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11. 如图所示,两个足够高的薄壁轻质圆柱形容器 A、B(底面积大小关系为 S₍A₎＞S₍B₎)置于水平地面上,容器中分别盛有体积相等的液体甲和乙,它们对各自容器底部的压强相等。下列选项中,一定能使甲液体对容器底部的压强大于乙液体对容器底部压强的操作是(
① 分别倒入相同深度的液体甲和乙；② 分别倒入相同质量的液体甲和乙；③ 分别倒入相同体积的液体甲和乙；④ 分别抽出相同体积的液体甲和乙。
A.①
B.②③
C.①④
D.①②③
A
)① 分别倒入相同深度的液体甲和乙；② 分别倒入相同质量的液体甲和乙；③ 分别倒入相同体积的液体甲和乙；④ 分别抽出相同体积的液体甲和乙。
A.①
B.②③
C.①④
D.①②③
答案
A
解析
已知$V_{甲}=V_{乙}$，$S_{A}＞S_{B}$，由$h = \frac{V}{S}$得$h_{甲}＜h_{乙}$；$p_{甲}=p_{乙}$，由$p=\rho gh$得$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$。
①倒入相同深度$\Delta h$：$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\Delta h$，$\Delta p_{乙}=\rho_{乙}g\Delta h$，因为$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$，所以$\Delta p_{甲}＞\Delta p_{乙}$，则$p_{甲}+\Delta p_{甲}＞p_{乙}+\Delta p_{乙}$，可行。
②倒入相同质量$m$：$\Delta h_{甲}=\frac{m}{\rho_{甲}S_{A}}$，$\Delta h_{乙}=\frac{m}{\rho_{乙}S_{B}}$，$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\Delta h_{甲}=\frac{mg}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}=\frac{mg}{S_{B}}$，因为$S_{A}＞S_{B}$，所以$\Delta p_{甲}＜\Delta p_{乙}$，$p_{甲}+\Delta p_{甲}$与$p_{乙}+\Delta p_{乙}$大小不确定，不可行。
③倒入相同体积$V$：$\Delta h_{甲}=\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta h_{乙}=\frac{V}{S_{B}}$，$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}=\rho_{乙}g\frac{V}{S_{B}}$，因$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$、$S_{A}＞S_{B}$，无法确定$\Delta p_{甲}$与$\Delta p_{乙}$大小，不可行。
④抽出相同体积$V$：$\Delta h_{甲}'=\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta h_{乙}'=\frac{V}{S_{B}}$，$\Delta p_{甲}'=\rho_{甲}g\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}'=\rho_{乙}g\frac{V}{S_{B}}$，无法确定$\Delta p_{甲}'$与$\Delta p_{乙}'$大小，不可行。
结论：只有①可行。
A
①倒入相同深度$\Delta h$：$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\Delta h$，$\Delta p_{乙}=\rho_{乙}g\Delta h$，因为$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$，所以$\Delta p_{甲}＞\Delta p_{乙}$，则$p_{甲}+\Delta p_{甲}＞p_{乙}+\Delta p_{乙}$，可行。
②倒入相同质量$m$：$\Delta h_{甲}=\frac{m}{\rho_{甲}S_{A}}$，$\Delta h_{乙}=\frac{m}{\rho_{乙}S_{B}}$，$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\Delta h_{甲}=\frac{mg}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}=\frac{mg}{S_{B}}$，因为$S_{A}＞S_{B}$，所以$\Delta p_{甲}＜\Delta p_{乙}$，$p_{甲}+\Delta p_{甲}$与$p_{乙}+\Delta p_{乙}$大小不确定，不可行。
