7. 如图22-3-2-7,一块铁片边缘是由抛物线和线段AB组成的,测得$AB = 20$cm,抛物线的顶点到AB边的距离为25cm。现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮,从下往上依次是第一块,第二块,……已知截得的铁皮中有一块是正方形,则这块正方形铁皮是第块。

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以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，A(-10,0)，B(10,0)，抛物线顶点(0,25)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+25$，代入(10,0)得$0=100a+25$，解得$a=-\frac{1}{4}$，故$y=-\frac{1}{4}x^2+25$。
设第n块正方形铁皮，其下边距x轴距离为$4(n-1)$cm，上边距为$4n$cm。
正方形边长4cm，此时抛物线在该高度的宽度为4cm，即当$y=4n$时，$x=\pm2$。
代入抛物线方程：$4n=-\frac{1}{4}(2)^2+25$，$4n=24$，$n=6$。
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8. (2024陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥。桥梁的缆索$L_1与缆索L_2$均呈抛物线形,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图22-3-2-8所示,以O为原点,以直线$FF'$为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系。
已知：缆索$L_1所在抛物线与缆索L_2$所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离$OC = 100$m,$AO = BC = 17$m,缆索$L_1$的最低点P到$FF'的距离PD = 2$m。(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索$L_2$上,$EF \perp FF'$,且$EF = 2.6$m,$FO \lt OD$,求FO的长。

解:
(1)y=$\frac{3}{500}$(x-50)²+2
(2)
∵缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称,
∴缆索L₂所在抛物线的函数表达式为y=$\frac{3}{500}$(x+50)²+2。
∵EF=2.6,
∴把y=2.6代入,得2.6=$\frac{3}{500}$(x+50)²+2,
解得x₁=-40,x₂=-60,
∴FO=40m或FO=60m。
∵FO＜OD,
∴FO的长为40m。

9. (分类讨论)如图22-3-2-9,抛物线$y = -2x^2 + bx + c过A(2,0)$,$C(0,4)$两点。
(1)分别求该抛物线和直线AC的解析式。
(2)横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点,$\triangle APC$的面积为S。
①求S与m的函数关系式；
②S是否有最大值？若有,求出最大值；若没有,请说明理由。

解:
(1)直线AC的解析式为y=-2x+4;抛物线的解析式为y=-2x²+2x+4。
(2)①设P的坐标为(m,-2m²+2m+4),
如图,过点P作PH//y轴交AC于点H,则H(m,-2m+4),
∴PH=-2m²+2m+4-(-2m+4)=-2m²+4m。
∵S△APC=S△PHC+S△PHA,
∴S△APC=$\frac{1}{2}$PH·OA=$\frac{1}{2}$(-2m²+4m)×2=-2m²+4m。
②
∵0＜m＜2,S=-2m²+4m=-2(m-1)²+2,
∴当m=1时,△APC的面积S有最大值,最大值为2。