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【知识点1】找公因式的方法
◎找出系数的
◎找出系数的
最大公因数
.答案
最大公因数
解析
【分析】
本题考查找公因式的基础方法，解题时先回忆找公因式的固定步骤：首先确定公因式的系数，其次确定公因式包含的公共字母，最后确定公共字母的对应指数。其中确定系数的规则就是取多项式各项系数的最大公因数，据此可直接得出横线处应填的内容。
【解析】
找公因式的标准步骤如下：
1. 定系数：找出多项式各项系数的最大公因数，作为公因式的系数；
2. 定字母：找出多项式各项都含有的相同字母，纳入公因式；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
因此本题横线处应填写最大公因数。
【答案】
最大公因数
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查找公因式时的系数确定规则，牢记找公因式的三个步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查找公因式的基础方法，解题时先回忆找公因式的固定步骤：首先确定公因式的系数，其次确定公因式包含的公共字母，最后确定公共字母的对应指数。其中确定系数的规则就是取多项式各项系数的最大公因数，据此可直接得出横线处应填的内容。
【解析】
找公因式的标准步骤如下：
1. 定系数：找出多项式各项系数的最大公因数，作为公因式的系数；
2. 定字母：找出多项式各项都含有的相同字母，纳入公因式；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
因此本题横线处应填写最大公因数。
【答案】
最大公因数
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查找公因式时的系数确定规则，牢记找公因式的三个步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
找出
相同
字母及相同字母的最低
次数。答案
相同 最低
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定方法，解题时先回忆公因式字母部分的确定规则：第一步需要先找到多项式各项中共同含有的字母，也就是相同字母；第二步对于找到的相同字母，要取该字母在各项中次数的最小值，也就是最低次数，这样才能保证提取的公因式是每一项都共有的因式，由此就能确定两个空的内容。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定要求：公因式的字母部分，首先要选取各项都包含的相同字母，其次对每个相同字母，要取它在各项中的最低次数，因此两个空依次填写“相同”“最低”。
【答案】
相同 最低
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对公因式确定规则的记忆和理解，掌握该规则是正确运用提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定方法，解题时先回忆公因式字母部分的确定规则：第一步需要先找到多项式各项中共同含有的字母，也就是相同字母；第二步对于找到的相同字母，要取该字母在各项中次数的最小值，也就是最低次数，这样才能保证提取的公因式是每一项都共有的因式，由此就能确定两个空的内容。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定要求：公因式的字母部分，首先要选取各项都包含的相同字母，其次对每个相同字母，要取它在各项中的最低次数，因此两个空依次填写“相同”“最低”。
【答案】
相同 最低
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对公因式确定规则的记忆和理解，掌握该规则是正确运用提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
1. 多项式$2xy^2 - 4xyz - 8xy$中各项的公因式是（
A.$2yz$
B.$2xz$
C.$2xy$
D.$-2x$
C
）A.$2yz$
B.$2xz$
C.$2xy$
D.$-2x$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照“定系数→定字母→定指数”的三步法思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找所有项都共同含有的字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将三部分相乘就得到公因式。
【解析】
多项式的三项分别为$2xy^2$、$-4xyz$、$-8xy$，按步骤找公因式：
1. 定系数：各项系数的绝对值为2、4、8，最大公约数是2；
2. 定字母：三项都含有的字母是$x$和$y$，$z$仅在第二项出现，不属于公因式的组成部分；
3. 定指数：$x$在三项中的次数均为1，$y$在三项中的次数分别为2、1、1，最低次数为1；
