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1. 在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（
A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 - 16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 16$
D
）A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 - 16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 16$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需满足3个要求：①是两项式；②两项均可写成某个整式的平方形式；③两项符号相反（一正一负）。接下来按照该标准逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $a^2 + b^2$：两项符号均为正，不满足“一正一负”的要求，不能用平方差公式分解，排除；
B. $4m^2 - 16m$：第二项$16m$是一次项，不能写成整式的平方形式，不符合要求，排除；
C. $-x^2 - y^2$：两项符号均为负，提取负号后为$-(x^2 + y^2)$，括号内仍是两项相加，不符合要求，排除；
D. $-x^2 + 16$：可变形为$4^2 - x^2$，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式要求，可分解为$(4+x)(4-x)$，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式结构识别
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，属于基础题型，解题关键是牢记平方差公式分解因式对应的多项式特点，熟练掌握公式特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需满足3个要求：①是两项式；②两项均可写成某个整式的平方形式；③两项符号相反（一正一负）。接下来按照该标准逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $a^2 + b^2$：两项符号均为正，不满足“一正一负”的要求，不能用平方差公式分解，排除；
B. $4m^2 - 16m$：第二项$16m$是一次项，不能写成整式的平方形式，不符合要求，排除；
C. $-x^2 - y^2$：两项符号均为负，提取负号后为$-(x^2 + y^2)$，括号内仍是两项相加，不符合要求，排除；
D. $-x^2 + 16$：可变形为$4^2 - x^2$，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式要求，可分解为$(4+x)(4-x)$，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式结构识别
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，属于基础题型，解题关键是牢记平方差公式分解因式对应的多项式特点，熟练掌握公式特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知$ m + n = 2 $，则$ m^2 - n^2 + 4n $的值是（
A.2
B.6
C.4
D.8
C
）A.2
B.6
C.4
D.8
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先观察待求式的结构，发现式子中$m^2 - n^2$符合平方差公式的特征，因此第一步可利用平方差公式对该部分因式分解；再将已知条件$m+n=2$整体代入分解后的式子，对得到的整式进行去括号、合并同类项化简；最后整理出含$m+n$的形式，再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值，可简化计算。
【解析】
解：已知$m + n = 2$，对待求式变形计算如下：
$\begin{aligned}m^2 - n^2 + 4n&=(m+n)(m-n) + 4n \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式）}\\&=2(m-n) + 4n \quad \mathrm{（代入$m+n=2$）}\\&=2m - 2n + 4n \quad \mathrm{（去括号）}\\&=2m + 2n \quad \mathrm{（合并同类项）}\\&=2(m+n) \quad \mathrm{（提取公因式2）}\\&=2×2=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型习题，解题关键是结合式子特征灵活选用因式分解的方法变形，巧用整体代入思想简化计算，避免了单独求解字母取值的繁琐。
【难度系数】
0.75
解题时先观察待求式的结构，发现式子中$m^2 - n^2$符合平方差公式的特征，因此第一步可利用平方差公式对该部分因式分解；再将已知条件$m+n=2$整体代入分解后的式子，对得到的整式进行去括号、合并同类项化简；最后整理出含$m+n$的形式，再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值，可简化计算。
【解析】
解：已知$m + n = 2$，对待求式变形计算如下：
