登录
4*. 学校原有一块面积是500 m²的长方形场地，现将一边增加10 m，另一边减少10 m，其面积增加了60%，则现在场地的长和宽分别是
40 m,20 m
.答案
4. 40 m,20 m
解析
【分析】
这是一道结合长方形面积变化的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先计算场地改造后的总面积：原面积增加60%，即现在面积=原面积×(1+60%)；②设原来长方形的某一边长为未知数，用原面积表示出另一边长；③根据“一边加10m、另一边减10m后面积等于改造后的总面积”列方程；④求解方程后舍去不符合实际意义的负根，再计算现在的长和宽，注意长要大于宽。
【解析】
解：首先计算现在场地的总面积：$500 × (1+60\%) = 800 \, \mathrm{m}^2$
设原来长方形场地的一边长为$x \, \mathrm{m}$，则另一边长为$\frac{500}{x} \, \mathrm{m}$（$x＞0$，且$\frac{500}{x}＞10$，保证减10后边长为正）。
根据题意列方程：
$(x + 10)( \frac{500}{x} - 10 ) = 800$
去分母（两边同乘$x$，$x≠0$）得：
$(x + 10)(500 - 10x) = 800x$
展开并整理方程：
$500x - 10x^2 + 5000 - 100x = 800x$
$-10x^2 - 400x + 5000 = 0$
两边同除以$-10$得：
$x^2 + 40x - 500 = 0$
因式分解得：
$(x + 50)(x - 10) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-50$（边长为正数，舍去$x_2$）
则原来的另一边长为$\frac{500}{10}=50 \, \mathrm{m}$
现在的两边长分别为：$10+10=20 \, \mathrm{m}$，$50-10=40 \, \mathrm{m}$
因为长大于宽，所以现在场地的长为40 m，宽为20 m。
【答案】
40 m，20 m
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、实际问题的根的检验
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，核心是找准改造前后面积的等量关系，列方程时要注意结合边长为正的实际意义，舍去不符合要求的根，最后得到结果时要区分长和宽。
【难度系数】
0.6
这是一道结合长方形面积变化的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先计算场地改造后的总面积：原面积增加60%，即现在面积=原面积×(1+60%)；②设原来长方形的某一边长为未知数，用原面积表示出另一边长；③根据“一边加10m、另一边减10m后面积等于改造后的总面积”列方程；④求解方程后舍去不符合实际意义的负根，再计算现在的长和宽，注意长要大于宽。
【解析】
解：首先计算现在场地的总面积：$500 × (1+60\%) = 800 \, \mathrm{m}^2$
设原来长方形场地的一边长为$x \, \mathrm{m}$，则另一边长为$\frac{500}{x} \, \mathrm{m}$（$x＞0$，且$\frac{500}{x}＞10$，保证减10后边长为正）。
根据题意列方程：
$(x + 10)( \frac{500}{x} - 10 ) = 800$
去分母（两边同乘$x$，$x≠0$）得：
$(x + 10)(500 - 10x) = 800x$
展开并整理方程：
$500x - 10x^2 + 5000 - 100x = 800x$
$-10x^2 - 400x + 5000 = 0$
两边同除以$-10$得：
$x^2 + 40x - 500 = 0$
因式分解得：
$(x + 50)(x - 10) = 0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-50$（边长为正数，舍去$x_2$）
则原来的另一边长为$\frac{500}{10}=50 \, \mathrm{m}$
现在的两边长分别为：$10+10=20 \, \mathrm{m}$，$50-10=40 \, \mathrm{m}$
因为长大于宽，所以现在场地的长为40 m，宽为20 m。
【答案】
40 m，20 m
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、实际问题的根的检验
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，核心是找准改造前后面积的等量关系，列方程时要注意结合边长为正的实际意义，舍去不符合要求的根，最后得到结果时要区分长和宽。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图4,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要532米²,求道路的路宽应为多少米.
