1. 如图所示,一副三角尺按图示四个位置摆放,其中∠α与∠β一定相等的是()

A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

解：①中∠α+∠β=90°，不一定相等；
②中∠α=∠β=45°；
③中∠α+∠β=180°，不一定相等；
④中∠α=∠β=60°。
∠α与∠β一定相等的是②④。
答案：D

2. 若一个锐角的补角比它的余角的3倍多10°,则这个锐角的大小是______。

解：设这个锐角的大小为$x$度。
因为互为余角的两个角的和为$90^{\circ}$，互为补角的两个角的和为$180^{\circ}$，所以这个锐角的余角为$(90 - x)^{\circ}$，补角为$(180 - x)^{\circ}$。
根据题意可列方程：$180 - x = 3(90 - x) + 10$
去括号得：$180 - x = 270 - 3x + 10$
移项得：$-x + 3x = 270 + 10 - 180$
合并同类项得：$2x = 100$
解得：$x = 50$
答：这个锐角的大小是$50^{\circ}$。

3. 如图所示,C为直线AB上一点,∠DCE为直角,CF平分∠ACD,CH平分∠BCD,CG平分∠BCE,各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠DCH互余；②∠HCG= 60°；③∠ECF与∠BCH互补；④∠ACF-∠BCG= 45°.
(1)其中正确的结论是(填序号).
(2)在(1)中选择一条结论说明理由.
选择结论①进行说明：
由于$CF$平分$\angle ACD$，$CH$平分$\angle BCD$，
根据角平分线的定义，有$\angle ACF=\angle FCD=\frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle DCH=\angle HCB=\frac{1}{2}\angle BCD$，
又因为$\angle ACD+\angle BCD=180^\circ$（直线上的邻补角），
所以$\angle FCD+\angle DCH=\frac{1}{2}(\angle ACD+\angle BCD)=\frac{1}{2}×180^\circ=90^\circ$，
根据余角的定义，如果两个角的和是$90^\circ$，则这两个角互余，
所以$\angle ACF$与$\angle DCH$互余。

【解析】：本题主要考查余角和补角的性质以及角平分线的定义。
（1）首先逐一分析每个结论：
①由于$CF$平分$\angle ACD$，$CH$平分$\angle BCD$，
所以$\angle ACF=\angle FCD=\frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle DCH=\angle HCB=\frac{1}{2}\angle BCD$，
因为$\angle ACD+\angle BCD=180^\circ$（直线上的邻补角），
所以$\angle FCD+\angle DCH=\frac{1}{2}(\angle ACD+\angle BCD)=90^\circ$，
所以$\angle ACF$与$\angle DCH$互余，故①正确。
②由于$CH$平分$\angle BCD$，$CG$平分$\angle BCE$，
所以$\angle DCH=\frac{1}{2}\angle BCD$，$\angle BCG=\frac{1}{2}\angle BCE$，
但$\angle BCD+\angle BCE$并不等于$120^\circ$（除非有额外条件），
所以$\angle HCG=\angle DCH+\angle BCG\neq60^\circ$（一般情况下），故②错误。
③由于$CF$平分$\angle ACD$，$CH$平分$\angle BCD$，$CG$平分$\angle BCE$，
所以$\angle ECF=\angle FCD+90^\circ$（因为$\angle DCE=90^\circ$），
$\angle BCH=\frac{1}{2}\angle BCD$，
又因为$\angle FCD+\angle DCH=90^\circ$，
所以$\angle ECF+\angle BCH=(\angle FCD+90^\circ)+\frac{1}{2}\angle BCD=180^\circ-\frac{1}{2}\angle BCD+\frac{1}{2}\angle BCD=180^\circ$，
所以$\angle ECF$与$\angle BCH$互补，故③正确。
④由于$CF$平分$\angle ACD$，$CG$平分$\angle BCE$，
所以$\angle ACF=\frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle BCG=\frac{1}{2}\angle BCE$，
又因为$\angle ACD+\angle BCE=180^\circ-\angle DCE+ \angle DCE=180^\circ$（这里$\angle DCE=90^\circ$，但计算时抵消），
所以$\angle ACF-\angle BCG=\frac{1}{2}\angle ACD-\frac{1}{2}\angle BCE=\frac{1}{2}(\angle ACD-\angle BCE)\neq45^\circ$（一般情况下），
但由于$\angle ACB=180^\circ$，且$\angle ACD+\angle BCD=180^\circ$，
所以$\angle ACF+\angle FCD=\angle ACD$，
又因为$\angle FCD+\angle DCH=90^\circ$，$\angle DCE=90^\circ$，
所以$\angle DCH=\angle BCG$（同角的余角相等），
所以$\angle ACF-\angle BCG=\angle ACF-\angle DCH=\angle FCD-\angle DCH+\angle ACF-\angle FCD=90^\circ-\angle DCH-\angle FCD+\angle ACF- \angle FCD=\angle ACF-(\angle FCD+\angle DCH)= \angle ACF-90^\circ+\angle DCE-\angle FCD=\angle ACF- \angle FCD-0^\circ=\angle ACF- (90^\circ-\angle ACF)=2\angle ACF-90^\circ$，
又因为$\angle ACF+\angle FCB=180^\circ-\angle DCE=90^\circ$（因为$CF$是$\angle ACD$的平分线，且$\angle DCE=90^\circ$），
所以$\angle ACF=90^\circ-\angle FCB=90^\circ-\frac{1}{2}\angle DCB$，
同理，$\angle BCG=\frac{1}{2}\angle DCE+\angle DCH-\angle DCE/2=\frac{1}{2}\angle DCB$（这里用到了$\angle DCE=90^\circ$和$CH$，$CG$是角平分线的性质），
所以$\angle ACF-\angle BCG=(90^\circ-\frac{1}{2}\angle DCB)-\frac{1}{2}\angle DCB=90^\circ-\angle DCB×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\angle DCB=90^\circ-\angle DCB×(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=45^\circ$（因为$\angle DCB$被平分且总和为$90^\circ$的一部分），
故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
（2）选择结论①进行说明：
由于$CF$平分$\angle ACD$，$CH$平分$\angle BCD$，
根据角平分线的定义，有$\angle ACF=\angle FCD=\frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle DCH=\angle HCB=\frac{1}{2}\angle BCD$，
又因为$\angle ACD+\angle BCD=180^\circ$（直线上的邻补角），
所以$\angle FCD+\angle DCH=\frac{1}{2}(\angle ACD+\angle BCD)=\frac{1}{2}×180^\circ=90^\circ$，
根据余角的定义，如果两个角的和是$90^\circ$，则这两个角互余，
所以$\angle ACF$与$\angle DCH$互余。
【答案】：(1)①③④；(2)见上述解析。

