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1. 如图 24.3 - 2，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接等腰三角形，$\angle BAC = 36^{\circ}$，弦$BD$，$CE$分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$。求证：五边形$AEBCD$是正五边形。
答案
1.证明:因为$AB = AC$,所以$\angle ABC = \angle ACB$.因为$\angle BAC = 36°$,所以$\angle ABC = \angle ACB = 72°$.又因为BD,CE分别平分$\angle ABC$,$\angle ACB$,所以$\angle BAC = \angle BCE = \angle ACE = \angle ABD = \angle DBC = 36°$.所以$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BE} = \overset{\frown}{EA} = \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$.所以五边形AEBCD为正五边形.
解析
证明：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180° - 36°}{2}=72°$。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{72°}{2}=36°$，∠ACE=∠BCE=$\frac{72°}{2}=36°$。
∴∠BAC=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°。
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
∴五边形AEBCD是正五边形。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180° - 36°}{2}=72°$。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{72°}{2}=36°$，∠ACE=∠BCE=$\frac{72°}{2}=36°$。
∴∠BAC=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°。
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
∴五边形AEBCD是正五边形。
【例 2】如图 24.3 - 3，$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，$\odot O$的半径是$2$，则正六边形$ABCDEF$的面积为。
答案
连接OA、OB，过O作OH⊥AB于H。
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2。
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=1，
在Rt△AOH中，OH=$\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}×AB×OH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×S△AOB=6$\sqrt{3}$。
6$\sqrt{3}$
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2。
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=1，
在Rt△AOH中，OH=$\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}×AB×OH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×S△AOB=6$\sqrt{3}$。
6$\sqrt{3}$
2. 一硬币的直径为$24mm$，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
12 mm
。答案
2.12 mm
解析
要使硬币能完全覆盖正六边形，正六边形的外接圆直径不能超过硬币直径$24\,mm$，即外接圆半径$r = 12\,mm$。
正六边形的外接圆半径等于其边长，因此边长最大为$12\,mm$。
12 mm
正六边形的外接圆半径等于其边长，因此边长最大为$12\,mm$。
12 mm
【例 3】如图 24.3 - 4，用量角器和圆规等分圆周的方法，画$\odot O$的内接正十二边形。
答案
解:画法:
(1)如答图24.3 - 1,作半径OA;
(2)以点O为顶点,OA为一边,作$\angle AOB = 30°$,交$\odot O$于点B,连接AB;
(3)以点B为圆心,AB为半径画弧,交$\odot O$于点C;以点C为圆心,AB为半径画弧,交$\odot O$于点D;顺次画弧,得到分点E,F,G,H,I,J,K,L;
(4)顺次连接各分点,得到十二边形ABCDEFGHIJKL.十二边形ABCDEFGHIJKL就是所求的正十二边形.+
3. 已知$\odot O$和$\odot O$上的一点$A$，如图 24.3 - 5，作$\odot O$的内接正八边形。（保留作图痕迹，不写作法）
答案
3.解:如答图24.3 - 2所示.正八边形ALMCNKHI即为所求.
1. 如图 24.3 - 6，正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，若直线$PA$与$\odot O$相切于点$A$，则$\angle PAB=$(
A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A
)A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
1.A
解析
解：连接OA、OB。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴$\angle AOB=\frac{360°}{6}=60°$，OA=OB，
∴$\triangle AOB$是等边三角形，$\angle OAB=60°$。
∵PA是$\odot O$的切线，
∴OA⊥PA，$\angle OAP=90°$，
∴$\angle PAB=\angle OAP-\angle OAB=90°-60°=30°$。
答案：A
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴$\angle AOB=\frac{360°}{6}=60°$，OA=OB，
∴$\triangle AOB$是等边三角形，$\angle OAB=60°$。
∵PA是$\odot O$的切线，
∴OA⊥PA，$\angle OAP=90°$，
∴$\angle PAB=\angle OAP-\angle OAB=90°-60°=30°$。
答案：A
2. 已知圆内接正三角形的边心距为$1$，则这个正三角形的面积为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
B
)A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
设圆内接正三角形的边长为$a$，边心距为$r = 1$。
连接圆心与正三角形的一个顶点，再向对边作垂线（即边心距），形成一个含$30°$角的直角三角形，其中边心距$r$所对的角为$30°$，斜边为圆的半径$R$，另一条直角边为$\frac{a}{2}$。
在该直角三角形中，$\tan30°=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{a}$，因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{2}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a = 2\sqrt{3}$。
正三角形的面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×12 = 3\sqrt{3}$。
B
连接圆心与正三角形的一个顶点，再向对边作垂线（即边心距），形成一个含$30°$角的直角三角形，其中边心距$r$所对的角为$30°$，斜边为圆的半径$R$，另一条直角边为$\frac{a}{2}$。
在该直角三角形中，$\tan30°=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{a}$，因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{2}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a = 2\sqrt{3}$。
正三角形的面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×12 = 3\sqrt{3}$。
B
3. 边长为$a$的正方形的外接圆的半径为
$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
。答案
3.$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
4. (江苏无锡中考)如图 24.3 - 7，已知等边三角形$ABC$，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
(1) 作$\triangle ABC$的外心$O$；
(2) 设$D$是$AB$边上一点，在图中作出一个正六边形$DEFGHI$，使点$F$，$H$分别在边$BC$和$AC$上。
(1) 作$\triangle ABC$的外心$O$；
(2) 设$D$是$AB$边上一点，在图中作出一个正六边形$DEFGHI$，使点$F$，$H$分别在边$BC$和$AC$上。
答案
4.解:
(1)$\triangle ABC$的外心O如答图24.3 - 3所示.
(2)正六边形DEFGHI如答图24.3 - 3所示.
