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【例2】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3 km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）.小刚需要走1 km的上坡路和2 km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）.如果他们同时出发，谁先到图书馆？
【点拨】计算小明和小刚各自到达图书馆所需的时间，然后比较这两个时间即可。
【点拨】计算小明和小刚各自到达图书馆所需的时间，然后比较这两个时间即可。
答案
解：$\because$ 小明走的是平路，骑车速度是$2v$ km/h，$\therefore$ 他到达学校所需的时间是$3÷ 2v=\dfrac{3}{2v}$ h，$\because$ 小刚需要走1 km上坡路和2 km的下坡路，上坡路的骑车速度是$v$ km/h，下坡路的骑车速度是$3v$ km/h，$\therefore$ 小刚到达学校所需的时间$1÷ v+2÷ 3v=\dfrac{1}{v}$ h$+\dfrac{2}{3v}$ h$=\dfrac{5}{3v}$ h，$\because \dfrac{3}{2v}$ h$＜\dfrac{5}{3v}$ h，$\therefore$ 小明先到图书馆.
解析
【分析】
要判断谁先到图书馆，本质是比较两人从家到图书馆的总耗时，耗时更短的人先到达。解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度；第二步，分别计算两人的总用时：小明全程是平路，直接用总路程除以平路骑车速度即可得到用时；小刚的路程分为上坡、下坡两段，需要先分别计算上坡、下坡的用时，再求和得到总用时；第三步，两人的用时都是含v的分式，由于速度v一定为正数，通分后比较两个分式的大小，即可判断谁的用时更短。
【解析】
解：首先计算小明到达图书馆的总用时：
小明走平路，路程为3km，骑车速度为2v km/h，根据时间=路程÷速度，可得：
$t_明=3÷2v=\dfrac{3}{2v}$（h）
再计算小刚到达图书馆的总用时：
小刚上坡路程1km，速度v km/h，上坡用时为$1÷ v=\dfrac{1}{v}$（h）；下坡路程2km，速度3v km/h，下坡用时为$2÷3v=\dfrac{2}{3v}$（h），总用时为两段时间之和：
$t_刚=\dfrac{1}{v}+\dfrac{2}{3v}=\dfrac{3}{3v}+\dfrac{2}{3v}=\dfrac{5}{3v}$（h）
接下来比较两人用时大小：
通分可得$\dfrac{3}{2v}=\dfrac{9}{6v}$，$\dfrac{5}{3v}=\dfrac{10}{6v}$，因为$v＞0$，所以$\dfrac{9}{6v}＜\dfrac{10}{6v}$，即$\dfrac{3}{2v}＜\dfrac{5}{3v}$，小明用时更短。
【答案】
小明先到图书馆
【知识点】
行程问题数量关系、分式的加减运算、分式大小比较
【点评】
本题结合日常出行的场景考查分式的实际应用，解题关键是明确“用时短则先到达”的逻辑，熟练掌握行程公式和分式的运算、比较方法即可求解，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
【难度系数】
0.8
要判断谁先到图书馆，本质是比较两人从家到图书馆的总耗时，耗时更短的人先到达。解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度；第二步，分别计算两人的总用时：小明全程是平路，直接用总路程除以平路骑车速度即可得到用时；小刚的路程分为上坡、下坡两段，需要先分别计算上坡、下坡的用时，再求和得到总用时；第三步，两人的用时都是含v的分式，由于速度v一定为正数，通分后比较两个分式的大小，即可判断谁的用时更短。
【解析】
解：首先计算小明到达图书馆的总用时：
小明走平路，路程为3km，骑车速度为2v km/h，根据时间=路程÷速度，可得：
$t_明=3÷2v=\dfrac{3}{2v}$（h）
再计算小刚到达图书馆的总用时：
小刚上坡路程1km，速度v km/h，上坡用时为$1÷ v=\dfrac{1}{v}$（h）；下坡路程2km，速度3v km/h，下坡用时为$2÷3v=\dfrac{2}{3v}$（h），总用时为两段时间之和：
$t_刚=\dfrac{1}{v}+\dfrac{2}{3v}=\dfrac{3}{3v}+\dfrac{2}{3v}=\dfrac{5}{3v}$（h）
接下来比较两人用时大小：
通分可得$\dfrac{3}{2v}=\dfrac{9}{6v}$，$\dfrac{5}{3v}=\dfrac{10}{6v}$，因为$v＞0$，所以$\dfrac{9}{6v}＜\dfrac{10}{6v}$，即$\dfrac{3}{2v}＜\dfrac{5}{3v}$，小明用时更短。
【答案】
小明先到图书馆
【知识点】
行程问题数量关系、分式的加减运算、分式大小比较
【点评】
本题结合日常出行的场景考查分式的实际应用，解题关键是明确“用时短则先到达”的逻辑，熟练掌握行程公式和分式的运算、比较方法即可求解，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
【难度系数】
0.8
1. 化简$(a-\dfrac{b^2}{a})·\dfrac{a}{a-b}$的结果是（
A.$a-b$
B.$a+b$
C.$\dfrac{1}{a-b}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
B
）A.$a-b$
B.$a+b$
C.$\dfrac{1}{a-b}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题属于分式混合运算类题目，解题思路如下：第一步先计算括号内的分式减法，将整式a通分为分母为a的分式，转化为同分母分式相减；第二步对计算得到的分子利用平方差公式因式分解；第三步计算分式乘法，约去分子分母的公因式，最终得到化简结果，对照选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的运算：
$(a-\dfrac{b^2}{a})=\dfrac{a^2}{a}-\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{a^2 - b^2}{a}$
再计算分式乘法：
$(a-\dfrac{b^2}{a})·\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{a^2 - b^2}{a}·\dfrac{a}{a-b}$
