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一、选择题
1. 某地区去年投入教育经费2500万元，预计明年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是(
A.$2500x^2=3600$
B.$2500(1+x)^2=3600$
C.$2500(1+x\%)^2=3600$
D.$2500(1+x)+2500(1+x\%)^2=3600$
1. 某地区去年投入教育经费2500万元，预计明年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是(
B
)A.$2500x^2=3600$
B.$2500(1+x)^2=3600$
C.$2500(1+x\%)^2=3600$
D.$2500(1+x)+2500(1+x\%)^2=3600$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。本题中已知去年的教育经费，要求明年的经费，是连续两年的增长，因此需要先算出今年的经费，再以今年的经费为基础算出明年的经费，最后根据明年的经费总额列方程，同时要注意增长率x的表示形式，避免误加百分号。
【解析】
已知去年投入教育经费为2500万元，年平均增长百分率为x：
1. 计算今年的教育经费：今年经费 = 去年经费×(1+增长率) = $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算明年的教育经费：明年经费 = 今年经费×(1+增长率) = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
3. 已知明年预计投入3600万元，因此可列方程：$2500(1+x)^2 = 3600$。
对选项逐一判断：
A选项未考虑第一年的增长基数，错误；
C选项误加百分号，本题中x已代表增长百分率的数值（如增长率为20%时x=0.2），无需额外加%，错误；
D选项计算的是两年投入经费的总和，与题目中“明年投入3600万元”的要求不符，错误。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础题型，解题核心是掌握连续增长后最终量的计算逻辑，注意明确所求量是单次增长后的量还是累计总和，同时要注意增长率的表示形式，避免因多加百分号导致错误。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。本题中已知去年的教育经费，要求明年的经费，是连续两年的增长，因此需要先算出今年的经费，再以今年的经费为基础算出明年的经费，最后根据明年的经费总额列方程，同时要注意增长率x的表示形式，避免误加百分号。
【解析】
已知去年投入教育经费为2500万元，年平均增长百分率为x：
1. 计算今年的教育经费：今年经费 = 去年经费×(1+增长率) = $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算明年的教育经费：明年经费 = 今年经费×(1+增长率) = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
3. 已知明年预计投入3600万元，因此可列方程：$2500(1+x)^2 = 3600$。
对选项逐一判断：
A选项未考虑第一年的增长基数，错误；
C选项误加百分号，本题中x已代表增长百分率的数值（如增长率为20%时x=0.2），无需额外加%，错误；
D选项计算的是两年投入经费的总和，与题目中“明年投入3600万元”的要求不符，错误。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础题型，解题核心是掌握连续增长后最终量的计算逻辑，注意明确所求量是单次增长后的量还是累计总和，同时要注意增长率的表示形式，避免因多加百分号导致错误。
【难度系数】
0.8
2. 某药品经过两次降价,每瓶零售价比原来降低了36%,则平均每次降价的百分率是(
A.18%
B.20%
C.30%
D.40%
B
)A.18%
B.20%
C.30%
D.40%
答案
2. B
解析
【分析】
这是平均降价率类的实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：1. 设单位“1”简化计算，把药品原价看作单位“1”，设平均每次降价的百分率为x；2. 推导两次降价后的价格表达式：第一次降价后价格为$1×(1-x)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后价格为$(1-x)^2$；3. 找等量关系列方程：两次降价后零售价比原来降低36%，说明现价是原价的$1-36\%$，据此列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义（降价率需小于1且为正数）。
【解析】
设该药品原价为1，平均每次降价的百分率为x。
根据题意列方程：
$(1-x)^2=1-36\%$
整理得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合降价率的实际意义，舍去）
因此平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的常规应用题，解题核心是找准变化前后的量的等量关系，求解后要注意根据实际场景对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
这是平均降价率类的实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：1. 设单位“1”简化计算，把药品原价看作单位“1”，设平均每次降价的百分率为x；2. 推导两次降价后的价格表达式：第一次降价后价格为$1×(1-x)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后价格为$(1-x)^2$；3. 找等量关系列方程：两次降价后零售价比原来降低36%，说明现价是原价的$1-36\%$，据此列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义（降价率需小于1且为正数）。
