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1. 下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是(
A.$x^{2}+2x - 1$
B.$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^{2}+2x + 4$
D.$x^{2}-6x + 9$
D
)A.$x^{2}+2x - 1$
B.$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^{2}+2x + 4$
D.$x^{2}-6x + 9$
答案
D
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。选项A：$x^2 + 2x - 1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式；选项B：$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$，中间项应为$2× x×\frac{1}{2}=x$，而不是$\frac{1}{4}x$，不符合；选项C：$x^2 + 2x + 4$，中间项应为$2× x×2 = 4x$，而不是$2x$，不符合；选项D：$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2× x×3 + 3^2=(x - 3)^2$，符合完全平方公式。
2. 已知多项式$x^{2}+ax + 16$可以用完全平方公式进行因式分解,则$a$的值为(
A.4
B.8
C.$-8$
D.$\pm 8$
D
)A.4
B.8
C.$-8$
D.$\pm 8$
答案
D
解析
因为多项式$x^{2}+ax + 16$可以用完全平方公式分解因式，完全平方公式为$(x\pm b)^2 = x^2\pm 2bx + b^2$，这里$b^2 = 16$，所以$b = \pm 4$。则$ax = \pm 2bx = \pm 2×4x = \pm 8x$，所以$a = \pm 8$。
3. 小明利用完全平方公式进行因式分解“$x^{2}$ 
$+4y^{2}= (x + 2y)^{2}$”时,墨迹将“$x^{2}$ 
$+4y^{2}$”中的一项及其符号染黑了,则墨迹覆盖的这一项是(
A.$4xy$
B.$2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
$+4y^{2}= (x + 2y)^{2}$”时,墨迹将“$x^{2}$ $+4y^{2}$”中的一项及其符号染黑了,则墨迹覆盖的这一项是(A
)A.$4xy$
B.$2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
答案
A
解析
因为$(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$，原式为$x^2$ [墨迹] $+ 4y^2$，对比可知墨迹覆盖的项是$4xy$。
4. 如果$x^{2}+6x + k$能用完全平方公式因式分解,那么$k = $
9
.答案
9
解析
因为完全平方公式为$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$，对比$x^2 + 6x + k$，可得$2a = 6$，则$a = 3$，所以$k = a^2 = 3^2 = 9$。
5. 若$a + b= -2$,则$a^{2}+2ab + b^{2}$的值为
4
.答案
4
解析
根据题意知$a + b = -2$，利用完全平方和公式，$a^{2}+2ab + b^{2}=(a+b)^{2}$，将$a + b = -2$代入得$(a+b)^{2}=(-2)^{2}=4$。
6. 计算:$51^{2}-51×98 + 49^{2}= $
4
.答案
$4$
解析
原式$51^{2} - 51 × 98 + 49^{2}$可以看作是关于$51$和$49$的二次完全平方公式的形式，即$a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$。
在这里，$a = 51$，$b = 49$，$2ab = 2 × 51 × 49 = 51 × 98$。
所以，原式可以化简为：
$51^{2} - 2 × 51 × 49 + 49^{2} = (51 - 49)^{2} = 2^{2} = 4$，
在这里，$a = 51$，$b = 49$，$2ab = 2 × 51 × 49 = 51 × 98$。
所以，原式可以化简为：
$51^{2} - 2 × 51 × 49 + 49^{2} = (51 - 49)^{2} = 2^{2} = 4$，
7. 当$x= $
1
时,$x^{2}-2x + 1$取得最小值.答案
1
解析
$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$，因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以当$x - 1=0$，即$x=1$时，原式取得最小值。
8. 若$\sqrt{a + 2}+4b^{2}-4b + 1 = 0$,则$a^{2024}\cdot b^{2025}= $