其中$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入后约去公因式$a$和$a-b$（隐含条件$a≠0,a≠ b$）：
$\dfrac{(a+b)(a-b)}{a}·\dfrac{a}{a-b}=a+b$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的混合运算 2.平方差公式 3.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式运算的运算顺序和因式分解在约分中的应用，计算时注意先处理括号内的运算，通分、因式分解步骤不要出错即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题属于分式混合运算类题目，解题思路如下：第一步先计算括号内的分式减法，将整式a通分为分母为a的分式，转化为同分母分式相减；第二步对计算得到的分子利用平方差公式因式分解；第三步计算分式乘法，约去分子分母的公因式，最终得到化简结果，对照选项选择即可。
【解析】
先计算括号内的运算：
$(a-\dfrac{b^2}{a})=\dfrac{a^2}{a}-\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{a^2 - b^2}{a}$
再计算分式乘法：
$(a-\dfrac{b^2}{a})·\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{a^2 - b^2}{a}·\dfrac{a}{a-b}$
其中$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入后约去公因式$a$和$a-b$（隐含条件$a≠0,a≠ b$）：
$\dfrac{(a+b)(a-b)}{a}·\dfrac{a}{a-b}=a+b$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的混合运算 2.平方差公式 3.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式运算的运算顺序和因式分解在约分中的应用，计算时注意先处理括号内的运算，通分、因式分解步骤不要出错即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 化简$(y-\dfrac{1}{x})÷(x-\dfrac{1}{y})$的结果是（
A.$-\dfrac{y}{x}$
B.$-\dfrac{x}{y}$
C.$\dfrac{x}{y}$
D.$\dfrac{y}{x}$
D
）A.$-\dfrac{y}{x}$
B.$-\dfrac{x}{y}$
C.$\dfrac{x}{y}$
D.$\dfrac{y}{x}$
答案
2. D
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循分式运算的顺序：先算括号内的分式减法，再算括号外的分式除法。第一步先对两个括号里的式子分别通分，转化为同分母分式的减法运算；第二步将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步对分子分母的公因式进行约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的分式减法：
$y-\dfrac{1}{x} = \dfrac{xy}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{xy-1}{x}$
$x-\dfrac{1}{y} = \dfrac{xy}{y} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{xy-1}{y}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{xy-1}{x} ÷ \dfrac{xy-1}{y} = \dfrac{xy-1}{x} × \dfrac{y}{xy-1}$
约掉分子分母的公因式$xy-1$（隐含条件：$x≠0,y≠0,xy≠1$），得：
原式$=\dfrac{y}{x}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算、分式通分、分式约分
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是掌握分式运算的基本规则，有括号先算括号内，除法转化为乘法后再约分，运算过程中要注意公因式的识别，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式的混合运算题，解题遵循分式运算的顺序：先算括号内的分式减法，再算括号外的分式除法。第一步先对两个括号里的式子分别通分，转化为同分母分式的减法运算；第二步将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步对分子分母的公因式进行约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的分式减法：
$y-\dfrac{1}{x} = \dfrac{xy}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{xy-1}{x}$
$x-\dfrac{1}{y} = \dfrac{xy}{y} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{xy-1}{y}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{xy-1}{x} ÷ \dfrac{xy-1}{y} = \dfrac{xy-1}{x} × \dfrac{y}{xy-1}$
约掉分子分母的公因式$xy-1$（隐含条件：$x≠0,y≠0,xy≠1$），得：
原式$=\dfrac{y}{x}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算、分式通分、分式约分
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是掌握分式运算的基本规则，有括号先算括号内，除法转化为乘法后再约分，运算过程中要注意公因式的识别，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 化简$( \dfrac{a}{a-2} - \dfrac{a}{a+2} ) · \dfrac{4 - a^2}{a}$的结果是（
