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B 级
9. 制作一块$3m × 2m$的长方形广告牌的成本是$120$元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的$3$倍，那么扩大后长方形广告牌的制作成本是(
A.$360$元
B.$720$元
C.$1080$元
D.$2160$元
9. 制作一块$3m × 2m$的长方形广告牌的成本是$120$元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的$3$倍，那么扩大后长方形广告牌的制作成本是(
C
).A.$360$元
B.$720$元
C.$1080$元
D.$2160$元
答案
9.C
解析
原长方形广告牌面积为$3×2 = 6\space m^2$，每平方米成本为$120÷6 = 20$元。
四边扩大为原来的3倍后，长变为$3×3 = 9\space m$，宽变为$2×3 = 6\space m$，面积为$9×6 = 54\space m^2$。
扩大后成本为$54×20 = 1080$元。
C
四边扩大为原来的3倍后，长变为$3×3 = 9\space m$，宽变为$2×3 = 6\space m$，面积为$9×6 = 54\space m^2$。
扩大后成本为$54×20 = 1080$元。
C
10. 如图，$DE// BC$，$CD$和$BE$相交于点$O$，$S_{\bigtriangleup DOE}:S_{\bigtriangleup COB} = 4:9$，则$AE$与$EC$的比为(
A.$2:1$
B.$2:3$
C.$4:9$
D.$5:4$
A
).A.$2:1$
B.$2:3$
C.$4:9$
D.$5:4$
答案
10.A
解析
证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle DOE \sim \triangle COB$（平行线截得的三角形相似）。
∵ $S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COB} = 4:9$，
∴ 相似比 $DE:BC = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$。
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（平行线截得的三角形相似），
∴ $AE:AC = DE:BC = 2:3$。
设 $AE = 2k$，则 $AC = 3k$，
∴ $EC = AC - AE = 3k - 2k = k$，
∴ $AE:EC = 2k:k = 2:1$。
答案：A
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle DOE \sim \triangle COB$（平行线截得的三角形相似）。
∵ $S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COB} = 4:9$，
∴ 相似比 $DE:BC = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$。
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（平行线截得的三角形相似），
∴ $AE:AC = DE:BC = 2:3$。
设 $AE = 2k$，则 $AC = 3k$，
∴ $EC = AC - AE = 3k - 2k = k$，
∴ $AE:EC = 2k:k = 2:1$。
答案：A
11. 如图，在梯形$ABCD$中，$AB// CD$，且$CD = 3AB$，$EF// CD$，$EF$将梯形$ABCD$分成面积相等的两部分，则$AE:ED$的值为(
A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
C
).A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
答案
11.C
解析
解：设$AB = a$，则$CD = 3a$，设$AE:ED = k$，$ED = m$，则$AE = km$，$AD = (k + 1)m$。
延长$AD$，$BC$交于点$O$，设$OA = x$。
因为$AB// CD$，所以$\triangle OAB\sim\triangle ODC$，$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，则$OD = 3x$，$AD = OD - OA = 2x$，即$(k + 1)m = 2x$，$x=\frac{(k + 1)m}{2}$。
$OE = OA + AE = x + km=\frac{(k + 1)m}{2}+km=\frac{(3k + 1)m}{2}$。
因为$EF// AB$，所以$\triangle OEF\sim\triangle OAB$，$\frac{EF}{AB}=\frac{OE}{OA}=\frac{\frac{(3k + 1)m}{2}}{\frac{(k + 1)m}{2}}=\frac{3k + 1}{k + 1}$，则$EF=\frac{3k + 1}{k + 1}a$。
梯形$ABFE$面积$S_1=\frac{1}{2}(AB + EF)· h_1$，梯形$EFCD$面积$S_2=\frac{1}{2}(EF + CD)· h_2$，且$S_1 = S_2$。
又$\frac{h_1}{h_2}=\frac{AE}{ED}=k$，设$h_2 = n$，则$h_1 = kn$。
$\frac{1}{2}(a+\frac{3k + 1}{k + 1}a)· kn=\frac{1}{2}(\frac{3k + 1}{k + 1}a + 3a)· n$，化简得$k(2k + 2)=4k + 4$，即$k^2 - k - 1 = 0$，解得$k=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
答案：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
延长$AD$，$BC$交于点$O$，设$OA = x$。
因为$AB// CD$，所以$\triangle OAB\sim\triangle ODC$，$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，则$OD = 3x$，$AD = OD - OA = 2x$，即$(k + 1)m = 2x$，$x=\frac{(k + 1)m}{2}$。
$OE = OA + AE = x + km=\frac{(k + 1)m}{2}+km=\frac{(3k + 1)m}{2}$。
因为$EF// AB$，所以$\triangle OEF\sim\triangle OAB$，$\frac{EF}{AB}=\frac{OE}{OA}=\frac{\frac{(3k + 1)m}{2}}{\frac{(k + 1)m}{2}}=\frac{3k + 1}{k + 1}$，则$EF=\frac{3k + 1}{k + 1}a$。
梯形$ABFE$面积$S_1=\frac{1}{2}(AB + EF)· h_1$，梯形$EFCD$面积$S_2=\frac{1}{2}(EF + CD)· h_2$，且$S_1 = S_2$。
又$\frac{h_1}{h_2}=\frac{AE}{ED}=k$，设$h_2 = n$，则$h_1 = kn$。
$\frac{1}{2}(a+\frac{3k + 1}{k + 1}a)· kn=\frac{1}{2}(\frac{3k + 1}{k + 1}a + 3a)· n$，化简得$k(2k + 2)=4k + 4$，即$k^2 - k - 1 = 0$，解得$k=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
答案：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
12. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$是$BC$的中点，点$F$是$BE$的中点，$AE$与$DF$相交于点$H$，求$S_{\bigtriangleup EFH}:S_{\bigtriangleup ADH}$的值.