$\frac{1}{2}$
.答案
$\frac{1}{2}$
解析
因为$\sqrt{a + 2} + 4b^2 - 4b + 1 = 0$，所以$\sqrt{a + 2} + (2b - 1)^2 = 0$。由于$\sqrt{a + 2} \geq 0$，$(2b - 1)^2 \geq 0$，则$\sqrt{a + 2} = 0$，$(2b - 1)^2 = 0$，解得$a = -2$，$b = \frac{1}{2}$。所以$a^{2024} \cdot b^{2025} = (-2)^{2024} \cdot (\frac{1}{2})^{2025} = (-2)^{2024} \cdot (\frac{1}{2})^{2024} \cdot \frac{1}{2} = [(-2) × \frac{1}{2}]^{2024} \cdot \frac{1}{2} = (-1)^{2024} \cdot \frac{1}{2} = 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
9. 若$P = 2m^{2}+4n + 13$,$Q = m^{2}-n^{2}+6m - 1$,则$P与Q的大小关系是P$
＞
$Q$.答案
＞
解析
计算$P - Q$，得：
$P - Q=(2m^{2}+4n + 13)-(m^{2}-n^{2}+6m - 1)$
$=2m^{2}+4n + 13 - m^{2}+n^{2}-6m + 1$
$=m^{2}-6m + n^{2}+4n + 14$
配方：
$m^{2}-6m=(m - 3)^{2}-9$，$n^{2}+4n=(n + 2)^{2}-4$
代入得：
$P - Q=(m - 3)^{2}-9 + (n + 2)^{2}-4 + 14=(m - 3)^{2}+(n + 2)^{2}+1$
因为$(m - 3)^{2}\geq0$，$(n + 2)^{2}\geq0$，所以$(m - 3)^{2}+(n + 2)^{2}+1\geq1＞0$，即$P - Q＞0$，故$P＞Q$。
$P - Q=(2m^{2}+4n + 13)-(m^{2}-n^{2}+6m - 1)$
$=2m^{2}+4n + 13 - m^{2}+n^{2}-6m + 1$
$=m^{2}-6m + n^{2}+4n + 14$
配方：
$m^{2}-6m=(m - 3)^{2}-9$，$n^{2}+4n=(n + 2)^{2}-4$
代入得：
$P - Q=(m - 3)^{2}-9 + (n + 2)^{2}-4 + 14=(m - 3)^{2}+(n + 2)^{2}+1$
因为$(m - 3)^{2}\geq0$，$(n + 2)^{2}\geq0$，所以$(m - 3)^{2}+(n + 2)^{2}+1\geq1＞0$，即$P - Q＞0$，故$P＞Q$。
10. 分解因式:
(1)$a^{2}+b^{2}-2ab$；
(2)$x^{2}-6x + 9$；
(3)$16m^{2}+8m + 1$；
(4)$x^{2}y^{2}-12xy + 36$；
(5)$-m^{2}+4m - 4$；
(6)$25 + a^{2}-10a$；
(7)$81m^{2}-18mn + n^{2}$；
(8)$1 - b+\frac{1}{4}b^{2}$.
(1)$a^{2}+b^{2}-2ab$；
(2)$x^{2}-6x + 9$；
(3)$16m^{2}+8m + 1$；
(4)$x^{2}y^{2}-12xy + 36$；
(5)$-m^{2}+4m - 4$；
(6)$25 + a^{2}-10a$；
(7)$81m^{2}-18mn + n^{2}$；
(8)$1 - b+\frac{1}{4}b^{2}$.
答案
(1)
$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$
(2)
$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$
(3)
$16m^{2}+8m + 1=(4m + 1)^{2}$
(4)
$x^{2}y^{2}-12xy + 36=(xy - 6)^{2}$
(5)
$-m^{2}+4m - 4=-(m^{2}-4m + 4)=-(m - 2)^{2}$
(6)
$25 + a^{2}-10a=(a - 5)^{2}$
(7)
$81m^{2}-18mn + n^{2}=(9m - n)^{2}$
(8)
$1 - b+\frac{1}{4}b^{2}=(1-\frac{1}{2}b)^{2}$
$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$
(2)
$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$
(3)
$16m^{2}+8m + 1=(4m + 1)^{2}$
(4)
$x^{2}y^{2}-12xy + 36=(xy - 6)^{2}$
(5)
$-m^{2}+4m - 4=-(m^{2}-4m + 4)=-(m - 2)^{2}$
(6)
$25 + a^{2}-10a=(a - 5)^{2}$
(7)
$81m^{2}-18mn + n^{2}=(9m - n)^{2}$
(8)
$1 - b+\frac{1}{4}b^{2}=(1-\frac{1}{2}b)^{2}$