A.$-4$
B.$4$
C.$2a$
D.$-2a$
A
）A.$-4$
B.$4$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道分式混合运算的化简题，解题可参考两种思路：思路一：先计算括号内的异分母分式减法，通分化简后再与括号外的分式相乘，最后约分得到结果；思路二：先将括号外的$4-a^2$用平方差公式因式分解为$-(a+2)(a-2)$，再利用乘法分配律将括号内的两项分别与括号外的式子相乘，直接约分后计算，这种方法更简便，可减少通分的计算量。计算时要格外注意符号的变化，避免出错。
【解析】
方法一（先算括号内再相乘）：
1. 先计算括号内的异分母分式减法，公分母为$(a-2)(a+2)$：
$\dfrac{a}{a-2} - \dfrac{a}{a+2} = \dfrac{a(a+2) - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{a^2 + 2a - a^2 + 2a}{a^2 - 4} = \dfrac{4a}{a^2 - 4}$
2. 对括号外的$4-a^2$因式分解：$4-a^2 = -(a^2 - 4) = -(a-2)(a+2)$
3. 计算乘法，约分求解：
$\dfrac{4a}{a^2 - 4} · \dfrac{-(a^2 - 4)}{a} = 4×(-1) = -4$
方法二（利用乘法分配律简便计算）：
1. 对$4-a^2$因式分解得$4-a^2=-(a-2)(a+2)$，原式变形为：
$( \dfrac{a}{a-2} - \dfrac{a}{a+2} ) · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a}$
2. 利用乘法分配律展开：
$= \dfrac{a}{a-2} · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a} - \dfrac{a}{a+2} · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a}$
3. 分别约分计算：
第一项约分后得$-(a+2)$，第二项约分后得$+(a-2)$，合并得：
$-(a+2) + (a-2) = -a -2 + a -2 = -4$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，既可以按照运算顺序先算括号内的运算，也可以灵活运用乘法分配律简化计算，解题的关键是正确对多项式因式分解，同时注意运算过程中的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道分式混合运算的化简题，解题可参考两种思路：思路一：先计算括号内的异分母分式减法，通分化简后再与括号外的分式相乘，最后约分得到结果；思路二：先将括号外的$4-a^2$用平方差公式因式分解为$-(a+2)(a-2)$，再利用乘法分配律将括号内的两项分别与括号外的式子相乘，直接约分后计算，这种方法更简便，可减少通分的计算量。计算时要格外注意符号的变化，避免出错。
【解析】
方法一（先算括号内再相乘）：
1. 先计算括号内的异分母分式减法，公分母为$(a-2)(a+2)$：
$\dfrac{a}{a-2} - \dfrac{a}{a+2} = \dfrac{a(a+2) - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{a^2 + 2a - a^2 + 2a}{a^2 - 4} = \dfrac{4a}{a^2 - 4}$
2. 对括号外的$4-a^2$因式分解：$4-a^2 = -(a^2 - 4) = -(a-2)(a+2)$
3. 计算乘法，约分求解：
$\dfrac{4a}{a^2 - 4} · \dfrac{-(a^2 - 4)}{a} = 4×(-1) = -4$
方法二（利用乘法分配律简便计算）：
1. 对$4-a^2$因式分解得$4-a^2=-(a-2)(a+2)$，原式变形为：
$( \dfrac{a}{a-2} - \dfrac{a}{a+2} ) · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a}$
2. 利用乘法分配律展开：
$= \dfrac{a}{a-2} · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a} - \dfrac{a}{a+2} · \dfrac{-(a-2)(a+2)}{a}$
3. 分别约分计算：
第一项约分后得$-(a+2)$，第二项约分后得$+(a-2)$，合并得：
$-(a+2) + (a-2) = -a -2 + a -2 = -4$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，既可以按照运算顺序先算括号内的运算，也可以灵活运用乘法分配律简化计算，解题的关键是正确对多项式因式分解，同时注意运算过程中的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4. 化简：$1-\dfrac{a-1}{a+2}÷\dfrac{a^2-1}{a^2+4a+4}=$
$-\dfrac{1}{a+1}$
.答案
4. $-\dfrac{1}{a+1}$
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，解题需遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先处理除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数；第二步对分子、分母中的多项式因式分解，找到公因式约分，简化乘法运算；第三步再做减法运算，通分后合并化简即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
解：根据分式运算规则逐步计算：
1. 先将除法转化为乘法：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a-1}{a+2}×\dfrac{a^2+4a+4}{a^2-1}$
2. 对多项式因式分解：
由完全平方公式得$a^2+4a+4=(a+2)^2$，由平方差公式得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入上式：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a-1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$
