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一、选择题
1. 一个长方形铁片,长24 cm,宽18 cm,在四角各截去一个相同的正方形,而后折起来做一个没盖的盒子,使底面积是原来长方形面积的一半,求盒子的高是多少? 若设盒子的高是x cm,则可列方程为(
A.$(24-x)(18-x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
B.$(24-x)(18-x)=24×18$
C.$(24-2x)(18-2x)=2×24×18$
D.$(24-2x)(18-2x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
1. 一个长方形铁片,长24 cm,宽18 cm,在四角各截去一个相同的正方形,而后折起来做一个没盖的盒子,使底面积是原来长方形面积的一半,求盒子的高是多少? 若设盒子的高是x cm,则可列方程为(
D
)A.$(24-x)(18-x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
B.$(24-x)(18-x)=24×18$
C.$(24-2x)(18-2x)=2×24×18$
D.$(24-2x)(18-2x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先明确：盒子的高就是四角截去的小正方形的边长。接下来思考折成无盖盒子后底面的长和宽：因为长方形的长、宽方向的两端各截去1个边长为x的正方形，所以底面的长应为原长减去2个x，即(24-2x)cm，底面的宽应为原宽减去2个x，即(18-2x)cm。再根据题目的等量关系“底面积=原长方形面积的一半”列方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设盒子的高为x cm，则截去的小正方形边长为x cm。
折成无盖盒子后，底面的长为$(24-2x)$ cm，底面的宽为$(18-2x)$ cm。
原长方形铁片的面积为$24×18$ $\mathrm{cm^2}$，由题意知底面积是原面积的一半，因此可列方程：
$(24-2x)(18-2x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的几何应用
2. 长方形面积计算
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的易错点是容易误将底面的长、宽写为$(24-x)$、$(18-x)$，忽略了长和宽方向都需要减去两个正方形的边长，找准等量关系、正确表示底面边长是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：盒子的高就是四角截去的小正方形的边长。接下来思考折成无盖盒子后底面的长和宽：因为长方形的长、宽方向的两端各截去1个边长为x的正方形，所以底面的长应为原长减去2个x，即(24-2x)cm，底面的宽应为原宽减去2个x，即(18-2x)cm。再根据题目的等量关系“底面积=原长方形面积的一半”列方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设盒子的高为x cm，则截去的小正方形边长为x cm。
折成无盖盒子后，底面的长为$(24-2x)$ cm，底面的宽为$(18-2x)$ cm。
原长方形铁片的面积为$24×18$ $\mathrm{cm^2}$，由题意知底面积是原面积的一半，因此可列方程：
$(24-2x)(18-2x)=\dfrac{1}{2}×24×18$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的几何应用
2. 长方形面积计算
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的易错点是容易误将底面的长、宽写为$(24-x)$、$(18-x)$，忽略了长和宽方向都需要减去两个正方形的边长，找准等量关系、正确表示底面边长是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 在一幅长60 cm,宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的纸边,制成一幅矩形挂图,若设纸边的宽为x cm,如果要使整幅挂图的面积是2816 cm²,则可列方程为(
A.$(60+2x)(40+2x)=2816$
B.$(60+x)(40+x)=2816$
C.$(60+2x)(40+x)=2816$
D.$(60+x)(40+2x)=2816$
A
)A.$(60+2x)(40+2x)=2816$
B.$(60+x)(40+x)=2816$
C.$(60+2x)(40+x)=2816$
D.$(60+x)(40+2x)=2816$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确“四周镶等宽纸边”的含义，即风景画的上下、左右两侧都有宽度为x cm的纸边，因此挂图的长和宽都要在原风景画的基础上加上两倍的纸边宽度；再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的总面积即可列出方程。
【解析】
已知纸边的宽为x cm，风景画长60 cm、宽40 cm：
1. 计算挂图的长：左右两侧各有x cm的纸边，因此挂图长为$(60+2x)$cm；
2. 计算挂图的宽：上下两侧各有x cm的纸边，因此挂图宽为$(40+2x)$cm；
