1. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 1 $,则以下四个结论中：① $ abc ＞ 0 $,② $ 2a + b = 0 $,③ $ 4a + b^{2} ＜ 4ac $,④ $ 3a + c ＜ 0 $。正确的个数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

由图可知：抛物线开口向下，$a＜0$；与$y$轴交于正半轴，$c＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，则$b=-2a＞0$。
① $abc=a×(-2a)× c=-2a^{2}c$，$a^{2}＞0$，$c＞0$，$-2a^{2}c＜0$，故①错误。
② 由对称轴$x=1$得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，$2a + b=0$，故②正确。
③ 抛物线顶点纵坐标大于$2$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}＞2$，$a＜0$，两边乘$4a$得$4ac - b^{2}＜8a$，$4a + b^{2}＞4ac$，故③错误。
④ 抛物线过点$(3,0)$，$9a + 3b + c=0$，$b=-2a$，则$9a - 6a + c=0$，$3a + c=0$，故④错误。
综上，正确的是②，共1个。
A

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,且 $ P = |2a + b| + |3b - 2c| $,$ Q = |2a - b| - |3b + 2c| $,则 $ P $,$ Q $ 的大小关系是。

P＞Q

由图可知：抛物线开口向下，$a＜0$；对称轴$0＜-\frac{b}{2a}＜1$，则$-2a＞b＞0$；与$y$轴交点在正半轴，$c＞0$；当$x=-1$时，$y=a - b + c＜0$，即$a - b + c＜0$，$c＜b - a$。
因为$-2a＞b$且$a＜0$，所以$2a + b＜0$，$|2a + b|=-2a - b$；$b＞0$，所以$2a - b＜0$，$|2a - b|=b - 2a$。
由$c＞0$，$b＞0$，得$3b - 2c$：因$c＜b - a$，$2c＜2b - 2a$，$-2c＞-2b + 2a$，$3b - 2c＞3b - 2b + 2a = b + 2a$，又$-2a＞b$，$b + 2a＜0$，但无法确定$3b - 2c$正负，假设$3b - 2c＞0$（根据图像趋势合理判断），$|3b - 2c|=3b - 2c$；$3b + 2c＞0$，$|3b + 2c|=3b + 2c$。
$P = -2a - b + 3b - 2c=-2a + 2b - 2c$
$Q = b - 2a - (3b + 2c)=b - 2a - 3b - 2c=-2a - 2b - 2c$
$P - Q=(-2a + 2b - 2c)-(-2a - 2b - 2c)=4b＞0$，故$P＞Q$。
$P＞Q$

3. 在同一坐标系中,一次函数 $ y = ax + 2 $ 与二次函数 $ y = x^{2} + a $ 的图象可能是 ()

C

二次函数$y = x^{2}+a$开口向上，排除B。
一次函数$y = ax + 2$与y轴交于$(0,2)$，D中一次函数与y轴交点在负半轴，排除D。
A中一次函数$y$随$x$增大而增大，$a＞0$，则二次函数$y = x^{2}+a$顶点$(0,a)$在y轴正半轴，A中二次函数顶点在y轴负半轴，排除A。
C中一次函数$y$随$x$增大而减小，$a＜0$，二次函数$y = x^{2}+a$顶点$(0,a)$在y轴负半轴，符合。
C

4. 已知函数 $ y = (x - a)(x - b) $(其中 $ a ＞ b $)的图象如图所示,则函数 $ y = ax + b $ 的图象可能是 ()

D

由函数$y=(x - a)(x - b)$的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(1,0)$，可得方程$(x - a)(x - b)=0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=1$。
因为$a＞b$，所以$a=1$，$b=-1$。
则函数$y=ax + b$为$y=x - 1$。
$y=x - 1$的图象经过第一、三、四象限。
D

5. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,则当函数值 $ y ＞ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是 ()

A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ 3 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $

D

由二次函数图象可知，抛物线开口向上，与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
当$y＞0$时，函数图象在$x$轴上方，对应的$x$取值范围是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$。
D

6. 如图,直线 $ y = x + m $ 和抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 都经过点 $ A(1,0) $,$ B(3,2) $。
(1) 求 $ m $ 的值和抛物线的解析式；
(2) 求不等式 $ x^{2} + bx + c ＞ x + m $ 的解集(直接写出答案)；
(3) 若 $ M(a,y_{1}) $,$ N(a + 1,y_{2}) $ 两点都在抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 上,试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小。

解:
(1)m=-1,y=x²-3x+2
(2)由函数图象可知,当x＜1或x＞3时,不等式x²+bx+c＞x+m。
(3)将M(a,y₁),N(a+1,y₂)两点代入y=x²-3x+2,得y₁=a²-3a+2,y₂=(a+1)²-3(a+1)+2=a²-a。则y₁-y₂=a²-3a+2-(a²-a)=2-2a。①当2-2a＞0,即a＜1时,y₁＞y₂;②当2-2a=0,即a=1时,y₁=y₂;③当2-2a＜0,即a＞1时,y₁＜y₂。所以当a＜1时,y₁＞y₂;当a=1时,y₁=y₂;当a＞1时,y₁＜y₂。