3. 约分化简：
约去公因式$(a-1)$和$(a+2)$（默认$a≠\pm1$且$a≠-2$，保证分式有意义），得：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a+2}{a+1}$
4. 计算减法：
将1通分为分母为$a+1$的分式，再按同分母分式减法规则计算：
$\mathrm{原式}=\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{a+2}{a+1}=\dfrac{(a+1)-(a+2)}{a+1}=\dfrac{-1}{a+1}=-\dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$-\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，解题核心是牢记分式混合运算的顺序，正确运用乘法公式完成多项式因式分解，约分、通分过程中要注意符号的处理，同时要留意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算类题目，解题需遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先处理除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数；第二步对分子、分母中的多项式因式分解，找到公因式约分，简化乘法运算；第三步再做减法运算，通分后合并化简即可，运算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
解：根据分式运算规则逐步计算：
1. 先将除法转化为乘法：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a-1}{a+2}×\dfrac{a^2+4a+4}{a^2-1}$
2. 对多项式因式分解：
由完全平方公式得$a^2+4a+4=(a+2)^2$，由平方差公式得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入上式：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a-1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$
3. 约分化简：
约去公因式$(a-1)$和$(a+2)$（默认$a≠\pm1$且$a≠-2$，保证分式有意义），得：
$\mathrm{原式}=1-\dfrac{a+2}{a+1}$
4. 计算减法：
将1通分为分母为$a+1$的分式，再按同分母分式减法规则计算：
$\mathrm{原式}=\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{a+2}{a+1}=\dfrac{(a+1)-(a+2)}{a+1}=\dfrac{-1}{a+1}=-\dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$-\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，解题核心是牢记分式混合运算的顺序，正确运用乘法公式完成多项式因式分解，约分、通分过程中要注意符号的处理，同时要留意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
5. 计算：$\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y} · ( \frac{x+y}{2x} - x - y ) =$
$1$
答案
5. 1
解析
【分析】
这是一道分式混合运算题，解题时先观察式子特征，我们发现后面乘法运算的因数$\frac{1}{x+y}$和括号内的各项相乘时可以直接约分，因此可以优先使用乘法分配律展开计算，简化运算步骤；计算时要注意运算顺序和去括号的符号变化。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y} · ( \frac{x+y}{2x} - x - y )\\&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y} · [ \frac{x+y}{2x} - (x+y) ]\\&=\frac{1}{2x} - ( \frac{1}{x+y} · \frac{x+y}{2x} - \frac{1}{x+y} · (x+y) )\\&=\frac{1}{2x} - ( \frac{1}{2x} - 1 )\\&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{2x} + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；乘法分配律；分式约分
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，解题时优先观察式子特征，合理运用运算律可大幅简化计算，同时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
这是一道分式混合运算题，解题时先观察式子特征，我们发现后面乘法运算的因数$\frac{1}{x+y}$和括号内的各项相乘时可以直接约分，因此可以优先使用乘法分配律展开计算，简化运算步骤；计算时要注意运算顺序和去括号的符号变化。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y} · ( \frac{x+y}{2x} - x - y )\\&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y} · [ \frac{x+y}{2x} - (x+y) ]\\&=\frac{1}{2x} - ( \frac{1}{x+y} · \frac{x+y}{2x} - \frac{1}{x+y} · (x+y) )\\&=\frac{1}{2x} - ( \frac{1}{2x} - 1 )\\&=\frac{1}{2x} - \frac{1}{2x} + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；乘法分配律；分式约分
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，解题时优先观察式子特征，合理运用运算律可大幅简化计算，同时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
6. 计算:
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 2}{a + 1} - 1$；
(2) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} ÷ ( \dfrac{2}{x - 3} + 1 )$。
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 2}{a + 1} - 1$；
(2) $\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} ÷ ( \dfrac{2}{x - 3} + 1 )$。
答案
(1) $\dfrac{1}{a+1}$
(2) $x-1$
(2) $x-1$
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：运算时先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后进行加减运算，结果要化为最简形式。(1)题先处理除法运算，对分子分母分解因式后约分，再计算减法即可；(2)题先计算括号内的分式加法，通分化简后再处理除法运算，因式分解约分即可得到结果。
【解析】
(1) 原式先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a+1)^2} × \dfrac{a+1}{a-2} - 1\\&=\dfrac{a+2}{a+1} - 1 \quad \mathrm{（约去公因式$a-2$和$a+1$）}\\&=\dfrac{a+2}{a+1} - \dfrac{a+1}{a+1} \quad \mathrm{（将1通分为分母为$a+1$的分式）}\\&=\dfrac{a+2-(a+1)}{a+1}\\&=\dfrac{1}{a+1}\end{aligned}$
(2) 原式先计算括号内的加法，再处理除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ ( \dfrac{2}{x-3} + \dfrac{x-3}{x-3} ) \quad \mathrm{（对分子因式分解，将括号内的1通分）}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ \dfrac{2+x-3}{x-3}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ \dfrac{x-1}{x-3}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} × \dfrac{x-3}{x-1} \quad \mathrm{（将除法转化为乘法）}\\&=x-1 \quad \mathrm{（约去公因式$x-3$和$x-1$）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a+1}$
(2) $x-1$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题主要考察分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式运算的顺序，正确运用因式分解完成约分、通分步骤，注意最终运算结果要化为最简分式或者整式。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：运算时先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后进行加减运算，结果要化为最简形式。(1)题先处理除法运算，对分子分母分解因式后约分，再计算减法即可；(2)题先计算括号内的分式加法，通分化简后再处理除法运算，因式分解约分即可得到结果。
【解析】
(1) 原式先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a+1)^2} × \dfrac{a+1}{a-2} - 1\\&=\dfrac{a+2}{a+1} - 1 \quad \mathrm{（约去公因式$a-2$和$a+1$）}\\&=\dfrac{a+2}{a+1} - \dfrac{a+1}{a+1} \quad \mathrm{（将1通分为分母为$a+1$的分式）}\\&=\dfrac{a+2-(a+1)}{a+1}\\&=\dfrac{1}{a+1}\end{aligned}$
(2) 原式先计算括号内的加法，再处理除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ ( \dfrac{2}{x-3} + \dfrac{x-3}{x-3} ) \quad \mathrm{（对分子因式分解，将括号内的1通分）}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ \dfrac{2+x-3}{x-3}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} ÷ \dfrac{x-1}{x-3}\\&=\dfrac{(x-1)^2}{x-3} × \dfrac{x-3}{x-1} \quad \mathrm{（将除法转化为乘法）}\\&=x-1 \quad \mathrm{（约去公因式$x-3$和$x-1$）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a+1}$
(2) $x-1$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题主要考察分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式运算的顺序，正确运用因式分解完成约分、通分步骤，注意最终运算结果要化为最简分式或者整式。
【难度系数】
0.7
7. (1) 化简：$(x-\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x+1}{x}$。
(2) 先化简，再求值：$(1+\dfrac{2}{x+1})·\dfrac{x+1}{x^2-9}$，其中 $x=-2$。
(2) 先化简，再求值：$(1+\dfrac{2}{x+1})·\dfrac{x+1}{x^2-9}$，其中 $x=-2$。
答案
7. 解：(1) 原式$=(\dfrac{x^2-1}{x})· \dfrac{x}{x+1} =\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} · \dfrac{x}{x+1}=x-1$.