3. 根据矩形面积公式，整幅挂图面积为长×宽，已知总面积为2816 cm²，因此可列方程：$(60+2x)(40+2x)=2816$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，易错点是忽略纸边在长、宽方向各有两条，误将长或宽只加一倍的x，解题时可结合画图辅助理解镶边后长宽的变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确“四周镶等宽纸边”的含义，即风景画的上下、左右两侧都有宽度为x cm的纸边，因此挂图的长和宽都要在原风景画的基础上加上两倍的纸边宽度；再结合矩形面积=长×宽的公式，代入已知的总面积即可列出方程。
【解析】
已知纸边的宽为x cm，风景画长60 cm、宽40 cm：
1. 计算挂图的长：左右两侧各有x cm的纸边，因此挂图长为$(60+2x)$cm；
2. 计算挂图的宽：上下两侧各有x cm的纸边，因此挂图宽为$(40+2x)$cm；
3. 根据矩形面积公式，整幅挂图面积为长×宽，已知总面积为2816 cm²，因此可列方程：$(60+2x)(40+2x)=2816$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，易错点是忽略纸边在长、宽方向各有两条，误将长或宽只加一倍的x，解题时可结合画图辅助理解镶边后长宽的变化。
【难度系数】
0.8
3. 如图1，在长为54 m，宽为38 m的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪. 要使草坪的面积为1 800 m²，设道路的宽为x m，则可列方程为(
A.$54x+38x-x^2=1800$
B.$(54-x)(38-x)=1800$
C.$54×38-54x-38x-x^2=1800$
D.$(54-x)(38-x)÷ x^2=1800$
B
)A.$54x+38x-x^2=1800$
B.$(54-x)(38-x)=1800$
C.$54×38-54x-38x-x^2=1800$
D.$(54-x)(38-x)÷ x^2=1800$
答案
3. B
解析
【分析】
这是典型的不规则图形面积结合方程的应用题，解题时可采用平移法简化计算：由于道路宽度一致，我们可以将曲折的道路分别平移到矩形草地的边缘，此时余下的草坪会拼接成一个规则的矩形，只需计算新矩形的长、宽，结合给出的草坪面积即可列出方程。这种方法可以避免直接计算道路面积时重复扣除重叠部分的错误。
【解析】
将图中的道路分别向矩形的左侧和上侧平移，平移后余下的草坪为一个新的矩形：
新矩形的长 = 原矩形长 - 道路宽 = $(54 - x)\ \mathrm{m}$
新矩形的宽 = 原矩形宽 - 道路宽 = $(38 - x)\ \mathrm{m}$
已知草坪面积为$1800\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(54 - x)(38 - x) = 1800$
逐一分析其余选项：
A选项左侧是道路的面积，不等于草坪面积，错误；
C选项计算总面积减道路面积时，错误地多减了道路重叠部分的面积$x^2$，应为$54×38 - 54x - 38x + x^2 = 1800$，与正确式子不符，错误；
D选项出现无意义的除法运算，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；图形平移的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，平移法是解决这类等宽道路面积问题的常用技巧，能快速将不规则图形转化为规则图形，简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是典型的不规则图形面积结合方程的应用题，解题时可采用平移法简化计算：由于道路宽度一致，我们可以将曲折的道路分别平移到矩形草地的边缘，此时余下的草坪会拼接成一个规则的矩形，只需计算新矩形的长、宽，结合给出的草坪面积即可列出方程。这种方法可以避免直接计算道路面积时重复扣除重叠部分的错误。
【解析】
将图中的道路分别向矩形的左侧和上侧平移，平移后余下的草坪为一个新的矩形：
新矩形的长 = 原矩形长 - 道路宽 = $(54 - x)\ \mathrm{m}$
新矩形的宽 = 原矩形宽 - 道路宽 = $(38 - x)\ \mathrm{m}$
已知草坪面积为$1800\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(54 - x)(38 - x) = 1800$
逐一分析其余选项：
A选项左侧是道路的面积，不等于草坪面积，错误；
C选项计算总面积减道路面积时，错误地多减了道路重叠部分的面积$x^2$，应为$54×38 - 54x - 38x + x^2 = 1800$，与正确式子不符，错误；
D选项出现无意义的除法运算，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；图形平移的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，平移法是解决这类等宽道路面积问题的常用技巧，能快速将不规则图形转化为规则图形，简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图2，某单位在直角墙角处，用60 m长的建筑材料围成一个矩形场地，中间用同样的材料分隔为两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450 m². 设AB的长为x m，则可列方程为
.
