7. 下列各图中,作△ABC 的边 AC 上的高,正确的是 ()

A.
B.
C.
D.

D

三角形的高是从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。边AC上的高，应过点B作AC所在直线的垂线，垂足为E。选项D中，过点B作AC延长线的垂线，垂足为E，符合高的定义。A是中线，B是过点B作AB的垂线，C是过点E作AC的垂线，均不符合。

8. 如图所示,在△ABC 中,点 D 为 BC 上任意一点,DE 平分∠ADB,DF 平分∠ADC,则∠EDF 的度数为。

90°

∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDB=1/2∠ADB，∠ADF=∠FDC=1/2∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=1/2(∠ADB+∠ADC)=1/2×180°=90°

9. 如图所示,已知 AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,AB = 6 cm,AC = 8 cm,BC = 10 cm,∠CAB = 90°。试求：
(1)AD 的长；
(2)△ABE 的面积；
(3)△ACE 和△ABE 的周长的差。

（1）
$\because \angle CAB = 90^{\circ},AB = 6cm,AC = 8cm$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC = \frac{1}{2} × 6× 8=24cm^2$。
又$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，$BC = 10cm$，
$\therefore\frac{1}{2}×10× AD = 24$，
$\therefore AD=\frac{24×2}{10}=4.8cm$。
（2）
$\because AE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore BE = EC=\frac{1}{2}BC = 5cm$。
$\because S_{\triangle ABC}=24cm^2$，
$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×24 = 12cm^2$。
（3）
$\because BE = EC$，
$C_{\triangle ACE}-C_{\triangle ABE}$
$=(AC + AE+CE)-(AB + BE + AE)$
$=AC + AE+CE - AB - BE - AE$
$=AC - AB$
$\because AB = 6cm,AC = 8cm$，
$\therefore C_{\triangle ACE}-C_{\triangle ABE}=8 - 6=2cm$。
综上，答案依次为：（1）$4.8cm$；（2）$12cm^2$；（3）$2cm$。

10. (2025·马鞍山)如图所示,CD,CE,CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是 ()

A.AB = 2BF
B.AE = BE
C.∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB
D.CD ⊥ AB

B

A. 由于$CF$是$AB$上的中线，根据中线的定义，它平分$AB$，即$AB = 2BF$（同时$AB=2AF$），所以A选项是正确的。
B. 题目中给出$CE$是角平分线，并没有信息表明$E$是$AB$的中点或$AE = BE$，实际上，只有当$\triangle ABC$是等腰三角形或等边三角形时，这个等式才可能成立。在一般情况下，这个等式是不成立的，所以B选项是错误的（根据题目要求找出错误的选项，因此判断B为错误式子的基础是基于题目所给信息仅$CE$为角平分线，不足以证明$AE=BE$）。
C. 由于$CE$是$\angle ACB$的角平分线，根据角平分线的性质，$\angle ACE = \frac{1}{2}\angle ACB=\angle BCE$，所以C选项是正确的。
D. 由于$CD$是$AB$上的高，根据高的定义，它垂直于$AB$，即$CD \perp AB$，所以D选项是正确的。

11. 如图所示,在△ABC 中,AD 为中线,DE ⊥ AB 于点 E,DF ⊥ AC 于点 F,AB = 3,AC = 4,DF = 1.5,则 DE = 。

$2$

本题可根据三角形中线的性质得到两个三角形的面积关系，再结合三角形面积公式求解$DE$的值。
因为$AD$为$BC$边上的中线，所以$\triangle ABD$与$\triangle ACD$等底（$BD = CD$）同高（$A$到$BC$边上的高），根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）可知$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$。
已知$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，根据三角形面积公式可得$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB× DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC× DF$。
那么$\frac{1}{2}AB× DE=\frac{1}{2}AC× DF$，即$AB× DE = AC× DF$。
已知$AB = 3$，$AC = 4$，$DF = 1.5$，将其代入$AB× DE = AC× DF$可得：
$3× DE = 4×1.5$
$3× DE = 6$
$DE = 2$

12. (2024·泰安中考)如图所示,在△ABC 中,点 D,E,F 分别为 BC,AD,CE 的中点,且 $ S_{△ABC} = 4 $ cm^2,则阴影部分的面积为cm^2。

1

∵D是BC中点，∴AD是△ABC中线，$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2$cm²。
∵E是AD中点，∴BE是△ABD中线，$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×2=1$cm²；CE是△ACD中线，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{1}{2}×2=1$cm²。
∴$S_{△BEC}=S_{△BED}+S_{△CED}=1+1=2$cm²。
∵F是CE中点，∴BF是△BEC中线，$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BEC}=\frac{1}{2}×2=1$cm²。

13. 如图所示,在△ABC 中,AD ⊥ BC,CE ⊥ AB,垂足分别为 D 和 E,AD 与 CE 交于点 O,连接 BO 并延长交 AC 于点 F,若 AB = 5,BC = 4,AC = 6,则 CE：AD：BF = 。

12:15:10

设△ABC面积为S，由三角形面积公式得：
CE = 2S/AB = 2S/5，
AD = 2S/BC = 2S/4 = S/2，
BF = 2S/AC = 2S/6 = S/3，
则CE:AD:BF = (2S/5):(S/2):(S/3)，约去S得(2/5):(1/2):(1/3)。
通分（最小公倍数30）后各项为12:15:10。

14. 如图所示,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,AB = 10 cm。若动点 P 从点 C 开始,按 $ C \to A \to B \to C $ 的路径运动,且速度为每秒 2 cm,设运动的时间为 t s。
(1)$ S_{△ABC} = $。
(2)当 $ t = $s 时,CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分？
(3)当 $ t = $s 时,CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分？
(4)当 t 为何值时,△BCP 的面积为 12 cm^2？

(1) 24
(2) 6
(3) 2或6.5
(4) 2或6.5

(1)$24\ cm^2$
(2)$6.5$
(3)$6$
(4)情况一：点P在AC上时，$t=2$；情况二：点P在AB上时，$t=9.5$。