因此公因式为$2× x× y=2xy$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的确定方法，掌握找公因式的三步规则是解题关键，属于基础类题目，熟练掌握该知识点可为后续因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照“定系数→定字母→定指数”的三步法思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找所有项都共同含有的字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将三部分相乘就得到公因式。
【解析】
多项式的三项分别为$2xy^2$、$-4xyz$、$-8xy$，按步骤找公因式：
1. 定系数：各项系数的绝对值为2、4、8，最大公约数是2；
2. 定字母：三项都含有的字母是$x$和$y$，$z$仅在第二项出现，不属于公因式的组成部分；
3. 定指数：$x$在三项中的次数均为1，$y$在三项中的次数分别为2、1、1，最低次数为1；
因此公因式为$2× x× y=2xy$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的确定方法，掌握找公因式的三步规则是解题关键，属于基础类题目，熟练掌握该知识点可为后续因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
2. 下列各组多项式中，没有公因式的一组是（
A.$ ax - bx $ 与 $ by - ay $
B.$ 6xy + 8x^2y $ 与 $ -4x - 3 $
C.$ ab - ab $ 与 $ ab - bc $
D.$ (a - b)^3x $ 与 $ (b - a)^2y $
C
）A.$ ax - bx $ 与 $ by - ay $
B.$ 6xy + 8x^2y $ 与 $ -4x - 3 $
C.$ ab - ab $ 与 $ ab - bc $
D.$ (a - b)^3x $ 与 $ (b - a)^2y $
答案
2. C
解析
【分析】
要判断两组多项式有没有公因式，首先要掌握公因式的确定方法：先找多项式系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母或相同因式，取其最低次幂，二者组合就是公因式。解题时我们可以先将每个选项的两个多项式分别用提公因式法初步分解，再对比是否存在公共的因式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$ax - bx = x(a - b)$，$by - ay = -y(a - b)$，两个多项式都含有公因式$(a - b)$，不符合要求；
B选项：$6xy + 8x^2y = 2xy(4x + 3)$，$-4x - 3 = -(4x + 3)$，两个多项式都含有公因式$(4x + 3)$，不符合要求；
C选项：$ab - ac = a(b - c)$，$ab - bc = b(a - c)$，两个多项式没有相同的因式，不存在公因式，符合要求；
D选项：由于$(b - a)^2 = (a - b)^2$，因此$(a - b)^3x = (a - b)^2 · x(a - b)$，$(b - a)^2y = (a - b)^2 · y$，两个多项式都含有公因式$(a - b)^2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
公因式的识别，提公因式法分解因式，幂的符号变形
【点评】
本题考查公因式的判断，解题时要注意先对多项式做初步因式分解，还要牢记互为相反数的两个数的偶次幂相等，避免漏判隐藏的公因式。
【难度系数】
0.7
要判断两组多项式有没有公因式，首先要掌握公因式的确定方法：先找多项式系数的最大公约数，再找所有项都含有的相同字母或相同因式，取其最低次幂，二者组合就是公因式。解题时我们可以先将每个选项的两个多项式分别用提公因式法初步分解，再对比是否存在公共的因式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$ax - bx = x(a - b)$，$by - ay = -y(a - b)$，两个多项式都含有公因式$(a - b)$，不符合要求；
B选项：$6xy + 8x^2y = 2xy(4x + 3)$，$-4x - 3 = -(4x + 3)$，两个多项式都含有公因式$(4x + 3)$，不符合要求；
C选项：$ab - ac = a(b - c)$，$ab - bc = b(a - c)$，两个多项式没有相同的因式，不存在公因式，符合要求；
D选项：由于$(b - a)^2 = (a - b)^2$，因此$(a - b)^3x = (a - b)^2 · x(a - b)$，$(b - a)^2y = (a - b)^2 · y$，两个多项式都含有公因式$(a - b)^2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
公因式的识别，提公因式法分解因式，幂的符号变形
【点评】
本题考查公因式的判断，解题时要注意先对多项式做初步因式分解，还要牢记互为相反数的两个数的偶次幂相等，避免漏判隐藏的公因式。
【难度系数】
0.7
3. 把下列各式分解因式.
(1) $8m^2n+2mn$；
(2) $-12a^2b^2-6a^3b^2+18ab^4$；
(3) $2a(b+c)-3(b+c)$；
(4) $2x(a-2)+3y(2-a)$.