1. 如图2，某单位在直角墙角处，用60 m长的建筑材料围成一个矩形场地，中间用同样的材料分隔为两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450 m². 设AB的长为x m，则可列方程为
x(60-2x)=450
.
答案
1. x(60-2x)=450
解析
【分析】
这是一道列一元二次方程解决实际问题的题目，思考步骤如下：首先题目已经设AB的长为x m，接下来需要推导矩形另一条边的长度表达式：由于场地建在直角墙角，矩形靠墙角的两条邻边不需要使用建筑材料；总建筑材料共60m，除了AB边外，还有1段和AB长度相等的中间分隔墙，因此2段长度为x的材料用完后，剩余材料都用来做与AB垂直的矩形边，可得出该边长度为(60-2x)m；最后结合矩形面积公式，将已知面积450㎡代入即可列出方程。
【解析】
解：设AB的长为x m，
∵ 矩形场地靠直角墙角的两边无需建筑材料，且中间分隔墙与AB长度相等，
∴ 与AB垂直的矩形边的长度为 $(60-2x)\mathrm{m}$，
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知场地面积为$450\mathrm{m}^2$，代入得：
$x(60-2x)=450$
【答案】
$x(60-2x)=450$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题关键是结合场景理清建筑材料的分配情况，准确表示出矩形未知边的长度，易错点是容易漏算中间分隔墙的长度导致边长表达式错误。
【难度系数】
0.8
这是一道列一元二次方程解决实际问题的题目，思考步骤如下：首先题目已经设AB的长为x m，接下来需要推导矩形另一条边的长度表达式：由于场地建在直角墙角，矩形靠墙角的两条邻边不需要使用建筑材料；总建筑材料共60m，除了AB边外，还有1段和AB长度相等的中间分隔墙，因此2段长度为x的材料用完后，剩余材料都用来做与AB垂直的矩形边，可得出该边长度为(60-2x)m；最后结合矩形面积公式，将已知面积450㎡代入即可列出方程。
【解析】
解：设AB的长为x m，
∵ 矩形场地靠直角墙角的两边无需建筑材料，且中间分隔墙与AB长度相等，
∴ 与AB垂直的矩形边的长度为 $(60-2x)\mathrm{m}$，
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知场地面积为$450\mathrm{m}^2$，代入得：
$x(60-2x)=450$
【答案】
$x(60-2x)=450$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题关键是结合场景理清建筑材料的分配情况，准确表示出矩形未知边的长度，易错点是容易漏算中间分隔墙的长度导致边长表达式错误。
【难度系数】
0.8
2. 一条长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若正方形的面积和为160 cm²，设其中一个正方形的边长为x cm，则可列方程为
x²+(16-x)²=160
。答案
2. x²+(16-x)²=160
解析
【分析】
解题时先从已知条件梳理逻辑：两个正方形的周长总和等于铁丝的总长度64cm。已知其中一个正方形边长为x cm，先计算它的周长，再用总长度减去该周长得到另一个正方形的周长，进而求出另一个正方形的边长。最后根据“两个正方形的面积和为160cm²”的等量关系，结合正方形面积公式列出方程即可。
【解析】
解：
∵ 其中一个正方形的边长为x cm
∴ 该正方形的周长为4x cm
另一段铁丝的长度（即另一个正方形的周长）为：$64 - 4x$ cm
∴ 另一个正方形的边长为：$(64 - 4x)÷4 = 16 - x$ cm
根据正方形面积公式，结合两个正方形面积和为160cm²的条件，可列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
【答案】
$x^2+(16-x)^2=160$
【知识点】
列一元二次方程、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据铁丝总长推导出两个正方形边长的关系，再结合面积和的等量关系列方程，要求熟练掌握正方形的周长、面积计算公式。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件梳理逻辑：两个正方形的周长总和等于铁丝的总长度64cm。已知其中一个正方形边长为x cm，先计算它的周长，再用总长度减去该周长得到另一个正方形的周长，进而求出另一个正方形的边长。最后根据“两个正方形的面积和为160cm²”的等量关系，结合正方形面积公式列出方程即可。
【解析】
解：
∵ 其中一个正方形的边长为x cm
∴ 该正方形的周长为4x cm
另一段铁丝的长度（即另一个正方形的周长）为：$64 - 4x$ cm
∴ 另一个正方形的边长为：$(64 - 4x)÷4 = 16 - x$ cm
根据正方形面积公式，结合两个正方形面积和为160cm²的条件，可列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
【答案】
$x^2+(16-x)^2=160$
【知识点】
