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三角形的内角和等于
180°
. 如图所示,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B
.答案
180°；180°-∠A-∠B
解析
三角形的内角和等于180°；在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=180°-∠A-∠B
【例 1】 一个三角形三个内角的度数之比为 2:4:7,这个三角形一定是 (
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
D
)A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
D
解析
设三角形的三个内角的度数分别为$2x$，$4x$，$7x$。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和为$180{°}$，
所以有方程：$2x + 4x + 7x = 180{°}$，
合并同类项，得到：$13x = 180{°}$，
解方程，得到：$x = \frac{180{°}}{13}$，
将$x$的值代入$7x$，得到最大的内角为：$7 × \frac{180{°}}{13} \approx 96.923{°}$（结果保留到小数点后三位），
因为$96.923{°} \gt 90{°}$，所以这个三角形是钝角三角形。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和为$180{°}$，
所以有方程：$2x + 4x + 7x = 180{°}$，
合并同类项，得到：$13x = 180{°}$，
解方程，得到：$x = \frac{180{°}}{13}$，
将$x$的值代入$7x$，得到最大的内角为：$7 × \frac{180{°}}{13} \approx 96.923{°}$（结果保留到小数点后三位），
因为$96.923{°} \gt 90{°}$，所以这个三角形是钝角三角形。
1. 如图所示,△ABC 的三个内角的大小分别为 $ x^{\circ},x^{\circ},3x^{\circ} $,则 $ x $ 的值为 (
A.24
B.30
C.36
D.40
C
)A.24
B.30
C.36
D.40
答案
C
解析
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为 $ 180^{\circ} $。
由题意，得 $ x + x + 3x = 180 $，
即 $ 5x = 180 $，
解得 $ x = 36 $。
由题意，得 $ x + x + 3x = 180 $，
即 $ 5x = 180 $，
解得 $ x = 36 $。
2. 如图所示,把一副三角板叠放在一起,则图中∠1 的度数是 (
A.$ 45^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 120^{\circ} $
C
)A.$ 45^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 75^{\circ} $
D.$ 120^{\circ} $
答案
C
解析
由图可知，一副三角板中，含30°角的三角板的60°角与含45°角的三角板的直角顶点重合。在三角形ADE中，∠ADE=45°，∠AED=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠1=180°-∠ADE-∠AED=180°-45°-60°=75°。
【例 2】 (教材题变式)将一副三角板拼成如图(1)所示的图形,示意图如图(2)所示,过点 C 作 CF 平分∠DCE 交 DE 于点 F.
(1)求证：CF//AB；
(2)求∠DFC 的度数.
(1)求证：CF//AB；
(2)求∠DFC 的度数.
答案
(1)见证明过程；(2)75°。
解析
(1)证明：∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF=1/2∠DCE。
∵三角板中∠DCE=90°，∴∠DCF=45°。
∵△ABC为等腰直角三角板，∴∠BAC=45°。
∴∠BAC=∠DCF，∴CF//AB（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：在△CDE中，∠DCE=90°，∠CDE=60°（30°-60°-90°三角板性质）。
在△DFC中，∠DCF=45°，∠CDF=60°，
∴∠DFC=180°-∠CDF-∠DCF=180°-60°-45°=75°。
∵三角板中∠DCE=90°，∴∠DCF=45°。
∵△ABC为等腰直角三角板，∴∠BAC=45°。
∴∠BAC=∠DCF，∴CF//AB（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：在△CDE中，∠DCE=90°，∠CDE=60°（30°-60°-90°三角板性质）。
在△DFC中，∠DCF=45°，∠CDF=60°，
∴∠DFC=180°-∠CDF-∠DCF=180°-60°-45°=75°。
3. (2025·广安)如图所示,∠A= 35°,则∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为______.
答案
215°
解析
在△ABC中，∠A=35°，根据三角形内角和定理，∠B+∠C=180°-∠A=145°。设∠1、∠3是△CDE的两个内角，∠2、∠4是△BDE的两个内角（或其他两个含∠B、∠C的三角形），则∠1+∠3=180°-∠C，∠2+∠4=180°-∠B。因此，∠1+∠2+∠3+∠4=(180°-∠C)+(180°-∠B)=360°-(∠B+∠C)=360°-145°=215°。
【例 3】 如图所示,经测量,B 处在 A 处的南偏西 60°的方向,C 处在 A 处的南偏东 20°的方向,BE 为正北方向,且∠CBE= 100°,求∠ACB 的度数.
答案
1. 由题意，AD为A处正南方向，BE为B处正北方向，故AD//BE。
2. ∵B在A南偏西60°，∴∠BAD=60°；C在A南偏东20°，∴∠CAD=20°，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。
3. ∵AD//BE，∠BAD=60°，∴∠ABE=180°-∠BAD=120°（两直线平行，同旁内角互补）。
4. ∵∠CBE=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=120°-100°=20°。
5. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-20°=80°。
∠ACB=80°
2. ∵B在A南偏西60°，∴∠BAD=60°；C在A南偏东20°，∴∠CAD=20°，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。
3. ∵AD//BE，∠BAD=60°，∴∠ABE=180°-∠BAD=120°（两直线平行，同旁内角互补）。
4. ∵∠CBE=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=120°-100°=20°。
5. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-20°=80°。
∠ACB=80°