(1) $8m^2n+2mn$；
(2) $-12a^2b^2-6a^3b^2+18ab^4$；
(3) $2a(b+c)-3(b+c)$；
(4) $2x(a-2)+3y(2-a)$.
答案
(1) $2mn(4m+1)$ (2) $6ab^2(3b^2-2a-a^2)$ (3) $(b+c)(2a-3)$ (4) $(a-2)(2x-3y)$
解析
【分析】
这4道题均属于用提公因式法分解因式的基础题型，解题核心思路是“先确定公因式，再提取公因式”，具体思考步骤如下：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式：将公因式写在括号外，用原式每一项除以公因式得到的结果依次写在括号内，注意处理符号问题；③若存在互为相反数的因式（如$a-2$和$2-a$），先通过变形将其化为相同因式，再提取公因式。
【解析】
(1) 先确定公因式：8和2的最大公约数是2，两项都含有的字母是$m$、$n$，最低次幂均为1次，因此公因式为$2mn$。
$\begin{aligned}8m^2n+2mn&=2mn·4m + 2mn·1\\&=2mn(4m+1)\end{aligned}$
(2) 确定公因式：12、6、18的最大公约数是6，三项都含有的字母是$a$、$b$，$a$的最低次幂是1次，$b$的最低次幂是2次，因此公因式为$6ab^2$。
$\begin{aligned}-12a^2b^2-6a^3b^2+18ab^4&=6ab^2·(-2a) + 6ab^2·(-a^2) + 6ab^2·3b^2\\&=6ab^2(3b^2-2a-a^2)\end{aligned}$
(3) 确定公因式：两项都含有的多项式因式为$(b+c)$，直接提取即可。
$2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)$
(4) 先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，确定公因式为$(a-2)$后再提取。
$\begin{aligned}2x(a-2)+3y(2-a)&=2x(a-2)-3y(a-2)\\&=(a-2)(2x-3y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2mn(4m+1)$；(2) $6ab^2(3b^2-2a-a^2)$；(3) $(b+c)(2a-3)$；(4) $(a-2)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法；公因式确定；符号变形
【点评】
本组题目是因式分解的入门基础题，重点考查对公因式的识别与提取能力，既包含单项式公因式的提取，也包含多项式公因式的提取，解题时需注意互为相反数的因式变形和符号处理，熟练掌握该方法是后续学习复杂因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.8
这4道题均属于用提公因式法分解因式的基础题型，解题核心思路是“先确定公因式，再提取公因式”，具体思考步骤如下：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式：将公因式写在括号外，用原式每一项除以公因式得到的结果依次写在括号内，注意处理符号问题；③若存在互为相反数的因式（如$a-2$和$2-a$），先通过变形将其化为相同因式，再提取公因式。
【解析】
(1) 先确定公因式：8和2的最大公约数是2，两项都含有的字母是$m$、$n$，最低次幂均为1次，因此公因式为$2mn$。
$\begin{aligned}8m^2n+2mn&=2mn·4m + 2mn·1\\&=2mn(4m+1)\end{aligned}$
(2) 确定公因式：12、6、18的最大公约数是6，三项都含有的字母是$a$、$b$，$a$的最低次幂是1次，$b$的最低次幂是2次，因此公因式为$6ab^2$。
$\begin{aligned}-12a^2b^2-6a^3b^2+18ab^4&=6ab^2·(-2a) + 6ab^2·(-a^2) + 6ab^2·3b^2\\&=6ab^2(3b^2-2a-a^2)\end{aligned}$
(3) 确定公因式：两项都含有的多项式因式为$(b+c)$，直接提取即可。
$2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)$
(4) 先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，确定公因式为$(a-2)$后再提取。
$\begin{aligned}2x(a-2)+3y(2-a)&=2x(a-2)-3y(a-2)\\&=(a-2)(2x-3y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $2mn(4m+1)$；(2) $6ab^2(3b^2-2a-a^2)$；(3) $(b+c)(2a-3)$；(4) $(a-2)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法；公因式确定；符号变形
【点评】
本组题目是因式分解的入门基础题，重点考查对公因式的识别与提取能力，既包含单项式公因式的提取，也包含多项式公因式的提取，解题时需注意互为相反数的因式变形和符号处理，熟练掌握该方法是后续学习复杂因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.8
【例】因式分解： (1) $6a(m-n)-3b(n-m)$； (2) $m(2x-4)+n(2-x)$。
【点拨】多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中，不能再有公因式，所以 (1) 先变号，然后确定公因式为 $3(m-n)$，进而解决问题。(2) 需要先对第一个括号进行提公因式，然后变号，再确定公因式为 $(x-2)$，进而解决问题。
【点拨】多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中，不能再有公因式，所以 (1) 先变号，然后确定公因式为 $3(m-n)$，进而解决问题。(2) 需要先对第一个括号进行提公因式，然后变号，再确定公因式为 $(x-2)$，进而解决问题。
答案
【例】解： (1) 原式=$6a(m-n)+3b(m-n)=3(m-n)(2a+b)$.