【解析】
设该药品原价为1，平均每次降价的百分率为x。
根据题意列方程：
$(1-x)^2=1-36\%$
整理得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合降价率的实际意义，舍去）
因此平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的常规应用题，解题核心是找准变化前后的量的等量关系，求解后要注意根据实际场景对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
3. 某种商品经过两次连续降价后每件售价64元，若平均每次降价的百分率是20%，则该商品的原价每件是(
A.150元
B.120元
C.100元
D.80元
C
)A.150元
B.120元
C.100元
D.80元
答案
3. C
解析
【分析】这是典型的连续降价百分率问题，解题核心是明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价基础上降，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降。我们可以设原价为未知数，根据“原价经过两次20%降价后售价为64元”的等量关系列方程，求解即可得到原价。
【解析】设该商品的原价为每件x元。
第一次降价后的售价为：$ x(1-20\%) $
第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降20%，因此两次降价后的售价为：
$ x(1-20\%)^2 = 64 $
化简得：$ 0.64x = 64 $
解得：$ x = 100 $
因此该商品原价每件100元，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用；百分率问题
【点评】本题属于百分率类基础应用题，解题关键是掌握连续变化量的计算规律，注意两次降价的计算基数不同，根据题意找到等量关系列方程即可求解，是百分率问题的常考题型。
【难度系数】0.8
【解析】设该商品的原价为每件x元。
第一次降价后的售价为：$ x(1-20\%) $
第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降20%，因此两次降价后的售价为：
$ x(1-20\%)^2 = 64 $
化简得：$ 0.64x = 64 $
解得：$ x = 100 $
因此该商品原价每件100元，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用；百分率问题
【点评】本题属于百分率类基础应用题，解题关键是掌握连续变化量的计算规律，注意两次降价的计算基数不同，根据题意找到等量关系列方程即可求解，是百分率问题的常考题型。
【难度系数】0.8
4. 某种型号的电脑，原售价7 200元/台，经连续两次降价后，现售价为4 608元/台，则平均每次降价的百分率为(
A.10%
B.15%
C.20%
D.30%
C
)A.10%
B.15%
C.20%
D.30%
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道平均降价率的应用问题，解题的核心是掌握连续降价的价格计算公式：若原价为a，平均每次降价的百分率为x，那么连续两次降价后的价格为$a(1-x)^2$。我们可以先设平均每次降价的百分率为x，结合题目给出的原价和现价列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到正确答案。
【解析】
设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$7200(1-x)^2=4608$
方程两边同时除以7200，得：
$(1-x)^2=\frac{4608}{7200}=0.64$
两边开平方，得：
$1-x=\pm0.8$
当$1-x=0.8$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1-x=-0.8$时，解得$x=1.8$，不符合降价率小于1的实际意义，舍去。
所以平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题关键是牢记连续两次变化后的量的计算公式，求解方程后要注意结合实际情况检验根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这是一道平均降价率的应用问题，解题的核心是掌握连续降价的价格计算公式：若原价为a，平均每次降价的百分率为x，那么连续两次降价后的价格为$a(1-x)^2$。我们可以先设平均每次降价的百分率为x，结合题目给出的原价和现价列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到正确答案。
【解析】
设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$7200(1-x)^2=4608$
方程两边同时除以7200，得：
$(1-x)^2=\frac{4608}{7200}=0.64$
两边开平方，得：
$1-x=\pm0.8$
当$1-x=0.8$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1-x=-0.8$时，解得$x=1.8$，不符合降价率小于1的实际意义，舍去。
