14. 数学课上,师生进行了摸球试验:一只不透明的袋子中装有编号分别为1,2,3,…,m的小球(除编号外其他都相同).
(1) 活动一:当$m=2$时,从中随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,重复上述操作,若事件“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件,则最少需摸次.
(2) 活动二:当$m=3$时,从中随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,重复上述操作.
① 若事件A“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件,则最少需摸次;
② 若事件B“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件,则最少需摸次.
(3) 活动三:在这只装有编号分别为1,2,3,…,m的小球(除编号外其他都相同)的不透明袋子中,从中随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀,重复上述操作,若使事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次,则袋中有多少个小球?

14. (1) 3 (2) ① 4 ② 7 (3) 根据题意，得m+m+m+1=100. 解得m=33. 即袋中有33个小球

【分析】
本题考查必然事件结合最不利原则（抽屉原理）的应用，解题思路如下：要使“出现n个相同编号”为必然事件，需先考虑最不利的摸球情况：先把每种编号都摸出(n-1)次，此时再摸1次，无论摸到哪种编号，都一定能凑出n个相同的编号，因此总摸球次数为m×(n-1)+1，对应代入各小问条件即可求解。
【解析】
(1) 当m=2时，共有2种不同编号。要让“出现两个相同编号”为必然事件，最不利情况为前2次刚好摸到2种不同编号，各1次；再摸1次必然和前2次中的某一个重复，因此最少摸球次数为$2+1=3$次。
(2) 当m=3时，共有3种不同编号：
① 要让“出现两个相同编号”为必然事件，最不利情况为前3次刚好摸到3种不同编号，各1次；再摸1次必然重复，因此最少摸球次数为$3+1=4$次。
② 要让“出现三个相同编号”为必然事件，最不利情况为每种编号先各摸2次，共摸$3×2=6$次；再摸1次必然凑出3个相同编号，因此最少摸球次数为$6+1=7$次。
(3) 要让“出现4个相同编号”为必然事件，根据最不利原则，最不利情况为每种编号先各摸3次，共摸$3m$次，再摸1次就满足条件，因此总次数为$3m+1$。
已知最少需摸100次，列方程：
$3m+1=100$
解得$m=33$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) ① $\boxed{4}$；② $\boxed{7}$；(3) 袋中有$\boxed{33}$个小球
【知识点】
必然事件概念，最不利原则，一元一次方程应用
【点评】
本题解题核心是准确理解“必然事件一定发生”的含义，找准最不利的摸球情况后再额外加1次即可得到最少摸球次数，逆向求解m时只需对应列方程计算即可，难度不大，易错点是容易漏掉最后额外加的1次。
【难度系数】
0.7