把一个圆分成相等的一些弧，顺次连接这些等分点，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的。

内接正多边形 外接圆

1. 正多边形的有关概念

1.每一边 圆心 一边

2. 正多边形的有关计算
(1) 内角：正$n$边形每一个角都相等，每一个内角为。
(2) 中心角：正$n$边形有个中心角，所有中心角的和是，因此，每一个中心角是。
(3) 外角：正$n$边形的外角和是，因此，每一个外角是。正多边形的中心角与外角。

2.
(1)$\frac{(n - 2)\cdot180°}{n}$
(2)n $360°$ $\frac{360°}{n}$
(3)$360°$ $\frac{360°}{n}$ 相等

 学习任务三 正$n$边形的作法
以正六边形为例，画一个边长为$R$的正六边形。
(1) 一般作法：边长为$R$的正六边形的半径是，中心角是，因此以为半径作一个圆，用量角器画一个的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧的弧，就得到圆的$6$个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形。利用这种方法，可以画出任意的正$n$边形。
(2) 特殊作法：边长为$R$的正六边形的半径是，因此，在半径为的圆上依次截取长度为的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点，即可得到正六边形。

(1)R $60°$ R $60°$ 相等
(2)R R R

1. 中心角为$30^{\circ}$的正$n$边形的边数$n$等于。

1.12

2. 各条边，并且各个也相等的多边形叫做正多边形。

2.相等 角

3. 正十边形的一个内角等于，一个外角等于，中心角等于。

3.$144°$ $36°$ $36°$

【例 1】如图 24.3 - 1，五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E$。求证：五边形$ABCDE$是正五边形。
证明：

证明:因为$\angle A = \angle B$,$\angle A$对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$,$\angle B$对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$,所以$\overset{\frown}{BDE} = \overset{\frown}{CDA}$.所以$\overset{\frown}{BDE} - \overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CDA} - \overset{\frown}{CE}$,即$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AE}$.所以$BC = AE$.同理可证其余各边都相等.所以五边形ABCDE是正五边形.

证明：因为五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$\angle A = \angle B$，$\angle A$对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$，$\angle B$对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$，所以$\overset{\frown}{BDE} = \overset{\frown}{CDA}$。
所以$\overset{\frown}{BDE} - \overset{\frown}{CDE} = \overset{\frown}{CDA} - \overset{\frown}{CDE}$，即$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AE}$，所以$BC = AE$。
同理，由$\angle B = \angle C$可得$\overset{\frown}{CDA} = \overset{\frown}{DEB}$，从而$\overset{\frown}{CDA} - \overset{\frown}{DAE} = \overset{\frown}{DEB} - \overset{\frown}{DAE}$，即$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{AB}$，所以$CD = AB$。
由$\angle C = \angle D$可得$\overset{\frown}{DEB} = \overset{\frown}{EAC}$，从而$\overset{\frown}{DEB} - \overset{\frown}{EAB} = \overset{\frown}{EAC} - \overset{\frown}{EAB}$，即$\overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{BC}$，所以$DE = BC$。
由$\angle D = \angle E$可得$\overset{\frown}{EAC} = \overset{\frown}{ABD}$，从而$\overset{\frown}{EAC} - \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{ABC}$，即$\overset{\frown}{EA} = \overset{\frown}{DE}$，所以$EA = DE$。
综上，$AB = BC = CD = DE = EA$，又五边形$ABCDE$各内角相等，所以五边形$ABCDE$是正五边形。