$\begin{aligned}m^2 - n^2 + 4n&=(m+n)(m-n) + 4n \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式）}\\&=2(m-n) + 4n \quad \mathrm{（代入$m+n=2$）}\\&=2m - 2n + 4n \quad \mathrm{（去括号）}\\&=2m + 2n \quad \mathrm{（合并同类项）}\\&=2(m+n) \quad \mathrm{（提取公因式2）}\\&=2×2=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、整式化简、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型习题，解题关键是结合式子特征灵活选用因式分解的方法变形，巧用整体代入思想简化计算，避免了单独求解字母取值的繁琐。
【难度系数】
0.75
3. 对于任何整数 $ a $（$ a ≠ 0 $），多项式$ (3a+5)^2 - 4 $都能 （
A.被9整除
B.被$ a $整除
C.被3整除
D.被$ a - 1 $整除
C
）A.被9整除
B.被$ a $整除
C.被3整除
D.被$ a - 1 $整除
答案
3. C
解析
【分析】
要判断多项式能被哪个数或整式整除，核心思路是先对多项式因式分解，观察分解结果中包含的公因数或公因式。本题中的多项式为平方减常数的形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先使用平方差公式分解因式，再对分解后的因式化简分析，最后结合选项验证即可。
【解析】
先利用平方差公式对多项式因式分解：
原式$=(3a+5)^2 - 2^2$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=3a+5$，$n=2$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(3a+5+2)(3a+5-2)\\&=(3a+7)(3a+3)\\&=3(3a+7)(a+1)\end{aligned}$
分解结果中含有固定因数3，且$a$为非0整数，因此该多项式一定能被3整除。
逐一排除其余选项：
A. 当$a=1$时，原式$=3×(3+7)×(1+1)=60$，$60$不能被9整除，错误；
B. 当$a=2$时，原式$=3×(6+7)×(2+1)=117$，$117$不能被2整除，错误；
D. 当$a=8$时，原式$=3×(24+7)×(8+1)=837$，$837$不能被$8-1=7$整除，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的应用，整除判断
【点评】
本题考查因式分解在整除判断中的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确分解因式后结合特值法排除错误选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能被哪个数或整式整除，核心思路是先对多项式因式分解，观察分解结果中包含的公因数或公因式。本题中的多项式为平方减常数的形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先使用平方差公式分解因式，再对分解后的因式化简分析，最后结合选项验证即可。
【解析】
先利用平方差公式对多项式因式分解：
原式$=(3a+5)^2 - 2^2$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=3a+5$，$n=2$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(3a+5+2)(3a+5-2)\\&=(3a+7)(3a+3)\\&=3(3a+7)(a+1)\end{aligned}$
分解结果中含有固定因数3，且$a$为非0整数，因此该多项式一定能被3整除。
逐一排除其余选项：
A. 当$a=1$时，原式$=3×(3+7)×(1+1)=60$，$60$不能被9整除，错误；
B. 当$a=2$时，原式$=3×(6+7)×(2+1)=117$，$117$不能被2整除，错误；
D. 当$a=8$时，原式$=3×(24+7)×(8+1)=837$，$837$不能被$8-1=7$整除，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的应用，整除判断
【点评】
本题考查因式分解在整除判断中的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确分解因式后结合特值法排除错误选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4. 分解因式：(1) $(x-1)^2 - 9$；
(2) $16(a-b)^2 - 9(a+b)^2$。
(2) $16(a-b)^2 - 9(a+b)^2$。
答案
解 (1) 原式$=[(x-1)+3][(x-1)-3]=(x+2)(x-4).$
(2) 原式$=[4(a-b)-3(a+b)][4(a-b)+3(a+b)]=(a-7b)(7a-b).$
(2) 原式$=[4(a-b)-3(a+b)][4(a-b)+3(a+b)]=(a-7b)(7a-b).$
解析
【分析】
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：两个数的平方相减，即$a^2-b^2$的形式，解题思路为：①先确定平方差公式中对应的$a$和$b$；②代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；③对展开后的括号去括号、合并同类项，得到最简因式分解结果。
【解析】