列一元二次方程、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据铁丝总长推导出两个正方形边长的关系，再结合面积和的等量关系列方程，要求熟练掌握正方形的周长、面积计算公式。
【难度系数】
0.8
3. 如图3,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 m的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15 m³的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2 m,现已知购买这种铁皮每平方米需20元.张大叔购回这张矩形铁皮共花了
700
元.答案
3. 700
解析
【分析】
这是一道结合几何裁剪的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确裁剪前后的边长关系：四个角剪去边长为1m的正方形，因此围成的无盖长方体的高为1m，原矩形铁皮的长、宽分别比长方体底面的长、宽多2m（两侧各剪去1m）；②利用长方体容积公式（容积=长×宽×高），设长方体底面宽为未知数，结合“底面长比宽多2m”的条件表示出底面长，代入容积公式列方程；③求解方程得到底面长宽后，反推原矩形铁皮的尺寸，计算面积后乘以单价即可得到总花费，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设无盖长方体箱子的底面宽为$ x \, \mathrm{m} $，则底面长为$ (x+2) \, \mathrm{m} $，长方体的高为剪去的正方形边长$ 1 \, \mathrm{m} $。
根据长方体容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
解方程，得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$
结合实际意义，边长为正，舍去负根$ x = -5 $，得$ x = 3 $。
因此长方体底面宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，底面长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的长为$ 5 + 2 × 1 = 7 \, \mathrm{m} $，宽为$ 3 + 2 × 1 = 5 \, \mathrm{m} $，铁皮面积为：
$7 × 5 = 35 \, \mathrm{㎡}$
总花费为：
$35 × 20 = 700 \, \mathrm{元}$
【答案】
700
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体容积计算，矩形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准裁剪前后图形的边长对应关系，结合几何体体积公式列方程求解，解题时要注意结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何裁剪的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确裁剪前后的边长关系：四个角剪去边长为1m的正方形，因此围成的无盖长方体的高为1m，原矩形铁皮的长、宽分别比长方体底面的长、宽多2m（两侧各剪去1m）；②利用长方体容积公式（容积=长×宽×高），设长方体底面宽为未知数，结合“底面长比宽多2m”的条件表示出底面长，代入容积公式列方程；③求解方程得到底面长宽后，反推原矩形铁皮的尺寸，计算面积后乘以单价即可得到总花费，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设无盖长方体箱子的底面宽为$ x \, \mathrm{m} $，则底面长为$ (x+2) \, \mathrm{m} $，长方体的高为剪去的正方形边长$ 1 \, \mathrm{m} $。
根据长方体容积公式列方程：
$x(x+2) × 1 = 15$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
解方程，得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$
结合实际意义，边长为正，舍去负根$ x = -5 $，得$ x = 3 $。
因此长方体底面宽为$ 3 \, \mathrm{m} $，底面长为$ 3+2=5 \, \mathrm{m} $。
原矩形铁皮的长为$ 5 + 2 × 1 = 7 \, \mathrm{m} $，宽为$ 3 + 2 × 1 = 5 \, \mathrm{m} $，铁皮面积为：
$7 × 5 = 35 \, \mathrm{㎡}$
总花费为：
$35 × 20 = 700 \, \mathrm{元}$
【答案】
700
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体容积计算，矩形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础应用题，解题核心是找准裁剪前后图形的边长对应关系，结合几何体体积公式列方程求解，解题时要注意结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
