14. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$DE// FG// BC$，$GI// EH// AB$，若$\bigtriangleup ADE$，$\bigtriangleup EFG$，$\bigtriangleup GIC$的面积分别为$20$，$45$，$80$，求$\bigtriangleup ABC$的面积.

14.405.

证明：设$\triangle ADE$，$\triangle EFG$，$\triangle GIC$的相似比为$k_1:k_2:k_3$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$k_1^2:k_2^2:k_3^2 = 20:45:80 = 4:9:16$，则$k_1:k_2:k_3 = 2:3:4$。
设$AD = 2x$，由$DE// FG$，$GI// EH$，可得$EF = 3x$，$FG = 4x$，进而$AB = AD + EF + FG = 2x + 3x + 4x = 9x$。
$\triangle ADE$与$\triangle ABC$的相似比为$2x:9x = 2:9$，面积比为$4:81$。
设$\triangle ABC$面积为$S$，则$\frac{20}{S} = \frac{4}{81}$，解得$S = 405$。
$\triangle ABC$的面积为$405$。

15. (1)【问题背景】如图①，在$\bigtriangleup ABC$中，$DE// BC$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，过点$E$作$EF// AB$交$BC$于点$F$.请按图示数据填空：
四边形$DBFE$的面积$S =$；
$\bigtriangleup EFC$的面积$S_1 =$；
$\bigtriangleup ADE$的面积$S_2 =$.

(2)【探究发现】在(1)中，若$BF = a$，$FC = b$，$DE$与$BC$间的距离为$h$，请证明$S^{2} = 4S_1S_2$.
(3)【拓展迁移】如图②，$□ DEFG$的四个顶点在$\bigtriangleup ABC$的三条边上，若$\bigtriangleup ADG$，$\bigtriangleup DBE$，$\bigtriangleup GFC$的面积分别为$2$，$5$，$3$，试利用(2)中的结论求$\bigtriangleup ABC$的面积.

15.(1)S=6,S1=9,S2=1.
　(2)
∵DE//BC,EF//AB,
　
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF.
　
∴△ADE∽△EFC,$\frac{S_2}{S_1}=(\frac{DE}{FC})^2=\frac{a^2}{b^2}$.
　
∵S1=$\frac{1}{2}$bh,
∴S2=$\frac{a^2}{b^2}· S_1=\frac{a^2h}{2b}$.
　
∴4S1S2=4·$\frac{1}{2}$bh·$\frac{a^2h}{2b}$=(ah)².
　而S=ah,
∴S²=4S1S2.
　(3)如图，过点G作GH//AB交BC于点H，则四边形DBHG为平行四边形，
　　　　　　　　　
　
∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH.
　
∵四边形DEFG为平行四边形，
　
∴DG=EF.
∴BH=EF.
　
∴BE=HF.
　
∴△DBE≌△GHF.
　
∴S△GHC=S△GHF+S△GFC=5+3=8.
　　由(2)得,S□DBHG=2$\sqrt{2×8}$=8.
　
∴S△ABC=2+8+8=18.