(1) 观察原式可变形为平方差形式，将$(x-1)$看作公式中的$a$，$3$看作公式中的$b$：
原式$=(x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式得：
$=[(x-1)+3][(x-1)-3]$
分别化简两个括号内的整式：
$=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)$
(2) 先将原式的两项转化为平方形式，将$4(a-b)$看作公式中的$a$，$3(a+b)$看作公式中的$b$：
原式$=[4(a-b)]^2 - [3(a+b)]^2$
根据平方差公式得：
$=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]$
分别去括号、合并同类项化简：
第一个括号：$4a-4b+3a+3b=7a-b$
第二个括号：$4a-4b-3a-3b=a-7b$
因此原式$=(7a-b)(a-7b)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x-4)}$；(2) $\boldsymbol{(a-7b)(7a-b)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需注意分解后要对括号内的整式合并同类项，保证因式分解结果最简。
【难度系数】
0.85
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：两个数的平方相减，即$a^2-b^2$的形式，解题思路为：①先确定平方差公式中对应的$a$和$b$；②代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；③对展开后的括号去括号、合并同类项，得到最简因式分解结果。
【解析】
(1) 观察原式可变形为平方差形式，将$(x-1)$看作公式中的$a$，$3$看作公式中的$b$：
原式$=(x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式得：
$=[(x-1)+3][(x-1)-3]$
分别化简两个括号内的整式：
$=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)$
(2) 先将原式的两项转化为平方形式，将$4(a-b)$看作公式中的$a$，$3(a+b)$看作公式中的$b$：
原式$=[4(a-b)]^2 - [3(a+b)]^2$
根据平方差公式得：
$=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]$
分别去括号、合并同类项化简：
第一个括号：$4a-4b+3a+3b=7a-b$
第二个括号：$4a-4b-3a-3b=a-7b$
因此原式$=(7a-b)(a-7b)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x-4)}$；(2) $\boldsymbol{(a-7b)(7a-b)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需注意分解后要对括号内的整式合并同类项，保证因式分解结果最简。
【难度系数】
0.85
5. 已知$x - y = 3$，$y - z = 3$，$x + z = 14$，求$x^2 - z^2$的值.
答案
5. 解 因为$x-z=(x-y)+(y-z)=6$，$x+z=14$，所以$x^2-z^2=(x+z)(x-z)=14×6=84.$
解析
【分析】
要求$x^2 - z^2$的值，首先观察该式的结构，符合平方差公式的形式，可因式分解为$(x+z)(x-z)$。已知条件已经给出$x+z=14$，因此只需算出$x-z$的值即可求解。再看已知的$x-y=3$和$y-z=3$，将两个等式左右两边分别相加，可消去中间量$y$，直接得到$x-z$的值，无需单独计算$x$、$z$的具体数值，用整体代入法更简便。
【解析】
首先计算$x-z$的值：
$\because x-z=(x-y)+(y-z)$，
将$x-y=3$，$y-z=3$代入上式，得$x-z=3+3=6$。
根据平方差公式可得：
$x^2-z^2=(x+z)(x-z)$，
将$x+z=14$，$x-z=6$代入，得：
$x^2-z^2=14×6=84$。
【答案】
84
【知识点】
平方差公式，整体代入，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用平方差公式对所求式子变形，再通过整式的加减运算整体求出未知代数式的值，避免了单独求解各个未知数的繁琐计算，需要养成观察式子结构特征的习惯。
【难度系数】
0.7
要求$x^2 - z^2$的值，首先观察该式的结构，符合平方差公式的形式，可因式分解为$(x+z)(x-z)$。已知条件已经给出$x+z=14$，因此只需算出$x-z$的值即可求解。再看已知的$x-y=3$和$y-z=3$，将两个等式左右两边分别相加，可消去中间量$y$，直接得到$x-z$的值，无需单独计算$x$、$z$的具体数值，用整体代入法更简便。
【解析】
首先计算$x-z$的值：
$\because x-z=(x-y)+(y-z)$，
将$x-y=3$，$y-z=3$代入上式，得$x-z=3+3=6$。
根据平方差公式可得：
$x^2-z^2=(x+z)(x-z)$，
将$x+z=14$，$x-z=6$代入，得：
$x^2-z^2=14×6=84$。
【答案】
84
【知识点】
平方差公式，整体代入，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用平方差公式对所求式子变形，再通过整式的加减运算整体求出未知代数式的值，避免了单独求解各个未知数的繁琐计算，需要养成观察式子结构特征的习惯。
【难度系数】
0.7
