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11. 分解因式：
(1) $(3a - b)^{2}-4(a - b)^{2}$；
(2) $-a^{4}+81$；
(3) $x^{5}-x$；
(4) $81m^{2}-16n^{4}$。
(1) $(3a - b)^{2}-4(a - b)^{2}$；
(2) $-a^{4}+81$；
(3) $x^{5}-x$；
(4) $81m^{2}-16n^{4}$。
答案
(1) $(3a - b)^{2}-4(a - b)^{2}$
$=(3a - b)^{2}-[2(a - b)]^{2}$
$=[(3a - b)+2(a - b)][(3a - b)-2(a - b)]$
$=(3a - b + 2a - 2b)(3a - b - 2a + 2b)$
$=(5a - 3b)(a + b)$
(2) $-a^{4}+81$
$=-(a^{4}-81)$
$=-[(a^{2})^{2}-9^{2}]$
$=-(a^{2}+9)(a^{2}-9)$
$=-(a^{2}+9)(a + 3)(a - 3)$
(3) $x^{5}-x$
$=x(x^{4}-1)$
$=x[(x^{2})^{2}-1^{2}]$
$=x(x^{2}+1)(x^{2}-1)$
$=x(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$
(4) $81m^{2}-16n^{4}$
$=(9m)^{2}-(4n^{2})^{2}$
$=(9m + 4n^{2})(9m - 4n^{2})$
$=(3a - b)^{2}-[2(a - b)]^{2}$
$=[(3a - b)+2(a - b)][(3a - b)-2(a - b)]$
$=(3a - b + 2a - 2b)(3a - b - 2a + 2b)$
$=(5a - 3b)(a + b)$
(2) $-a^{4}+81$
$=-(a^{4}-81)$
$=-[(a^{2})^{2}-9^{2}]$
$=-(a^{2}+9)(a^{2}-9)$
$=-(a^{2}+9)(a + 3)(a - 3)$
(3) $x^{5}-x$
$=x(x^{4}-1)$
$=x[(x^{2})^{2}-1^{2}]$
$=x(x^{2}+1)(x^{2}-1)$
$=x(x^{2}+1)(x + 1)(x - 1)$
(4) $81m^{2}-16n^{4}$
$=(9m)^{2}-(4n^{2})^{2}$
$=(9m + 4n^{2})(9m - 4n^{2})$
12. 若 $m^{2}= n + 2025$,$n^{2}= m + 2025$($m$ 和 $n$ 不相等),那么式子 $m^{3}-2mn + n^{3}$ 的值为(
A.2025
B.$-2025$
C.2024
D.$-2024$
B
)A.2025
B.$-2025$
C.2024
D.$-2024$
答案
B
解析
由$m^2 = n + 2025$，$n^2 = m + 2025$，两式相减得$m^2 - n^2 = n - m$，即$(m - n)(m + n) = -(m - n)$。
因为$m \neq n$，所以$m - n \neq 0$，两边同除以$m - n$得$m + n = -1$。
$m^3 - 2mn + n^3 = (m^3 + n^3) - 2mn = (m + n)(m^2 - mn + n^2) - 2mn$。
由$m^2 = n + 2025$，$n^2 = m + 2025$，得$m^2 + n^2 = m + n + 4050$，将$m + n = -1$代入得$m^2 + n^2 = -1 + 4050 = 4049$。
又$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，即$(-1)^2 = 4049 + 2mn$，解得$mn = -2024$。
则$m^2 - mn + n^2 = 4049 - (-2024) = 6073$，代入原式得：
$(-1)×6073 - 2×(-2024) = -6073 + 4048 = -2025$。
因为$m \neq n$，所以$m - n \neq 0$，两边同除以$m - n$得$m + n = -1$。
$m^3 - 2mn + n^3 = (m^3 + n^3) - 2mn = (m + n)(m^2 - mn + n^2) - 2mn$。
由$m^2 = n + 2025$，$n^2 = m + 2025$，得$m^2 + n^2 = m + n + 4050$，将$m + n = -1$代入得$m^2 + n^2 = -1 + 4050 = 4049$。
又$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，即$(-1)^2 = 4049 + 2mn$，解得$mn = -2024$。
则$m^2 - mn + n^2 = 4049 - (-2024) = 6073$，代入原式得：
$(-1)×6073 - 2×(-2024) = -6073 + 4048 = -2025$。
13. 在有理数运算和整式运算的学习中,我们感受到这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发,归纳共性并验证规律。请你利用类比方法解决下列问题。
观察下列等式,并回答问题：
1^{2}-0^{2}= 1；2^{2}-1^{2}= 3；3^{2}-2^{2}= 5；…(1) 将 11 写成两个正整数平方差的形式：
(3) 验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4) 延伸：两个相邻奇数的平方差一定是 8 的倍数。这个命题是
观察下列等式,并回答问题：
1^{2}-0^{2}= 1；2^{2}-1^{2}= 3；3^{2}-2^{2}= 5；…(1) 将 11 写成两个正整数平方差的形式：
6^{2}-5^{2}
=11；(2) 观察、归纳,得出猜想：用含有字母 n(n＞0,且 n 为整数)的等式表示上述的规律为n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1
；(3) 验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
对$n^{2}-(n - 1)^{2}$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = n$，$b=n - 1$，则$n^{2}-(n - 1)^{2}=[n+(n - 1)][n-(n - 1)]=(2n - 1)×1=2n - 1$
(4) 延伸：两个相邻奇数的平方差一定是 8 的倍数。这个命题是
真
命题(填“真”或“假”)。答案
(1) $11=6^{2} - 5^{2}$
(2) $n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1$
(3) 对$n^{2}-(n - 1)^{2}$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = n$，$b=n - 1$，则$n^{2}-(n - 1)^{2}=[n+(n - 1)][n-(n - 1)]=(2n - 1)×1=2n - 1$
(4) 真
(2) $n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1$
(3) 对$n^{2}-(n - 1)^{2}$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = n$，$b=n - 1$，则$n^{2}-(n - 1)^{2}=[n+(n - 1)][n-(n - 1)]=(2n - 1)×1=2n - 1$
(4) 真