答案
12.$\frac{1}{16}$.
解析
证明：设 $ BC = 4a $，则 $ BE = 2a $，$ EF = a $，$ AD = 4a $。
因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ AD // BC $，$\angle ADH = \angle EFH$，$\angle DAH = \angle FEH$。
所以 $\triangle EFH \sim \triangle ADH$，相似比为 $\frac{EF}{AD} = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4}$。
因此，$ S_{\triangle EFH}:S_{\triangle ADH} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} $。
$\frac{1}{16}$
因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ AD // BC $，$\angle ADH = \angle EFH$，$\angle DAH = \angle FEH$。
所以 $\triangle EFH \sim \triangle ADH$，相似比为 $\frac{EF}{AD} = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4}$。
因此，$ S_{\triangle EFH}:S_{\triangle ADH} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} $。
$\frac{1}{16}$
13. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，点$D$在$BC$上，点$E$在$AB$上，且$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$，如果$\bigtriangleup ABC$，$\bigtriangleup EBD$，$\bigtriangleup ADC$的周长依次为$m_1$，$m_2$，$m_3$，$BD = 6$，$DC = 2$，求$\frac{m_2 + m_3}{m_1}$的值.
答案
13.$\frac{5}{4}$.
解析
证明：设$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = \alpha$。
在$\triangle ABC$和$\triangle EBD$中，$\angle B = \angle B$，$\angle 1 = \angle 2$，故$\triangle ABC \sim \triangle EBD$，相似比$k_1 = \frac{BD}{BC} = \frac{6}{6 + 2} = \frac{3}{4}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DAC$中，$\angle C = \angle C$，$\angle 2 = \angle 3$，故$\triangle ABC \sim \triangle DAC$，相似比$k_2 = \frac{DC}{AC} = \frac{AC}{BC}$，即$AC^2 = DC · BC = 2 × 8 = 16$，$AC = 4$，$k_2 = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
设$\triangle ABC$周长$m_1 = C$，则$\triangle EBD$周长$m_2 = k_1 C = \frac{3}{4}C$，$\triangle ADC$周长$m_3 = k_2 C = \frac{1}{2}C$。
$\frac{m_2 + m_3}{m_1} = \frac{\frac{3}{4}C + \frac{1}{2}C}{C} = \frac{5}{4}$。
$\frac{5}{4}$
在$\triangle ABC$和$\triangle EBD$中，$\angle B = \angle B$，$\angle 1 = \angle 2$，故$\triangle ABC \sim \triangle EBD$，相似比$k_1 = \frac{BD}{BC} = \frac{6}{6 + 2} = \frac{3}{4}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DAC$中，$\angle C = \angle C$，$\angle 2 = \angle 3$，故$\triangle ABC \sim \triangle DAC$，相似比$k_2 = \frac{DC}{AC} = \frac{AC}{BC}$，即$AC^2 = DC · BC = 2 × 8 = 16$，$AC = 4$，$k_2 = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
设$\triangle ABC$周长$m_1 = C$，则$\triangle EBD$周长$m_2 = k_1 C = \frac{3}{4}C$，$\triangle ADC$周长$m_3 = k_2 C = \frac{1}{2}C$。
$\frac{m_2 + m_3}{m_1} = \frac{\frac{3}{4}C + \frac{1}{2}C}{C} = \frac{5}{4}$。
$\frac{5}{4}$