(2) 原式$=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{(x+3)(x-3)} =\dfrac{1}{x-3}$.
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{-2-3}=-\dfrac{1}{5}$.
(2) 原式$=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{(x+3)(x-3)} =\dfrac{1}{x-3}$.
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{-2-3}=-\dfrac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算及化简求值，解题思路如下：
(1) 先计算括号内的分式减法：将x通分转化为分母为x的分式，与$\dfrac{1}{x}$相减，再将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数），对分子因式分解后约分即可得到化简结果。
(2) 先计算括号内的分式加法：将1通分转化为分母为$x+1$的分式，与$\dfrac{2}{x+1}$相加，再对第二个分式的分母利用平方差公式因式分解，两个分式相乘时约去公因式得到最简结果，最后代入$x=-2$计算即可，代值前需确认x的取值使原分式所有分母不为0。
【解析】
(1) 先对括号内通分，再将除法变乘法：
原式$=\dfrac{x^2-1}{x}· \dfrac{x}{x+1}$
将分子$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，再约分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} · \dfrac{x}{x+1}=x-1$
(2) 先对括号内通分计算加法：
原式$=\dfrac{x+1+2}{x+1}· \dfrac{x+1}{x^2-9}=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{x^2-9}$
将分母$x^2-9$利用平方差公式因式分解为$(x+3)(x-3)$，再约分：
$=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{(x+3)(x-3)} =\dfrac{1}{x-3}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{-2-3}=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1) $x-1$；(2) 化简结果为$\dfrac{1}{x-3}$，求值结果为$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式通分、约分的规则，以及平方差公式等因式分解方法在分式化简中的应用，运算时注意运算顺序，代值前要验证所给未知数的取值不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的混合运算及化简求值，解题思路如下：
(1) 先计算括号内的分式减法：将x通分转化为分母为x的分式，与$\dfrac{1}{x}$相减，再将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数），对分子因式分解后约分即可得到化简结果。
(2) 先计算括号内的分式加法：将1通分转化为分母为$x+1$的分式，与$\dfrac{2}{x+1}$相加，再对第二个分式的分母利用平方差公式因式分解，两个分式相乘时约去公因式得到最简结果，最后代入$x=-2$计算即可，代值前需确认x的取值使原分式所有分母不为0。
【解析】
(1) 先对括号内通分，再将除法变乘法：
原式$=\dfrac{x^2-1}{x}· \dfrac{x}{x+1}$
将分子$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，再约分：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} · \dfrac{x}{x+1}=x-1$
(2) 先对括号内通分计算加法：
原式$=\dfrac{x+1+2}{x+1}· \dfrac{x+1}{x^2-9}=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{x^2-9}$
将分母$x^2-9$利用平方差公式因式分解为$(x+3)(x-3)$，再约分：
$=\dfrac{x+3}{x+1}· \dfrac{x+1}{(x+3)(x-3)} =\dfrac{1}{x-3}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{-2-3}=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1) $x-1$；(2) 化简结果为$\dfrac{1}{x-3}$，求值结果为$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式通分、约分的规则，以及平方差公式等因式分解方法在分式化简中的应用，运算时注意运算顺序，代值前要验证所给未知数的取值不会使原分式的分母为0。
【难度系数】
0.8