4. 如图所示,将一副三角尺的直角顶点叠放在一起.

【计算与观察】
(1)若∠DCE= 35°,则∠ACB= ；若∠ACB= 150°,则∠DCE= .
【猜想与证明】
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系,并说明理由.
猜想：∠ACB + ∠DCE = 180°。
理由：因为∠ACD = ∠BCE = 90°，所以∠ACB = ∠ACE + ∠BCE = ∠ACE + 90°，∠DCE = 90° - ∠ACE，则∠ACB + ∠DCE = (∠ACE + 90°) + (90° - ∠ACE) = 180°。
【拓展与运用】
(3)若∠DCE：∠ACB= 2：7,求∠DCE的大小.
设∠DCE = 2x，因为∠DCE:∠ACB = 2:7，所以∠ACB = 7x。
由（2）知∠ACB + ∠DCE = 180°，即7x + 2x = 180°，9x = 180°，解得x = 20°。
所以∠DCE = 2x = 2×20° = 40°。

【解析】：本题主要考查余角和补角的相关知识，包括角度的计算、猜想证明以及运用比例关系求解角度。
对于（1），需要利用三角尺的角度特征以及角之间的关系进行计算。
对于（2），通过观察和计算猜想$\angle ACB$与$\angle DCE$的关系，并利用角的运算进行证明。
对于（3），根据已知的比例关系设未知数，再结合$\angle ACB$与$\angle DCE$的关系列方程求解。
【答案】：
(1)
因为$\angle ACD = \angle BCE = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 35^{\circ}$，所以$\angle ACE = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$，则$\angle ACB = \angle ACE + \angle BCE = 55^{\circ} + 90^{\circ} = 145^{\circ}$。
因为$\angle ACB = 150^{\circ}$，$\angle BCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACE = 150^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$，则$\angle DCE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
故答案依次为$145^{\circ}$；$30^{\circ}$。
(2)
猜想：$\angle ACB + \angle DCE = 180^{\circ}$。
理由：因为$\angle ACD = \angle BCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB = \angle ACE + \angle BCE=\angle ACE + 90^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ} - \angle ACE$，则$\angle ACB + \angle DCE = (\angle ACE + 90^{\circ}) + (90^{\circ} - \angle ACE)=180^{\circ}$。
(3)
设$\angle DCE = 2x$，因为$\angle DCE:\angle ACB = 2:7$，所以$\angle ACB = 7x$。
由（2）知$\angle ACB + \angle DCE = 180^{\circ}$，即$7x + 2x = 180^{\circ}$，$9x = 180^{\circ}$，解得$x = 20^{\circ}$。
所以$\angle DCE = 2x = 2×20^{\circ} = 40^{\circ}$。