③倒入相同体积$V$：$\Delta h_{甲}=\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta h_{乙}=\frac{V}{S_{B}}$，$\Delta p_{甲}=\rho_{甲}g\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}=\rho_{乙}g\frac{V}{S_{B}}$，因$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$、$S_{A}＞S_{B}$，无法确定$\Delta p_{甲}$与$\Delta p_{乙}$大小，不可行。
④抽出相同体积$V$：$\Delta h_{甲}'=\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta h_{乙}'=\frac{V}{S_{B}}$，$\Delta p_{甲}'=\rho_{甲}g\frac{V}{S_{A}}$，$\Delta p_{乙}'=\rho_{乙}g\frac{V}{S_{B}}$，无法确定$\Delta p_{甲}'$与$\Delta p_{乙}'$大小，不可行。
结论：只有①可行。
A
12. 如图所示,a、b、c、d 为某液体内部的四个点,它们刚好位于竖直平面内一长方形的四个顶点,液体在 a、b、d 三点的压强以及长方形的边长已在图中标注,则 c 点的液体压强沿 ______ (选填“竖直”或“各个”)方向,大小为 ______ kPa；该液体密度为$ ______ kg/m^3,a $点的深度为 ______ m。(g 取 10N/kg)
答案
各个；60；1×10³；1.2
解析
各个；60；$1×10^{3}$；1.2
13. 如图所示,上小下大的圆台形杯里盛有密度分别为$ ρ_1、$$ρ_2(ρ_1＜ρ_2)$分界清晰的两种液体,这时杯底受到液体的压强为 p₍A₎,如果把杯内液体搅拌均匀后(总体积不变),杯底受到液体的压强为 p₍B₎,比较 p₍A₎ 和 p₍B₎ 的大小,正确的是(
A.p₍A₎＞P₍B₎
B.p₍A₎= p₍B₎
C.p₍A₎＜p₍B₎
D.不能确定
C
)A.p₍A₎＞P₍B₎
B.p₍A₎= p₍B₎
C.p₍A₎＜p₍B₎
D.不能确定
答案
C
解析
设两种液体体积为$V_1$、$V_2$，总质量$m = \rho_1V_1+\rho_2V_2$。
未搅拌时，设下部液体高度$h_2$，上部液体高度$h_1$，杯底面积$S$。下部液体体积$V_2$对应高度$h_2$，因杯上小下大，上部液体$V_1$在$h_2$之上，其等效高度$h_1$满足$V_1 ＜ S h_1$（上部横截面积小于$S$）。杯底压强$p_A=\rho_2gh_2+\rho_1gh_1$。
搅拌后，混合液密度$\rho=\frac{m}{V_1+V_2}$，总高度$H$。因总体积不变，$V_1+V_2$对应的高度$H$，由于杯形，$H ＜ h_1 + h_2$（混合后液体充满整个杯高，平均横截面积大于上部液体的小横截面积）。但$\rho_2 ＞ \rho ＞ \rho_1$，且$\rho_2h_2+\rho_1h_1 ＞ \rho(h_1 + h_2)$（因$\rho_2 ＞ \rho$、$\rho_1 ＜ \rho$，下部高密度液体高度$h_2$对压强贡献更大）。又$p_B=\rho gH$，而$\rho(h_1 + h_2)g ＞ \rho gH$，且$\rho_2h_2+\rho_1h_1 ＞ \rho(h_1 + h_2)$，故$p_A ＞ p_B$不成立。
实际分析：因$\rho_1 ＜ \rho_2$，未搅拌时高密度液体在下部，对杯底压强贡献的高度$h_2$是真实高度（横截面积等于$S$），而低密度液体在上方，其高度$h_1$因上部横截面积小，等效高度大。搅拌后，高密度液体被“稀释”到整个高度$H$，平均密度$\rho$小于$\rho_2$，且$H$虽小于$h_1+h_2$，但$\rho_2h_2$的贡献远大于$\rho H$的贡献被削弱的部分。综上，$p_A ＜ p_B$错误，正确应为$p_A ＞ p_B$。
答案：A
未搅拌时，设下部液体高度$h_2$，上部液体高度$h_1$，杯底面积$S$。下部液体体积$V_2$对应高度$h_2$，因杯上小下大，上部液体$V_1$在$h_2$之上，其等效高度$h_1$满足$V_1 ＜ S h_1$（上部横截面积小于$S$）。杯底压强$p_A=\rho_2gh_2+\rho_1gh_1$。
搅拌后，混合液密度$\rho=\frac{m}{V_1+V_2}$，总高度$H$。因总体积不变，$V_1+V_2$对应的高度$H$，由于杯形，$H ＜ h_1 + h_2$（混合后液体充满整个杯高，平均横截面积大于上部液体的小横截面积）。但$\rho_2 ＞ \rho ＞ \rho_1$，且$\rho_2h_2+\rho_1h_1 ＞ \rho(h_1 + h_2)$（因$\rho_2 ＞ \rho$、$\rho_1 ＜ \rho$，下部高密度液体高度$h_2$对压强贡献更大）。又$p_B=\rho gH$，而$\rho(h_1 + h_2)g ＞ \rho gH$，且$\rho_2h_2+\rho_1h_1 ＞ \rho(h_1 + h_2)$，故$p_A ＞ p_B$不成立。
实际分析：因$\rho_1 ＜ \rho_2$，未搅拌时高密度液体在下部，对杯底压强贡献的高度$h_2$是真实高度（横截面积等于$S$），而低密度液体在上方，其高度$h_1$因上部横截面积小，等效高度大。搅拌后，高密度液体被“稀释”到整个高度$H$，平均密度$\rho$小于$\rho_2$，且$H$虽小于$h_1+h_2$，但$\rho_2h_2$的贡献远大于$\rho H$的贡献被削弱的部分。综上，$p_A ＜ p_B$错误，正确应为$p_A ＞ p_B$。
答案：A
