长度为13米，铅垂方向上升的高度h=5米。
由勾股定理可得，水平方向移动的距离：
$l=\sqrt{PM^2 - h^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$（米）
根据坡度的定义，坡度$i=h:l=5:12$，将前项化为1，可得$5:12=1:\frac{12}{5}=1:2.4$。
【答案】
2.4
【知识点】
坡度的定义，勾股定理
【点评】
本题属于坡度类基础应用题，核心是牢记坡度的定义，不要颠倒铅垂高度和水平宽度的顺序，结合勾股定理计算即可求解，主要考察基础概念的掌握和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的铅垂高度与水平宽度的比值，即i=h:l。题目中已经给出了坡面的长度PM=13米和铅垂上升高度h=5米，我们可以先利用勾股定理求出斜坡对应的水平宽度l，再代入坡度的公式，将比值整理为1：x的形式，即可得到所求结果。
【解析】
解：根据题意，坡面PM的长度为13米，铅垂方向上升的高度h=5米。
由勾股定理可得，水平方向移动的距离：
$l=\sqrt{PM^2 - h^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$（米）
根据坡度的定义，坡度$i=h:l=5:12$，将前项化为1，可得$5:12=1:\frac{12}{5}=1:2.4$。
【答案】
2.4
【知识点】
坡度的定义，勾股定理
【点评】
本题属于坡度类基础应用题，核心是牢记坡度的定义，不要颠倒铅垂高度和水平宽度的顺序，结合勾股定理计算即可求解，主要考察基础概念的掌握和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图6,在坡角为$30°$的楼梯表面铺一层地毯,地毯的长度至少需
$(2+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
(计算结果保留根号).答案
3. $(2+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
要解决楼梯铺地毯的长度问题，首先可以利用平移的思想：把所有水平台阶向下平移，可得所有水平台阶的长度和等于坡面所在直角三角形的水平直角边长度；把所有竖直台阶向右平移，可得所有竖直台阶的高度和等于直角三角形的竖直直角边长度，也就是已知的2m。接下来只需要根据坡角30°，结合解直角三角形的知识求出水平直角边的长度，最后将水平长度和竖直高度相加，就能得到地毯的最小长度。
【解析】
解：由平移的性质可知，地毯的总长度 = 楼梯的水平总长度 + 楼梯的竖直总高度。
已知楼梯竖直总高度为2m，坡角为30°，设楼梯水平总长度为$x$ m。
在坡角为30°的直角三角形中，$\tan30°=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{水平长度}}$，即$\tan30°=\frac{2}{x}$。
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{x}$，解得$x=2÷\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ m。
∴地毯的总长度至少为$2 + 2\sqrt{3}$ m。
【答案】
$(2+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【知识点】
平移的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用
【点评】
本题将平移性质与解直角三角形相结合考查实际应用问题，解题的核心是通过平移将不规则的地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，降低了解题难度，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要解决楼梯铺地毯的长度问题，首先可以利用平移的思想：把所有水平台阶向下平移，可得所有水平台阶的长度和等于坡面所在直角三角形的水平直角边长度；把所有竖直台阶向右平移，可得所有竖直台阶的高度和等于直角三角形的竖直直角边长度，也就是已知的2m。接下来只需要根据坡角30°，结合解直角三角形的知识求出水平直角边的长度，最后将水平长度和竖直高度相加，就能得到地毯的最小长度。
【解析】
解：由平移的性质可知，地毯的总长度 = 楼梯的水平总长度 + 楼梯的竖直总高度。
已知楼梯竖直总高度为2m，坡角为30°，设楼梯水平总长度为$x$ m。
在坡角为30°的直角三角形中，$\tan30°=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{水平长度}}$，即$\tan30°=\frac{2}{x}$。
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{x}$，解得$x=2÷\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ m。
∴地毯的总长度至少为$2 + 2\sqrt{3}$ m。
【答案】
$(2+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【知识点】
平移的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用
【点评】
本题将平移性质与解直角三角形相结合考查实际应用问题，解题的核心是通过平移将不规则的地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，降低了解题难度，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图7，梯形ABCD是拦水坝的横断面，∠B=60°，AB=6，$DC=6\sqrt{3}$，拦水坝斜坡的坡角∠C=
$30°$
。答案
4. $30°$
解析
【分析】
要求梯形中坡角∠C的度数，需将已知条件转化到直角三角形中求解。首先过梯形上底的两个端点作下底的垂线，可将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，利用矩形的性质得到两条高相等；先在含已知角∠B的Rt△ABE中求出高的长度，再在Rt△DFC中利用三角函数的定义计算∠C的三角函数值，最后结合特殊角的三角函数值得到∠C的度数。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF。
在Rt△ABE中，∠B=60°，AB=6，
∴AE = AB·sin60° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $3\sqrt{3}$，
∴DF = AE = $3\sqrt{3}$。
在Rt△DFC中，DC=$6\sqrt{3}$，DF=$3\sqrt{3}$，
∴$\sin C=\frac{DF}{DC}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠C为锐角（坡角为锐角），
∴∠C=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
解直角三角形，梯形辅助线构造，特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在梯形问题中的常规应用，核心是通过作高的辅助线作法，将梯形转化为直角三角形和矩形，把分散的已知条件集中到直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解角度，熟练掌握梯形常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求梯形中坡角∠C的度数，需将已知条件转化到直角三角形中求解。首先过梯形上底的两个端点作下底的垂线，可将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，利用矩形的性质得到两条高相等；先在含已知角∠B的Rt△ABE中求出高的长度，再在Rt△DFC中利用三角函数的定义计算∠C的三角函数值，最后结合特殊角的三角函数值得到∠C的度数。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF。
在Rt△ABE中，∠B=60°，AB=6，
∴AE = AB·sin60° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $3\sqrt{3}$，
∴DF = AE = $3\sqrt{3}$。
在Rt△DFC中，DC=$6\sqrt{3}$，DF=$3\sqrt{3}$，
∴$\sin C=\frac{DF}{DC}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
又
∵∠C为锐角（坡角为锐角），
∴∠C=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
解直角三角形，梯形辅助线构造，特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在梯形问题中的常规应用，核心是通过作高的辅助线作法，将梯形转化为直角三角形和矩形，把分散的已知条件集中到直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解角度，熟练掌握梯形常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