(2) 原式=$2m(x-2)-n(x-2)=(x-2)(2m-n)$.
(2) 原式=$2m(x-2)-n(x-2)=(x-2)(2m-n)$.
解析
【分析】
(1) 观察式子发现两项含有的因式(m-n)与(n-m)互为相反数，首先利用相反数性质将(n-m)改写为-(m-n)，统一两项的因式形式；再确定公因式：系数的最大公约数是3，公共的多项式因式是(m-n)，即公因式为3(m-n)，提取公因式即可完成因式分解。
(2) 首先对第一项中2x-4提取公因数2，变形为2(x-2)；再将第二项的(2-x)改写为-(x-2)，统一两项的因式形式后，确定公因式为(x-2)，提取公因式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 先对含(n-m)的项变号：
原式=$6a(m-n)-3b×[-(m-n)]=6a(m-n)+3b(m-n)$
提取公因式$3(m-n)$，得：
$3(m-n)(2a+b)$
(2) 先化简第一项的括号部分，再对含(2-x)的项变号：
原式=$m×2(x-2)+n×[-(x-2)]=2m(x-2)-n(x-2)$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(2m-n)$
【答案】
(1) $3(m-n)(2a+b)$；(2) $(x-2)(2m-n)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 互为相反数的整式变形
【点评】
这两道题是提公因式法因式分解的典型基础题，解题的关键是注意当式子中出现互为相反数的多项式因式时，要先统一因式的符号，再准确找出公因式，提取公因式时注意不要漏项、错号。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子发现两项含有的因式(m-n)与(n-m)互为相反数，首先利用相反数性质将(n-m)改写为-(m-n)，统一两项的因式形式；再确定公因式：系数的最大公约数是3，公共的多项式因式是(m-n)，即公因式为3(m-n)，提取公因式即可完成因式分解。
(2) 首先对第一项中2x-4提取公因数2，变形为2(x-2)；再将第二项的(2-x)改写为-(x-2)，统一两项的因式形式后，确定公因式为(x-2)，提取公因式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 先对含(n-m)的项变号：
原式=$6a(m-n)-3b×[-(m-n)]=6a(m-n)+3b(m-n)$
提取公因式$3(m-n)$，得：
$3(m-n)(2a+b)$
(2) 先化简第一项的括号部分，再对含(2-x)的项变号：
原式=$m×2(x-2)+n×[-(x-2)]=2m(x-2)-n(x-2)$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(2m-n)$
【答案】
(1) $3(m-n)(2a+b)$；(2) $(x-2)(2m-n)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 互为相反数的整式变形
【点评】
这两道题是提公因式法因式分解的典型基础题，解题的关键是注意当式子中出现互为相反数的多项式因式时，要先统一因式的符号，再准确找出公因式，提取公因式时注意不要漏项、错号。
【难度系数】
0.8
