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2. 如图14.3-5,BD平分∠ABC,AB= BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,M,N为垂足。求证：PM= PN。
答案
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，
∠ABD=∠CBD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，
∠ABD=∠CBD，
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
1. 如图,∠B= ∠D= 90°,根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1= ∠2,则
(2)若∠3= ∠4,则
(1)若∠1= ∠2,则
BC
=DC
；(2)若∠3= ∠4,则
AB
=AD
。答案
(1)BC，DC；(2)AB，AD
解析
(1)∵∠B=∠D=90°，∠1=∠2，AC为公共边，根据角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），点C到AB的距离为BC，到AD的距离为DC，∴BC=DC；(2)∵∠B=∠D=90°，∠3=∠4，AC为公共边，同理，点A到BC的距离为AB，到DC的距离为AD，∴AB=AD。
2. 如图,已知△ABC的周长是16,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D且OD= 2,则△ABC的面积是
16
。答案
16
解析
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=2。
同理，OF=OD=2。
S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=1/2×AB×OE + 1/2×BC×OD + 1/2×AC×OF
=1/2×AB×2 + 1/2×BC×2 + 1/2×AC×2
=AB + BC + AC
=△ABC的周长=16。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=2。
同理，OF=OD=2。
S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=1/2×AB×OE + 1/2×BC×OD + 1/2×AC×OF
=1/2×AB×2 + 1/2×BC×2 + 1/2×AC×2
=AB + BC + AC
=△ABC的周长=16。
3. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE垂直AB于点E,若DE= 1.5 cm,BD= 3 cm,则BC= (
A.3 cm
B.7.5 cm
C.6 cm
D.4.5 cm
D
)A.3 cm
B.7.5 cm
C.6 cm
D.4.5 cm
答案
D
解析
$\because AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，$DE\perp AB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD=DE = 1.5cm$。
已知$BD = 3cm$，则$BC=BD + CD=3 + 1.5=4.5cm$。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD=DE = 1.5cm$。
已知$BD = 3cm$，则$BC=BD + CD=3 + 1.5=4.5cm$。
4. 如图,已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,作法顺序合理的是(
①作射线OC；②以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于M,N；③分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点C。
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
C
)①作射线OC；②以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于M,N；③分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点C。
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
答案
C
解析
角平分线的作法为：首先以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N（步骤②）；然后分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C（步骤③）；最后作射线OC（步骤①）。故合理顺序为②③①。
5. 如图,AB//CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直。若AD= 8,则点P到BC的距离是(
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
过点$P$作$PE \perp BC$于$E$，
因为$AB// CD$，$AD\perp AB$，
所以$AD\perp CD$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$AP\perp AB$，$PE\perp BC$，
根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$AP = PE$。
同理，因为$CP$平分$\angle DCB$，$DP\perp CD$，$PE\perp BC$，
所以$DP = PE$。
则$AP = DP$，
又因为$AP + DP = AD = 8$，
所以$AP = DP = 4$，
那么$PE = 4$，即点$P$到$BC$的距离是$4$。
因为$AB// CD$，$AD\perp AB$，
所以$AD\perp CD$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$AP\perp AB$，$PE\perp BC$，
根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$AP = PE$。
同理，因为$CP$平分$\angle DCB$，$DP\perp CD$，$PE\perp BC$，
所以$DP = PE$。
则$AP = DP$，
又因为$AP + DP = AD = 8$，
所以$AP = DP = 4$，
那么$PE = 4$，即点$P$到$BC$的距离是$4$。
6. 如图,AB//CD,以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别为E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M,若∠C= 150°,则∠CMA等于(
A.45°
B.30°
C.15°
D.20°
C
)A.45°
B.30°
C.15°
D.20°
答案
C
解析
由于$AB// CD$，根据平行线的性质，有：
$\angle C+\angle CAB=180^{\circ}$，
由题目已知$\angle C=150^{\circ}$，代入上式得：
$\angle CAB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$，
根据题目描述，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，再以E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP。
根据作图过程，知道AP是$\angle CAB$的角平分线，所以：
$\angle CAB=2\angle MAB$，
代入$\angle CAB=30^{\circ}$，得：
$\angle MAB=15^{\circ}$，
由于$AB// CD$，根据平行线的内错角性质，有：
$\angle CMA=\angle MAB=15^{\circ}$。
$\angle C+\angle CAB=180^{\circ}$，
由题目已知$\angle C=150^{\circ}$，代入上式得：
$\angle CAB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$，
根据题目描述，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，再以E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP。
根据作图过程，知道AP是$\angle CAB$的角平分线，所以：
$\angle CAB=2\angle MAB$，
代入$\angle CAB=30^{\circ}$，得：
$\angle MAB=15^{\circ}$，
由于$AB// CD$，根据平行线的内错角性质，有：
$\angle CMA=\angle MAB=15^{\circ}$。