1. 如图4,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要532米²,求道路的路宽应为多少米.
答案
1. 1米
解析
【分析】
遇到这类道路分割耕地求路宽的问题，我们可以用平移法简化计算：把三条道路分别向矩形的边缘平移，分散的耕地就会拼接成一个完整的矩形，只需要表示出拼接后耕地的长和宽，再结合已知的耕地面积列一元二次方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的路宽为$ x $米。
将道路平移后，耕地可拼接为一个矩形，它的长为$ (30-2x) $米，宽为$ (20-x) $米。
根据耕地面积为532平方米，列方程：
$ (30-2x)(20-x)=532 $
展开整理得：
$ x^2 - 35x + 34 = 0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-34)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=34 $
∵ 路宽不可能超过矩形的宽20米，
∴ $ x=34 $不符合实际，舍去。
∴ $ x=1 $
【答案】
1米
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；图形平移割补
【点评】
本题属于典型的一元二次方程实际应用问题，解题关键是通过平移将不规则的耕地面积转化为规则矩形面积，降低计算难度，同时要注意对求解出的方程根进行合理性检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
遇到这类道路分割耕地求路宽的问题，我们可以用平移法简化计算：把三条道路分别向矩形的边缘平移，分散的耕地就会拼接成一个完整的矩形，只需要表示出拼接后耕地的长和宽，再结合已知的耕地面积列一元二次方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设道路的路宽为$ x $米。
将道路平移后，耕地可拼接为一个矩形，它的长为$ (30-2x) $米，宽为$ (20-x) $米。
根据耕地面积为532平方米，列方程：
$ (30-2x)(20-x)=532 $
展开整理得：
$ x^2 - 35x + 34 = 0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-34)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=34 $
∵ 路宽不可能超过矩形的宽20米，
∴ $ x=34 $不符合实际，舍去。
∴ $ x=1 $
【答案】
1米
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；图形平移割补
【点评】
本题属于典型的一元二次方程实际应用问题，解题关键是通过平移将不规则的耕地面积转化为规则矩形面积，降低计算难度，同时要注意对求解出的方程根进行合理性检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
2. 如图5，把长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长。
图5
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长。
图5答案
(1) $ab-4x^2$ (2) $\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：剩余面积等于原矩形面积减去四个剪去的小正方形的总面积。先计算长为a、宽为b的矩形面积为ab，再计算4个边长为x的正方形总面积为$4x^2$，两者作差即可得到剩余面积的代数式。
(2) 根据“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”建立等量关系，代入(1)的结论和$a=6、b=4$的条件，得到关于x的一元二次方程，结合x是正方形边长（$x＞0$）取正根即可得到结果。
【解析】
(1) 原矩形的面积为：$S_{\mathrm{矩形}} = ab$
四个剪去的小正方形的总面积为：$S_{\mathrm{剪去}} = 4x^2$
因此剩余部分的面积为：$S_{\mathrm{剩余}} = S_{\mathrm{矩形}} - S_{\mathrm{剪去}} = ab - 4x^2$
(2) 由题意可得等量关系：$S_{\mathrm{剪去}} = S_{\mathrm{剩余}}$，即$4x^2 = ab - 4x^2$
将$a=6$，$b=4$代入上式：
$4x^2 = 6×4 - 4x^2$
整理得：$8x^2 = 24$
化简得：$x^2 = 3$
因为x为正方形边长，所以$x＞0$，舍去负根，得$x=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{ab-4x^2}$
(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用面积的和差关系建立代数式和等量关系，求解方程时注意结合实际意义对根进行取舍，掌握矩形、正方形的面积公式是解题的前提。
【难度系数】
0.75
(1) 求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：剩余面积等于原矩形面积减去四个剪去的小正方形的总面积。先计算长为a、宽为b的矩形面积为ab，再计算4个边长为x的正方形总面积为$4x^2$，两者作差即可得到剩余面积的代数式。
