1. 一个菱形的对角线之和为10 cm，其最大面积为().
A.24 cm²
B.25 cm²
C.12.5 cm²
D.12 cm²

1. 首先明确菱形面积公式：
设菱形的两条对角线分别为$x$，$y$，根据菱形面积公式$S = \frac{1}{2}xy$，已知$x + y=10$，则$y = 10 - x$。
2. 然后将$y = 10 - x$代入面积公式：
$S=\frac{1}{2}x(10 - x)$。
展开式子得$S=\frac{1}{2}(10x - x^{2})=-\frac{1}{2}x^{2}+5x$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a =-\frac{1}{2}$，$b = 5$，$c = 0$。
根据二次函数的顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$。
再将$x = 5$代入$S=-\frac{1}{2}x^{2}+5x$中，$S=-\frac{1}{2}×5^{2}+5×5$。
先计算$-\frac{1}{2}×5^{2}=-\frac{25}{2}$，$5×5 = 25$，则$S=-\frac{25}{2}+25=\frac{-25 + 50}{2}=\frac{25}{2}=12.5$。
另一种方法：
根据均值不等式$xy\leqslant(\frac{x + y}{2})^{2}$（当且仅当$x = y$时取等号）。
已知$x + y = 10$，则$xy\leqslant(\frac{10}{2})^{2}=25$。
又因为菱形面积$S=\frac{1}{2}xy$，所以$S\leqslant\frac{1}{2}×25 = 12.5$，当且仅当$x=y = 5$时，面积$S$取得最大值$12.5\mathrm{cm}^{2}$。
所以这个菱形的最大面积为$12.5\mathrm{cm}^{2}$，答案是C。

2. 如图，用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，窗框粗细忽略不计，那么这扇窗户的最大透光面积是().
A.$\frac{64}{25}$m²
B.$\frac{4}{3}$m²
C.$\frac{8}{3}$m²
D.4 m²

1. 设矩形窗框的宽为$x$米：
因为铝合金条长$8$米，那么矩形窗框的长为$\frac{8 - 3x}{2}$米。
设窗户的透光面积为$S$平方米，根据矩形面积公式$S =长×宽$，可得$S=x\cdot\frac{8 - 3x}{2}$。
2. 化简面积公式：
对$S=x\cdot\frac{8 - 3x}{2}$进行展开，$S=\frac{8x-3x^{2}}{2}=- \frac{3}{2}x^{2}+4x$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a =-\frac{3}{2}$，$b = 4$，$c = 0$。
根据二次函数的顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x =-\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{4}{3}$。
3. 求最大面积：
把$x=\frac{4}{3}$代入$S=- \frac{3}{2}x^{2}+4x$中，$S=- \frac{3}{2}×(\frac{4}{3})^{2}+4×\frac{4}{3}$。
先计算$-\frac{3}{2}×\frac{16}{9}=-\frac{8}{3}$，$4×\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$。
则$S=-\frac{8}{3}+\frac{16}{3}=\frac{8}{3}(m^{2})$。
所以这扇窗户的最大透光面积是$\frac{8}{3}m^{2}$，答案是C。

3. 在长为20 cm，宽为10 cm的矩形纸板的四个角上均剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为y cm²的无盖长方体纸盒，则y与x之间的函数解析式为().
A.$y = (10 - x)(20 - x)(0 ＜ x ＜ 5)$
B.$y = 10×20 - 4x^2(0 ＜ x ＜ 5)$
C.$y = (10 - 2x)(20 - 2x)(0 ＜ x ＜ 5)$
D.$y = 200 + 4x^2(0 ＜ x ＜ 5)$

C

4. 某种型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是$y = 60x - 1.5x^2$. 该型号飞机着陆后最远滑行m才能停下来.

1. 首先，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，当$a\lt0$时，函数在$x =-\frac{b}{2a}$处取得最大值$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$：
对于函数$y=-1.5x^{2}+60x$，其中$a=-1.5$，$b = 60$，$c = 0$。
2. 然后，根据对称轴公式求滑行时间$x$：
由$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-1.5$，$b = 60$代入可得：
$x=-\frac{60}{2×(-1.5)}=\frac{-60}{-3}=20$。
3. 最后，求滑行的最远距离$y$：
把$x = 20$代入函数$y=-1.5x^{2}+60x$中，或者根据二次函数最值公式$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$（这里$c = 0$），$y=\frac{-b^{2}}{4a}$。
当$x = 20$时，$y=-1.5×20^{2}+60×20$；
先计算$-1.5×20^{2}=-1.5×400=-600$，$60×20 = 1200$；
则$y=-600 + 1200=600$；
若用公式$y=\frac{-b^{2}}{4a}$，将$a=-1.5$，$b = 60$代入得$y=\frac{-60^{2}}{4×(-1.5)}=\frac{-3600}{-6}=600$。
所以该型号飞机着陆后最远滑行$600m$才能停下来。

5. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y = \frac{1}{3}x^2$与$y = -\frac{1}{3}x^2$的图象，则阴影部分的面积是.

1. 首先分析函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$与$y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象性质：
函数$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
由图象的对称性可知，阴影部分的面积是正方形面积的一半。
2. 然后计算正方形的面积：
已知正方形边长$a = 4$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$，可得$S = 4^{2}=16$。
3. 最后计算阴影部分面积：
因为阴影部分面积$S_{阴}=\frac{1}{2}S_{正}$。
把$S_{正}=16$代入可得$S_{阴}=\frac{1}{2}×16 = 8$。
故阴影部分的面积是$8$。

6. 如图是一块边长为8 m的正方形苗圃ABCD，园林部门拟将其改造为矩形苗圃AEFG，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE，设BE的长为x m.

（1）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时BE的长.
（2）当x为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？求出最大面积.

1. （1）
已知$BE = xm$，则$DG = 2xm$，$AE=(8 - x)m$，$AG=(8 + 2x)m$。
原正方形苗圃$ABCD$的面积$S_{ABCD}=8×8 = 64m^{2}$，矩形苗圃$AEFG$的面积$S_{AEFG}=AE\cdot AG=(8 - x)(8 + 2x)$。
因为$S_{AEFG}=S_{ABCD}$，所以$(8 - x)(8 + 2x)=64$。
展开式子：
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，$(8 - x)(8 + 2x)=8×8+8×2x-8x-2x^{2}=64 + 16x-8x - 2x^{2}=64 + 8x-2x^{2}$。
则$64 + 8x-2x^{2}=64$。
移项得$-2x^{2}+8x=0$，两边同时除以$-2$得$x^{2}-4x = 0$。
提取公因式$x$得$x(x - 4)=0$。
解得$x_{1}=0$（舍去，因为$E$在$AB$上，$x\gt0$），$x_{2}=4$。
所以此时$BE$的长为$4m$。
2. （2）
矩形苗圃$AEFG$的面积$y=(8 - x)(8 + 2x)$。
展开式子：
$y=64 + 16x-8x-2x^{2}=-2x^{2}+8x + 64$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-2$，$b = 8$，$c = 64$。
根据二次函数顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x=-\frac{8}{2×(-2)} = 2$。
再求最大面积：
把$x = 2$代入$y=-2x^{2}+8x + 64$。
$y=-2×2^{2}+8×2 + 64$。
先计算$-2×2^{2}=-2×4=-8$，$8×2 = 16$。
则$y=-8 + 16+64=72$。
综上，（1）$BE$的长为$4m$；（2）当$x = 2$时，矩形苗圃$AEFG$的面积最大，最大面积是$72m^{2}$。