所以平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题关键是牢记连续两次变化后的量的计算公式，求解方程后要注意结合实际情况检验根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 某商场第一季度营业额达2000万元，已知1月份的营业额是500万元，若后两个月的营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为
1. 某商场第一季度营业额达2000万元，已知1月份的营业额是500万元，若后两个月的营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为
500+500(1+x)+500(1+x)²=2 000
。答案
1. 500+500(1+x)+500(1+x)²=2 000
解析
【分析】
解题时首先明确第一季度是1、2、3月三个月的营业额之和。已知1月营业额为500万元，后两个月的月平均增长率为x，我们可以根据增长率的计算方法依次求出2月、3月的营业额，再将三个月的营业额相加等于第一季度总营业额2000万元，即可列出对应方程。
【解析】
1. 确定各月营业额：
1月份营业额为已知的500万元；
2月份在1月份基础上增长x，营业额为$500(1+x)$万元；
3月份在2月份基础上增长x，营业额为$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$万元。
2. 根据第一季度总营业额为2000万元，即三个月营业额之和等于2000万元，列方程得：
$500 + 500(1+x) + 500(1+x)^2 = 2000$
【答案】
$500+500(1+x)+500(1+x)²=2 000$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类的基础应用题，解题关键是明确每次增长的基数，准确表示出每个阶段的对应量，列方程时注意不要遗漏初始阶段的数值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确第一季度是1、2、3月三个月的营业额之和。已知1月营业额为500万元，后两个月的月平均增长率为x，我们可以根据增长率的计算方法依次求出2月、3月的营业额，再将三个月的营业额相加等于第一季度总营业额2000万元，即可列出对应方程。
【解析】
1. 确定各月营业额：
1月份营业额为已知的500万元；
2月份在1月份基础上增长x，营业额为$500(1+x)$万元；
3月份在2月份基础上增长x，营业额为$500(1+x) × (1+x) = 500(1+x)^2$万元。
2. 根据第一季度总营业额为2000万元，即三个月营业额之和等于2000万元，列方程得：
$500 + 500(1+x) + 500(1+x)^2 = 2000$
【答案】
$500+500(1+x)+500(1+x)²=2 000$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类的基础应用题，解题关键是明确每次增长的基数，准确表示出每个阶段的对应量，列方程时注意不要遗漏初始阶段的数值。
【难度系数】
0.8
2. 某商场二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营管理，销售额稳步增长，五月份销售额达到135.2万元，则该商场四、五两个月销售额的平均增长率是
30%
。答案
2. 30%
解析
【分析】
解题时首先要梳理各月销售额的关系：第一步先根据二月份销售额和三月份的降幅求出三月份的销售额，这是四、五月份销售额增长的基础量；其次回忆平均增长率的通用公式：最终量=基础量×(1+平均增长率)^增长次数，本题中从三月到五月共增长2次，五月份销售额为最终量，因此设平均增长率为x，代入对应数值即可列出一元二次方程；最后解方程，结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，就能得到答案。
【解析】
解：先计算三月份的销售额：
已知二月份销售额为100万元，三月份销售额下降20%，因此三月份销售额为：
$100×(1-20\%)=80$（万元）
设四、五两个月销售额的平均增长率为$x$，根据平均增长率的数量关系，五月份销售额可表示为$80(1+x)^2$，结合题意列方程：
$80(1+x)^2=135.2$
方程两边同时除以80，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方得：
$1+x=\pm1.3$
由于销售额增长率为正数，因此$1+x＞0$，舍去$1+x=-1.3$的情况，
则$1+x=1.3$，解得$x=0.3=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的常规应用题，解题关键是准确找到增长的基础量，对应清楚增长次数，结合实际意义对方程的根进行取舍即可。
【难度系数】
0.75
解题时首先要梳理各月销售额的关系：第一步先根据二月份销售额和三月份的降幅求出三月份的销售额，这是四、五月份销售额增长的基础量；其次回忆平均增长率的通用公式：最终量=基础量×(1+平均增长率)^增长次数，本题中从三月到五月共增长2次，五月份销售额为最终量，因此设平均增长率为x，代入对应数值即可列出一元二次方程；最后解方程，结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，就能得到答案。
【解析】
解：先计算三月份的销售额：
已知二月份销售额为100万元，三月份销售额下降20%，因此三月份销售额为：
$100×(1-20\%)=80$（万元）
设四、五两个月销售额的平均增长率为$x$，根据平均增长率的数量关系，五月份销售额可表示为$80(1+x)^2$，结合题意列方程：
$80(1+x)^2=135.2$
方程两边同时除以80，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方得：
$1+x=\pm1.3$
由于销售额增长率为正数，因此$1+x＞0$，舍去$1+x=-1.3$的情况，