(2) 根据“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”建立等量关系，代入(1)的结论和$a=6、b=4$的条件，得到关于x的一元二次方程，结合x是正方形边长（$x＞0$）取正根即可得到结果。
【解析】
(1) 原矩形的面积为：$S_{\mathrm{矩形}} = ab$
四个剪去的小正方形的总面积为：$S_{\mathrm{剪去}} = 4x^2$
因此剩余部分的面积为：$S_{\mathrm{剩余}} = S_{\mathrm{矩形}} - S_{\mathrm{剪去}} = ab - 4x^2$
(2) 由题意可得等量关系：$S_{\mathrm{剪去}} = S_{\mathrm{剩余}}$，即$4x^2 = ab - 4x^2$
将$a=6$，$b=4$代入上式：
$4x^2 = 6×4 - 4x^2$
整理得：$8x^2 = 24$
化简得：$x^2 = 3$
因为x为正方形边长，所以$x＞0$，舍去负根，得$x=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{ab-4x^2}$
(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用面积的和差关系建立代数式和等量关系，求解方程时注意结合实际意义对根进行取舍，掌握矩形、正方形的面积公式是解题的前提。
【难度系数】
0.75
3. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，如图6.该快递投放点的一边靠墙，这堵墙的长为10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门.已知围建投放点所需的板材为14米，这个快递集中投放点的长和宽分别是多少米？
答案
长为6米,宽为5米
解析
【分析】
这是一元二次方程的实际应用问题，解题时首先梳理等量关系：一是快递投放点面积为30平方米，即矩形面积=长×宽；二是围建板材总长14米，注意垂直于墙的两边各有1.5米的门不需要板材，因此每条垂直边的板材长度为边长减去门宽。我们可以设垂直于墙的边长为x米，用板材总长表示出平行于墙的边长，再结合面积公式列方程求解，最后要结合墙长10米的限制条件，舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x$米，
则平行于墙的边长为$14 - 2(x - 1.5) = 17 - 2x$米。
根据投放点面积为30平方米，列方程：
$x(17 - 2x) = 30$
整理得：
$2x^2 - 17x + 30 = 0$
因式分解得：
$(2x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=2.5$，$x_2=6$
当$x=2.5$时，平行于墙的边长为$17-2×2.5=12$米，$12＞10$，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，平行于墙的边长为$17-2×6=5$米，$5＜10$，符合题意。
因为$6＞5$，所以投放点的长为6米，宽为5米。
【答案】
长为6米,宽为5米
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题解的检验
【点评】
本题属于典型的围栏类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理板材总长度和各边长度的关系，不要忽略门宽不占用板材，同时要注意结合实际场景的限制条件对求解结果进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
这是一元二次方程的实际应用问题，解题时首先梳理等量关系：一是快递投放点面积为30平方米，即矩形面积=长×宽；二是围建板材总长14米，注意垂直于墙的两边各有1.5米的门不需要板材，因此每条垂直边的板材长度为边长减去门宽。我们可以设垂直于墙的边长为x米，用板材总长表示出平行于墙的边长，再结合面积公式列方程求解，最后要结合墙长10米的限制条件，舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x$米，
则平行于墙的边长为$14 - 2(x - 1.5) = 17 - 2x$米。
根据投放点面积为30平方米，列方程：
$x(17 - 2x) = 30$
整理得：
$2x^2 - 17x + 30 = 0$
因式分解得：
$(2x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=2.5$，$x_2=6$
当$x=2.5$时，平行于墙的边长为$17-2×2.5=12$米，$12＞10$，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，平行于墙的边长为$17-2×6=5$米，$5＜10$，符合题意。
因为$6＞5$，所以投放点的长为6米，宽为5米。
【答案】
长为6米,宽为5米
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题解的检验
【点评】
本题属于典型的围栏类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理板材总长度和各边长度的关系，不要忽略门宽不占用板材，同时要注意结合实际场景的限制条件对求解结果进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
