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3. 如图，在某条公路的同旁有两个小区A，B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路（直线 l）边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两个小区到这个医院的路程一样长？（请用尺规作图，并保留作图痕迹）
第3题图
第3题图答案
3. 解：如图，点P即为所求。
理由：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
解析
【分析】
要找到直线l上到A、B两点距离相等的点，首先明确：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此满足“到A、B路程相等”的点都在线段AB的垂直平分线上，结合点还要在直线l上的要求，只需作出AB的垂直平分线，它与直线l的交点就是所求的医院位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB；
2. 分别以点A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两个点；
3. 过上述两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点记作P，点P就是所求的位置。
理由：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此$PA=PB$，即两个小区到点P的路程相等，且点P在公路l上，符合选址要求。
【答案】
如图，点P即为所求。
理由：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题将实际生活中的选址问题转化为几何问题，既考查了对线段垂直平分线性质的理解与应用，也考查了基本尺规作图的操作能力，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
要找到直线l上到A、B两点距离相等的点，首先明确：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此满足“到A、B路程相等”的点都在线段AB的垂直平分线上，结合点还要在直线l上的要求，只需作出AB的垂直平分线，它与直线l的交点就是所求的医院位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB；
2. 分别以点A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两个点；
3. 过上述两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点记作P，点P就是所求的位置。
理由：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此$PA=PB$，即两个小区到点P的路程相等，且点P在公路l上，符合选址要求。
【答案】
如图，点P即为所求。
理由：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题将实际生活中的选址问题转化为几何问题，既考查了对线段垂直平分线性质的理解与应用，也考查了基本尺规作图的操作能力，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8
4. 如图，两条公路OM，ON之间有两个小区A，B，为了方便市民购物，政府决定修建一个超市，问超市建在什么位置能使两个小区到超市的路程一样长，并且超市到两条公路的距离也相等.请用尺规作图，并保留作图痕迹.
答案
4. 解：如图所示，点D即为所求。
解析
【分析】
要确定超市的位置，需同时满足两个要求：①到A、B两个小区的路程相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此符合要求的点在线段AB的垂直平分线上；②到两条公路OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此符合要求的点在∠MON的角平分线上。两条线的交点可同时满足两个条件，即为超市的建造位置。
【解析】
1. 用尺规作∠MON的角平分线；
2. 连接AB，用尺规作线段AB的垂直平分线，两条线的交点记为D；
点D同时满足到A、B距离相等、到OM和ON的距离相等，即为所求位置，作图需保留角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹。
【答案】
如图所示，点D即为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，需要将实际需求转化为几何条件，结合两种基本尺规作图找到公共的符合条件的点，解题的核心是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，以及对应的基本作图方法。
【难度系数】
0.75
要确定超市的位置，需同时满足两个要求：①到A、B两个小区的路程相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此符合要求的点在线段AB的垂直平分线上；②到两条公路OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此符合要求的点在∠MON的角平分线上。两条线的交点可同时满足两个条件，即为超市的建造位置。
【解析】
1. 用尺规作∠MON的角平分线；
2. 连接AB，用尺规作线段AB的垂直平分线，两条线的交点记为D；
点D同时满足到A、B距离相等、到OM和ON的距离相等，即为所求位置，作图需保留角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹。
【答案】
如图所示，点D即为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，需要将实际需求转化为几何条件，结合两种基本尺规作图找到公共的符合条件的点，解题的核心是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，以及对应的基本作图方法。
【难度系数】
0.75
5. (2025·德州) 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$. 分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若$∠ A=42°$，则$∠ CBD$的度数为（
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
B
）A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的含义：题目中作图方法是作线段AB的垂直平分线，因此MN是AB的垂直平分线。根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；再结合△ABC是等腰三角形，已知顶角∠A的度数，可利用三角形内角和算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠CBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$，因此$∠ ABD=∠ A=42°$。
2. 已知$AB=AC$，$∠ A=42°$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-42°}{2}=69°$。
3. 计算$∠ CBD$：$∠ CBD=∠ ABC-∠ ABD=69°-42°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题关键是先判断出所作直线为AB的垂直平分线，再结合等腰三角形的角度计算方法求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的含义：题目中作图方法是作线段AB的垂直平分线，因此MN是AB的垂直平分线。根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；再结合△ABC是等腰三角形，已知顶角∠A的度数，可利用三角形内角和算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠CBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$，因此$∠ ABD=∠ A=42°$。
2. 已知$AB=AC$，$∠ A=42°$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-42°}{2}=69°$。
3. 计算$∠ CBD$：$∠ CBD=∠ ABC-∠ ABD=69°-42°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题关键是先判断出所作直线为AB的垂直平分线，再结合等腰三角形的角度计算方法求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