则$1+x=1.3$，解得$x=0.3=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的常规应用题，解题关键是准确找到增长的基础量，对应清楚增长次数，结合实际意义对方程的根进行取舍即可。
【难度系数】
0.75
3. 某校九年级若干个班级组织一次篮球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级有
6
个参赛班级。答案
3. 6
解析
【分析】首先明确单循环赛制的规则：每两个班级之间仅比赛1场。若设有x个参赛班级，每个班级需要和其余(x-1)个班级各赛1场，但每场比赛会被两个班级重复统计1次，因此总比赛场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场数为15，即可列一元二次方程求解，最后注意舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】设九年级共有$x$个参赛班级。
根据单循环赛制的总场数计算规则，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程可得：
$x^2 - x - 30 = 0$
对左侧因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于班级数量为正整数，因此$x=-5$不符合实际，予以舍去。
【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题解题核心是准确理解单循环赛制的场数计算逻辑，建立正确的方程模型，求解后要结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常识的答案。
【难度系数】0.8
【解析】设九年级共有$x$个参赛班级。
根据单循环赛制的总场数计算规则，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程可得：
$x^2 - x - 30 = 0$
对左侧因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于班级数量为正整数，因此$x=-5$不符合实际，予以舍去。
【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题解题核心是准确理解单循环赛制的场数计算逻辑，建立正确的方程模型，求解后要结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常识的答案。
【难度系数】0.8
三、解答题
1. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本). 该阅览室前年图书借阅总量是7 500本，今年图书借阅总量是10 800本. 问该社区的图书借阅总量平均每年的增长率是多少？
1. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本). 该阅览室前年图书借阅总量是7 500本，今年图书借阅总量是10 800本. 问该社区的图书借阅总量平均每年的增长率是多少？
答案
1. 20%
解析
【分析】
这是一道平均增长率的应用题，解题时首先明确平均增长率的等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题中前年到今年间隔2年，所以增长次数n=2，初始量是前年的借阅总量7500本，最终量是今年的借阅总量10800本，我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设该社区的图书借阅总量平均每年的增长率为x。
根据题意列方程：
$7500(1+x)^2 = 10800$
两边同时除以7500，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：
$1+x = \pm1.2$
当$1+x=1.2$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1+x=-1.2$时，$x=-2.2$，不符合增长率为正的实际意义，舍去。
答：该社区的图书借阅总量平均每年的增长率是20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题
【点评】
本题属于基础的增长率类应用题，解题核心是找准初始量、增长次数和最终量，正确套用增长率公式列方程，求解后要注意根据实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的应用题，解题时首先明确平均增长率的等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题中前年到今年间隔2年，所以增长次数n=2，初始量是前年的借阅总量7500本，最终量是今年的借阅总量10800本，我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设该社区的图书借阅总量平均每年的增长率为x。
根据题意列方程：
$7500(1+x)^2 = 10800$
两边同时除以7500，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：
$1+x = \pm1.2$
当$1+x=1.2$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1+x=-1.2$时，$x=-2.2$，不符合增长率为正的实际意义，舍去。
答：该社区的图书借阅总量平均每年的增长率是20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题
【点评】
本题属于基础的增长率类应用题，解题核心是找准初始量、增长次数和最终量，正确套用增长率公式列方程，求解后要注意根据实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
