7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠BAC的平分线交BC于点D,过点C作CG⊥AB于点G,交AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F。下列结论中正确的个数是()
①∠CED= ∠CDE；
②$S_{△AEC}:S_{△AEG}= AC:AG$；
③∠ADF= 2∠FDB。

A.1
B.2
C.3
D.0

B

①设∠CAD=∠BAD=α，∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，∴∠ADC=90°-α.∵CG⊥AB，∴∠AGC=90°，∠AEG=90°-α.∵∠CED=∠AEG，∴∠CED=90°-α=∠ADC=∠CDE，故①正确.②△AEC与△AEG同高（A到CG的距离），面积比=EC:EG.由①知CE=CD，又AD平分∠BAC，CD=DF.△AEG∽△ADC（∠EAG=∠CAD，∠AGE=∠ACD=90°），∴EG:CD=AG:AC，即EC:EG=AC:AG，故S△AEC:S△AEG=AC:AG，②正确.③设∠BAD=α，则∠ADF=90°-α，∠B=90°-2α，∠FDB=90°-∠B=2α.∠ADF=90°-α，2∠FDB=4α，90°-α=4α仅当α=18°时成立，非普遍结论，③错误.正确结论为①②，共2个.

8. 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,$S_{△ABC}= 90$,AB= 18,BC= 12,求DE的长。

过点D作DF⊥BC于点F。
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF。
设DE=DF=x。
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD，
∴90=1/2×AB×DE + 1/2×BC×DF，
即90=1/2×18×x + 1/2×12×x，
90=9x + 6x，
15x=90，
x=6。
∴DE的长为6。

9. 如图,已知OE平分∠AOB,BC⊥OA,AD⊥OB,求证：(1)EC= DE；(2)AD= BC。

(1)∵OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，∠COE=∠DOE。
在△OCE和△ODE中，
∠OCE=∠ODE，
∠COE=∠DOE，
OE=OE，
∴△OCE≌△ODE(AAS)，
∴EC=DE。
(2)由(1)知△OCE≌△ODE，
∴OC=OD。
在△OAD和△OBC中，
∠OAD=∠OBC=90°，
OC=OD，
∠AOD=∠BOC，
∴△OAD≌△OBC(ASA)，
∴AD=BC。

10. 如图,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G。求证：BF= CG。

证明：
连接EB，EC。
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EB=EC。
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG（角平分线上的点到角两边距离相等）。
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l} EB=EC\\ EF=EG\end{array}\right.$
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF=CG。

11. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD= DF。
(1)求证：CF= EB；
(2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系,并说明理由。

(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠C=∠DEB=90°。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB。
(2)AB=AF+2EB。理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE。
∵AC=AF+CF，且CF=EB（由(1)得），
∴AC=AF+EB，即AE=AF+EB。
∵AB=AE+EB，
∴AB=AF+EB+EB=AF+2EB。