4. 如图，点M在∠AOB的内部，P为射线OA上的一个动点，Q为射线OB上的一个动点. 求作点P，Q，使得MP + PQ + QM的长最短.

解：如图所示，点 $P$ 和点 $Q$ 即为所求

【例2】阅读课本上的“造桥选址”问题(如图)后，证明AM + MN + NB最短.

已知：直线a//b，MN是a、b间垂直于两直线的线段（桥），A在a外一侧，B在b外一侧.
求证：AM + MN + NB最短.
证明：
1. 过A作AA'⊥a（因a//b，故AA'⊥b），且AA' = MN，得点A'.
2. 连A'B交b于N，过N作NM⊥a于M，连AM.
3. ∵AA'//MN且AA' = MN，∴四边形AA'NM是平行四边形，∴AM = A'N.
4. ∴AM + MN + NB = A'N + MN + NB = MN + (A'N + NB).
5. ∵MN为a、b间距离（定值），要使AM + MN + NB最短，需A'N + NB最短.
6. 由两点之间线段最短，A'N + NB ≥ A'B（当N在A'B上时取等号）.
7. ∴AM + MN + NB = MN + A'B为最短.
综上，AM + MN + NB最短.

5. 如图，两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现欲在河岸边建一个长度为s m的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小. 请在图中画出绿化带的位置. (保留作图痕迹，不写作法)

解：如图所示，线段CD即为所求绿化带位置。

6. 如图，A和B两地之间有两条平行的河流，现要在两条河上各造一座桥MN和EF，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直，保留作图痕迹，不写作法)

解：如图所示，MN和EF即为所求建桥位置。